第一章-因式分解全章导学案.doc

(完整word)第一章 因式分解全章导学案
八年级_____班 姓名__________ 2016年_____月_____日

1、“分解因式”导学案
主备：徐红阳 审核：初三数学组

学习目标： 1。 了解分解因式的概念,以及分解因式与整式乘法之间的关系。
2. 明白分解因式的结果可用整式乘法来检验。
3。 体会利用分解因式解决相关问题的简便性。
教学过程：
一、根据问题，自主探究
问题：不计算，判断993 – 99能否被100整除，要求说明理由.
解：

反思：解决上述问题的关键是什么？____________________________________
二、合作交流，成果展示
1。 小组内交流自己的想法.
2. 集体交流，并完成下面的问题
1）类比上面的方法，将a3 – a化成几个整式的乘积的形式
解:a3 – a=

2）完成下面的乘法运算
（1）3x(x-1)= ； (2）m（a+b+c)= ；
（3（m+4）(m—4)= ; (4）（y-3）= ；
3）根据上面的算式填空：
(1）3x2-3x =（ ）（ ）；(2）m2—16=( ）（ ）；
（3）ma+mb+mc =（ ）（ )（4）y2—6y+9=（ ）
3 观察下面的拼图过程,写出相应的关系式。
(1）

____________________ = ________________________
（2)

____________________ = ________________________
3 反思上面的学习内容，体悟下面两点：
1) 把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做分解因式.
2) 分解因式与整式乘法的关系是 .
三、巩固拓展，升华认知
1. 19992+1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？

3. 已知a为正整数，试判断a2＋a是奇数还是偶数,请说明理由。

四、小结反思，智慧生成
1。 通过本节的学习,你有什么收获？

五、课堂检测，评价收获
1.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解?
(1）a（x+y)=ax+ay （2）10x2—5x=5x（2x-1)
（3) （4)
2．已知公式V=IR1+IR2+IR3，当R1=22.8，R2=31。5，R3=33。7，I=2。5，求V的值

3. 32014-4×32013+10×32012能被7整除吗？

八年级_____班 姓名__________ 2016年_____月_____日

2、“提公因式法（一）"导学案
主备:徐红阳 审核：初三数学组

学习目标： 1。 了解公因式的概念,能在具体问题中确定多项式各项的公因式。
2. 会用提公因式法把多项式分解因式，体悟化归的思想方法.
教学过程：
一、根据问题，自主探究
问题：1. 42和60的最大公约数是___________。
2. 多项式48a3b2－32ab3c的各项中都含有相同的因式，你能找出来吗？然后将这个多项式写成几个因式的乘积的形式.48a3b2－32ab3c=____________________
3. 多项式中各项都含有的相同因式,叫做它的公因式。多项式2x2+6x3中各项的公因式是_______，将它写成几个因式乘积的形式2x2+6x3 =_____________
4. 结合上面的问题，体会分解因式的方法一:提公因式法
反思：用提公因式法分解因式的关键是什么？_______________________________
二、合作交流，成果展示
1。 小组内交流自己的想法.
2。 集体交流，并完成下面的问题
1）将下列各式分解因式：
（1）3x+ x3; （2)7x3－21x2；（3)8a3b2－12ab3c+ab；(4）－24x3－12x2+28x.

2)反思上面的习题，可以发现：提公因式时应当分两步走:首先，当各项的系数都是整数时,应当把______________________提出来；然后再把各项都含有的__________________________提出来。
3）可以发现用提公因式法分解因式与________________互为逆过程.
三、巩固拓展，升华认知
1．在题目后的括号内写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb （ ) （2)4kx－8ky （ ）
（3)5y3+20y2 ( ) (4）a2b－2ab2+ab （ ）
2。 将下列多项式进行分解因式：
（1)8x–72 （2)a2b–5ab (3）a2b–2ab2+ab　　（4)–48mn–24m2n3

3．利用分解因式法计算： 12x3+12x2y+3xy2，其中x=1,y=2 　　

4．已知ab=7，a+b=6，求多项式a2b+ab2的值.

四、小结反思，智慧生成
1。 通过本节的学习，你有什么收获？(从知识、数学思想方法等方面反思）

五、课堂检测，评价收获
1. 把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．2 B．2abc C．2ab2c D．2a2b2c
2. 把下列各式分解因式
①—24x2y–12xy2+28y3 ② -4a3b3+6a2b-2ab ③ —2x2—12xy2+8xy3

3。 利用分解因式进行计算：
① 121×0。13+12。1×0。9-12×1。21 ② 2.34×13。2+0.66×13。2 – 26。4

八年级_____班 姓名__________ 2016年_____月_____日

2、“提公因式法（二）”导学案
主备：徐红阳 审核:初三数学组

学习目标： 1. 继续学习用提公因式法分解因式（公因式是多项式）。
2。 在学习中体悟化归、整体的思想方法。
教学过程：
一、根据问题，自主探究
问题：1。 请在下列各式等号右边的括号前填入“+"或“—”，使等式成立。
1） 2 – a = ____（ a – 2 ）； 2） y – x = _____（ x – y ）；
3） b + a = ____（ a+ b ); 4）(b – a）2 = ____（a – b）2 ；
5） -m – n = ______（ m + n）; 6）-s2 + t2 = _____（s2 – t2)。
2 仔细分析上面的等式，我们可以发现如下规律:括号前面添上正号,括到括号里面的__________________；括号前面添上负号，括到括号里面__________________.
3 a(2x — 3）与2b（2x-3)，每项中都含有_______,因此可以把_______作为公因式。
多项式16（m – n ）3 + 12（n - m)2可以变形为__________________________或
_________________________,因此可以把__________或_________作为公因式。
二、合作交流,成果展示
1。 小组内交流自己的想法。
2. 集体交流,并完成下面的问题
将下列各式分解因式：
(1） a（x — 3）+ 2b(x - 3) （2）y（x + 1 ）- y2(x + 1）2

（3） a(x — y）+ b（y — x）； （4）6（m – n ）3 + 12（n — m）2.

三、巩固拓展,升华认知
1．在下列各式等号右边的括号前插入“+"或“—"，使等式成立；。
1) 3 + a = ____（ a + 3 ）； 2） 1 – x = _____（ x – 1 ）；
3) （m – n）2 = ____（n – m）2； 4)-m2 + 2n2 = _____（m2 – 2n2） ；
2。 将下列多项式进行分解因式:
（1）x(a + b）+ y（a +b） （2）3a（x — y）-（y — x) (3）6（p + q）2 – 12(q + p）

3．把(a + b — c）（a — b + c）+ (b – a + c)（b – a — c)分解因式 　　

四、小结反思，智慧生成
1. 通过本节的学习，你有什么收获?（从知识、数学思想方法等方面反思）

五、课堂检测，评价收获
1.下列分解因式正确的是（ )
A．- a + a3 = - a(1 + a2） B．2a – 4b + 2 = 2(a – 2b）
C．a2 – 4 = (a – 2）2 D．a2 – 2a + 1 = （a – 1）2
2. 把下列各式分解因式
① （2a + b ）(2a - 3b )— 3a（2 a + b） ②（x + 5y)（x — 3）+ （3 – x )(y – x）

六、反思：
八年级_____班 姓名__________ 2016年_____月_____日
3、“公式法（一）”导学案
主备人：于风伟 审核：初三数学组
学习目标： 1. 学习运用平方差公式分解因式.
2。 初步会用提公因式法与公式法分解因式．并能说出提公因式在这类因式分解中
的作用．
3．知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．
教学过程：
一、根据问题，自主探究
1。 完成乘法公式（a+b）（a－b）=______________
把这个等式反过来就是a2－b2=__________________ ①
等式①左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，这个式子从左边到
右边是否是因式分解？
2．多项式4 x2-25，9 m 2－4n2有什么特征?你能利用等式①把它们分解因式吗？
4 x2—25 9 m 2－4n2

二、合作交流，成果展示
1 集体交流，并完成下面的问题
1）将下列各式分解因式:
（1）81－169x2； (2）49a2－b2。（3）9（m+n）2－16（m－n）2 （4）8x3－32x

三、巩固拓展,升华认知
1.课本第10页随堂练习1、2、3题
2、把下列各式分解因式
（1）36（x+y)2 - 49（x—y）2 （2）（x-1)+b2（1-x） （3）(x2+x+1)2 - 1

（4）—． （5） a2（x－y)－4b2(x－y）
四、小结反思,智慧生成
1. 通过本节的学习,因式分解应当如何进行？还有哪些疑惑?

五、课堂检测，评价收获
1.把下列各式分解因式。
（1） （2）

（3） (4）

（5） (6）

2．观察下列各式：32－12=8=8×1；52－32=16=8×2；72－52=24=8×3；……
把你发现的规律用含n的等式表示出来，并说明你的发现是正确的．

3．对于任意的自然数n,(n+7）2－(n－5)2能被24整除吗？为什么?

八年级_____班 姓名__________ 2016年_____月_____日
3、“公式法（二）"导学案
主备人：于风伟 审核：初三数学组
学习目标：
1．学习用完全平方公式分解因式，并能灵活应用提公因式法、公式法分解因式．
2．基本能做到:把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．
教学过程:
一、根据问题，自主探究
1. 完成乘法公式：（a+b）2=_____________（a－b）2=______________
将完全平方公式反过来写：
_____________________________;_______________________________
2. 形如a2+2ab+b2 或a2－2ab+b2的式子称为___________
把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做
运用_________
二、合作交流，成果展示
1 集体交流，并完成下面的问题
1）下列各式是不是完全平方式？
(1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）4a2+2ab+b2
（4）a2—ab+b2 （5）x2-6x—9 (6)a2+a+0.25
2） 将下列各式分解因式：
(1） 4x2+28x+49; （2）（m+n）2－（m +n）+ 。

（3)6ax2+12axy+6ay2 （4）－x2+4xy－4y2

三、巩固拓展，升华认知
1.课本第12页随堂练习1、2题
2。把下列各式分解因式
（1）6a-a2-9； （2)-8ab-16a2-b2； （3）2a2—a3—a；
（4)4x2+20（x-x2）+25(1-x）2 （5）

（6) 2x2y－8xy＋8y (7)、

四、小结反思，智慧生成
1。 通过本节的学习，你认为应当如何分解因式？

五、课堂检测,评价收获
1。若，则的值为_______。
2。若是一个完全平方式,那么m的值是__________
3。 若a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，则a2－b2的值为______________．
4. 把下列各式分解因式.
（1）（m2＋n2）2－4m2n2 (2)3（x-1）2—18(x-1）+27

（3）(a2-2ab+b2）+（— 4a+4b)+4 （4）-x2+(2x — 3)2

（5）(m—n）2005 – 16(m-n)2003 （6）（x2－2）2－4(x2－2）+4．

初三数学因式分解单元测试（一)
一．选择题：(每题3分，共30分）
1．下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为（ ）
A、 B、
C、 D、
2．下列各式分解因式结果为-（x—2y）（x+2y）的多项式是（ ）
A．x2—4y B．x2+4y2 C．-x2+4y2 D．-x2-4y2
3．用提公因式法分解因式:3x(a－b）－9y（b－a)的公因式应当是（ ）
A．a－b B．3x+9y C．3x－9y D．3（a－b)
4．已知多项式分解因式为,则的值为（ ）
A、 ；B、； C、 ；D、
5. 下列添括号错误的是（ ）
A．－x+5=－（x+5) B．－7m－2n=－(7m+2n）
C．a2－3=+（a2－3） D．2x－y=－（y－2x）
6．下列多项式不能用完全平方公式分解因式的是……………( ）
A。； B。; C. ； D.
7。下列因式分解正确的是………………………………………（ )
A. B。
C. D.
8．观察下列多项式，其中有公因式的只有（ ）.
2a＋b和a＋b 5m(a－b）和－a＋b；3（a＋b）和－a－b 2x－2y和2
A、 B、 C、 D、
9．利用因式分解计算22012－22011，则结果是( )
A．2 B．1 C．22011 D．－1
10．已知a,b，c是三角形的三边,那么代数式a2－2ab+b2－c2的值（ )
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不能确定

二．填空题：（每题3分，共18分）
11．分解因式m（n—2）—m2（2-n）=
12．若（—a+b）·p=a2—b2，则p等于
13．若x－y =－，则y(y－x)+x(x－y）=
14．若是完全平方式，则m的值是__________
15．若a-6a+b+2b+10=0,则a+b的值是 。
16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是:如对于多项式，因式分解的结果是，若取x=9，y=9时,则各个因式的值是: =0，=18，=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式,取=10,=10时,用上述方法产生的密码是：　 　　 　(写出一个即可)．
三．解答题(72分）
19．(共26分）将下列各式分解因式：
(1) （2） （2m－3n）2－2m+3n

(3) —16m+8m2n2—n (4）4（x+2y）2-25（x—y）2

（5）(x2-2xy+y2)+（-2x+2y)+1

20。(18分）用简便方法计算:
（1)49。9 +9。98+0。1 （2） 999+1999

3）3202-400-340×298 4)20122- 20112+20102- 20092+20082- …+22— 12

21．(8分)已知，求的值.

22．(12分）下面是某同学对多项式（x2－4x+2）(x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 (第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2 （第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________________．
（3)请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．（6分)

23．（8分）若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0。探索
△ABC的形状，并说明理由。

初三数学因式分解单元测试(二)
一、填空题
1．用提公因式法分解时，所提的公因式是_______________．
2．分解因式的结果是_______________．
3．分解因式的结果是___________．
4．．
5．．
6．．
7．已知，则=___________．
8．若是完全平方式,则k=______．
9．若，,那么________．
10．观察下列各式：,…将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来:____________________
二、选择题
1．把提取公因式后，另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式分解因式结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列从左到右的变形哪个是分解因式（ ）
A． B．
C． D．
4．已知正方形的面积是（>4cm)，则正方形的周长是( )
A、 B、 C、 D、
5．下列各式中能用平方差公式分解的是（ ）
A． B． C． D．

6．下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）
A． B． C． D．
7．，的相同因式是（ )
A． B． C． D．
8．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．三角形的三边、、满足，则这个三角形的形状是( ）
A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

10．若 ， 则m的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
三、解答题
1．分解因式：
（1） (2);

(3） （4）．

(5) （6)

3．已知，求 的值．

4、水压机内有4根相同的圆柱形空心圆钢立柱,每根的高度为，外径，内径，每立方米钢的质量为7.8吨，求这4根钢立柱的总质量(取3。14，结果保留一位小数）。

5、已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式(x+5）,且m+n=17,求m、n
的值.

6、四、先阅读第(1）题的解答过程，然后再解第(2）题。
(1)已知多项式有一个因式是,求的值。
解法一：设,
则.
比较系数得, 解得 ∴。
解法二:设(为整式），
由于上式为恒等式，为方便计算取，，故。
（2)已知有因式和，求、的值.