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(完整版)中考试题中的“新定义”题型赏析
中考数学试题中的
—-“新定义”题型赏析

近几年来全国各地中考题中出现了一种“新定义"题型这种题型问题情境新颖，阅读量明了简短让答题者眼前一亮的同时犹如一股清新之风迎面吹来令人神清气爽。在领略了题目的真意之后更体会到了命题人的匠心独具和创新精神。
“新定义”题型给出一种不同于常规的全新的运算法则，让学生仿此法则解决问题,旨在考查学生对数学基础知识、基本方法、基本技能的掌握情况,而且考查了学生的创新思维能力.正是由于这种总揽各种知识方法、能力的特点使得”新定义"题如同一朵清新的小花成为全国各地中考试题的新宠.每年总会在中考试题中大量涌出,现采撷几朵与同行交流欣赏.不妥之处请批评斧正.

一、“新定义"方程(组）及不等式
【例1】（2012年。山东莱芜)对于非零的两个实数a、b，规定,若，则x的值为：
A． B． C． D．
【分析】 根据得到。因为所以解得，经检验是原分式方程的解.
【答案】A
【点评】本题考查对新运算的运算法则理解和应用以及分式方程的解法.解决此类问题的关键是能够运用新运算法则将转化为.再用常规方法解决。作为中考试题,问题情境新颖加上难度不大学生易得分,使学生获得成就感的同时也增强了做中考试卷后续题型的信心和勇气。
【例2】（2012年.四川省德阳市）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文（解密）。已知加密规则为：明文a，b,c，d对应密文，，，，。例如：明文1，2，3，4对应的密文5，7，18，16。当接收方收到密文14,9，23，28时，则解密得到的明文为:
A。 4，6,1，7 B. 4，1，6,7 C。6，4，1，7 D.1,6，4，7
【分析】根据对应关系：4d＝28可以求得d＝7；代入2c+3d＝23得c＝1；在代入2b+c＝9得b＝4；代入a+2b＝14得a＝6。
【答案】C。
【点评】本题实质是考查多元方程组的解法．从简单的一元一次方程入手，通过代入消元，求出各个未知量，渗透了把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．
【例3】（2009•雅安)定义一种法则“⊕”如下：a⊕b＝ ，例如：1⊕2＝2，若（-2m-5)⊕3＝3，则m的取值范围是 m≥—4m≥-4．
【分析】先根据题中所给的条件判断a、b的大小后转化为关于m的不等式，再求出m的取值范围即可．
【解答】∵1⊕2＝2，若（-2m-5）⊕3＝3则—2m—5≤3，解得m≥-4．故答案为：m≥—4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，通过分类思考分析得出正确的关于m的不等式是解答此题的关键．
二、“新定义”实数运算
【例1】（2011•孝感)对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b＝ ，
例如：2☆3＝2-3＝ ；计算：［2☆（—4）]×[(—4）☆(-2）]＝ 11．
【分析】先判断算式a☆b中，a与b的大小,转化为对应的幂运算，再进行乘法运算．
【解答】［2☆（-4）］×[(-4）☆（—2）]＝2-4×（—4)2＝×16＝1．故答案为：1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是对新定义正确的理解,并能透过现象看本质正确转化为幂的运算。.
【例2】（2007年。芜湖)定义运算“@"的运算法则为：x@y＝ ，例如：2＠3＝ ＝ 10；请模仿上例求:(2@6)@8的值．
【分析】根据运算的定义,转化成一般形式的计算，然后进行二次根式的化简即可求解．
【解答】(2@6)@8＝＠8＝4＠8＝＝＝6．
【点评】此题根据新定义计算法 则要经过两次转化成二次根式的化简的运算。
三、“新定义”规律探索
【例】(2009年。河北）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数"都可以看作两个相邻“三角形”之和，下列等式中,(1）符合这一规律的表达式是 ③，⑤③，⑤．
①13＝3+10;②25＝9+16;③36＝15+21;④49＝18+31；⑤64＝28+36．
（2)请再写出一个符合这一规律的等式：
25＝10+15（答案不唯一）

【分析】根据已知条件，得出自然数是 1 2 3 4  5  6  7 8，三角数是1 3 6 10 15 21 28 36，再从中找出规律,即可找出结果．
【解答】其实三角形数是这样的：
自然数是 1 2 3 4  5  6  7 8;
三角形数 1 3 6 10 15 21 28 36
第几个三角数就是它的位置之前的所有自然数与本身之和.
正方形数 1 4 9 16 25 36 49 64故答案为:③⑤
【点评】此题是数列的应用并蕴含规律探索属高中知识渗透的新定义题型.考查了学生观察、分析、推理、归纳、仿练能力.
四、“新定义”点
【例1】(2012•厦门）如图:平面直角坐标系中，已知点A（2，3)、B(6，3）,连接AB．如果点P在直线y＝x-1上,且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“临近点”．

（1）判断点C( ）是否是线段AB的“临近点”,并说明理由；
（2)若点Q（m，n)是线段AB的“临近点”，求m的取值范围．
【分析】(1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴,根据点P到直线AB的距离小于1，求出当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点"，看点的纵坐标是否在y的范围内即可；
(2)根据线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜y＜4，把y＝2和y＝4分别代入y＝x—1，求出相应的x值，即可得出点的横坐标x的范围．
【解答】(1)点C（ )是线段AB的“临近点”．理由是：∵点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3，∴AB∥x轴,3-1＝2,3+1＝4，∴当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”,点C的坐标是（ ）∵＞2，且小于4,点C（ ）是线段AB的“临近点”．
(2)由（1)知：线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜y＜4，把y＝2代入y＝x—1得：x＝3，把y＝4代入y＝x—1得：x＝5，∴3＜x＜5，∵点Q（m，n）是线段AB的“临近点"，∴m的取值范围是3＜m＜5．
【点评】本题考查了一次函数的应用,深刻理解“临近点"找出符合条件的临近点的纵坐标取值范围是2＜y＜4问题（2）也迎刃而解了.
【例2】（2012.湖北随州）定义：平面内的直线与相较于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线，的距离分别为a、b，则称有序非负实数对（a，b）是点M的“距离坐标".根据上述定义,距离坐标为（2,3）的点的个数是（ )
A．2 B．1 C．4 D．3
【分析】根据定义“距离坐标”是（2，3)的点，说明M到直线与的距离分别是2和3,平面被相交直线与分成四个区域，与直线与距离是2和3的直线各有2条故这些直线的交点有4个即符合条件的点共4个如下图．

【答案】C
【点评】此题考点是坐标确定位置；解题要注意两相交直线分平面成4个区域．
五、“新定义"线
【例】（2011年．武汉四月调考）如果抛物线的顶点在抛物线上，同时，抛物线的顶点在抛物线上,那么，我们称抛物线与关联.
（1)已知抛物线①，判断下列抛物线②；③与已知抛物线①是否关联，并说明理由.
（2)抛物线:,动点P的坐标为(t,2）,将抛物线绕点P（t，2）旋转得到抛物线，若抛物线与关联，求抛物线的解析式.
(3)点A为抛物线:的顶点,B为与抛物线关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜边的等腰直角，使其直角顶点C在轴上，若存在,求出C点的坐标；若不存在，请说明理由。

【分析】(1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验此点是否在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案;
(2）首先求得抛物线C1的顶点坐标，则可得：点P在直线y＝2上，可作辅助线:作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y＝2的垂线,垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；
(3）分别从当A，B，C逆时针分布时与当A，B，C顺时针分布时分析,根据全等三角形的知识，即可求得点C的坐标，注意别漏解．
【解答】（1）∵①抛物线y＝x2+2x-1＝（x+1）2-2的顶点坐标为M（—1，—2)，∴②当x＝—1时,y＝-x2+2x+1＝-1—2+1＝-2，∴点M在抛物线②上；∵③当x＝—1时，y＝x2+2x+1＝1-2+1＝0,∴点M不在抛物线③上；抛物线②y＝—x2+2x+1＝-(x-1)2+2,其顶点坐标为（1，2)，
经验算：（1，2）在抛物线①上,∴抛物线①、②是关联的；
(2）抛物线C1：y＝(x+1)2—2的顶点M的坐标为（-1,-2)，
∵动点P的坐标为（t，2）∴点P在直线y＝2上，作M关于P的对称点N,分别过点M、N作直线y＝2的垂线，垂足为E，F，则ME＝NF＝3，∴点N的纵坐标为6，
当y＝6时（x+1）2-2＝6解得：x1＝7，x2＝—9，①设抛物C2的解析式为：y＝a(x-7）2+6，∵点M(—1,-2）在抛物线C2上，∴-2＝a（-1-7）2+6∴a＝∴抛物线C2的解析式为：y＝（x—7）2+6;②设抛物C2的解析式为：y＝a(x+9)2+6∵点M（—1,-2）在抛物线C2上∴-2＝a（—1+9)2+6，∴a＝∴抛物线C2的解析式为:y＝（x+9）2+6.

（3）点C在y轴上的一动点，以AC为腰作等腰直角△ABC，令C的坐标为（0，c），则点B的坐标分两类：①当A，B，C逆时针分布时，如图中B点，过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为H，F，则△BCF≌△CAH，∴CF＝AH＝1，BF＝CH＝c+2，点B的坐标为（c+2，c—1)，当点B在抛物线C1:y＝(x+1）2-2上时，c-1＝（c+2+1）2-2,解得:c＝1．②当A,B,C顺时针分布时,如图中B′点，过点B′作y轴的垂线，垂足为D,同理可得:点B′的坐标为（—c—2，c+1）,当点B′在抛物线C1:y＝（x+1）2-2上时,c+1＝（-c-2+1）2—2，解得：c＝3+4或c＝3-4．综上所述,存在三个符合条件的等腰直角三角形，其中C点的坐标分别为：C1（0，1），C2（0，3+4），C3（0，3-4）．
【点评】新定义题型以不同形式呈现，从不同角度考查学生现有的数学知识。此题是道压轴题,三小问梯度呈现，第(1）问虽然是新定义的简单应用但要同学们将抛物线顶点坐标代入解析式验证后根据新定义法则做出判断;第（2）问融进了中心对称知识学生须画出对称点借助辅助线完成，难度加大,逐渐出现区分度；第（3）问要求学生在（2）问的基础上深刻理解关联抛物线的定义,作分类讨论，思维必须严谨否则易漏解，此问难度最大，得分率不高.
总之此题不仅考察了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求法，全等三角形的判定等知识．考查了学生阅读理解能力，灵活运用新知的应变能力、迁移能力寓数形结合思想与分类讨论思想于其中. 而且每问或明或暗设置了两个答案使试题偏难。
六、“新定义”面
【例】（2012年.陕西）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1)“抛物线三角形”一定是___________ 三角形；
(2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,求的值;
（3）如图,△是抛物线的“抛物线三角形"，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在,求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【解析】（1）因为抛物线的顶点必在它与x轴两个交点连线段的中垂线上，所以“抛物线三角形”一定是等腰三角形。
（2）由条件得抛物线的顶点在第一象限，用b的代数式表示出顶点坐标，当“抛物线三角形”是等腰直角三角形时，顶点的横纵坐标相等，列出方程求出b。
（3）由题意若存在,则△OAB为等边三角形，同（2)的办法求出。求出A、B两点坐标后得到C、D两点坐标，再由待定系数法求解.
【解答】（1）等腰；（2)∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴该抛物线的顶点满足∴．
（3）存在．
如图，作△与△关于原点中心对称，则四边形为平行四边形．
当时，平行四边形为矩形．
又∵∴△为等边三角形．
作，垂足为∴．
∴；∴．
∴，；∴，．
设过点三点的抛物线,则
解之，得
∴所求抛物线的表达式为．
【点评】本题第（1）问同上题一样仍是“新定义"的简单应用，第（2）问学生必须抓住抛物线是经过原点的抛物线的性质,则可在第（1）问基础上可推出“抛物线三角形”是等腰直角三角形因此直角顶点横纵坐标相等，运用抛物线顶点公式构造方程求解。第（3）问在前两小问考查了等腰三角形判定等腰直角三角形性质的基础上融进了中心对称知识点学生必须掌握矩形是特殊的平行四边形性质作出图形，再利用矩形的对角线相等得到“抛物线三角形”是等边三角形，运用等边三角形性质等知识求解。
总之此题将综合考查二次函数的性质及其解析式的确定、等腰三角形的性质和判定、矩形的性质和判定等知识，放在新的问题情境中使得试题活泼新颖是一道二次函数和三角形、四边形的综合题，此题虽不是压轴题但也较难.
综上新定义题型在中考试题中以选择题、填空题、解答题的形式出现,试题涉及到对纯代数或纯几何知识点或代数和几何相结合的综合题型的考查有种乱花渐欲迷人眼的感觉，但也有其解答策略.一般是运用新定义的法则转化成常规方法解答的题型即可对于新定义选择题可用我们大家熟知的排除法、特殊值法、直接法、图像法、验算法、估算法.填空题可用分析法、淘汰法、特例法、直接法、数形结合法等方法解答。解答题一般考查学生综合运用初中三年所学知识点的能力，常寓数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等于题型当中。 “新定义“题型立足于课标，不拘泥于课标，新颖而迷人眼的问题情境要求教师培养学生透过现象看问题本质的方法；要求教师在完成教学任务同时注重学生创新思维能力的培养，也为教师日常教学工作指明了新的导向. 千变万化的题型，迥异的解答策略,是数学魅力所在，更是命题人的创新精神所在.也是我们教育工作者必备的精神品质。