数列通项公式求法(叠加-叠乘等)全面.doc

(完整word)数列通项公式求法(叠加,叠乘等)全面
数列通项公式的求法
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式--通项公式，在求数列问题中尤其重要.
◆一、直接法
根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。
◆二、公式法
①利用等差数列或等比数列的定义求通项
②若已知数列的前项和与的关系,求数列的通项可用公式求解。
（注意：求完后一定要考虑合并通项)

例1．①已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。

②已知数列的前项和满足，求数列的通项公式.

◆三、累加（乘）法
对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘）即可得到通项公式.
例4。 若在数列中,，，求通项。
解析：由得，所以
，,…，,
将以上各式相加得：，又
所以 =
例5. 在数列中，,（），求通项。
解析:由已知，，，…，，又，
所以=…=…=
◆四、取倒(对)数法
例6.．设数列满足求
解：原条件变形为两边同乘以得.
∵
∴
变式：1.已知数列｛an}满足：a1＝，且an＝
（1） 求数列{an｝的通项公式；
（2） 证明:对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！
2、 若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。

3、 已知数列{｝满足时，,求通项公式。

4、 已知数列｛an}满足：，求数列｛an｝的通项公式。

5、 若数列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通项a．

◆五、待定系数法：
1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k｝的形式求解。一般地，形如a=p a+q(p≠1,pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q,即k=，从而得等比数列{a+k}。
例9、数列｛a｝满足a=1，a=a+1(n≥2)，求数列｛a}的通项公式。
解:由a=a+1(n≥2）得a－2=（a－2）,而a－2=1－2=－1，
∴数列{ a－2｝是以为公比，－1为首项的等比数列
∴a－2=－(） ∴a=2－（）

练习、1数列{a}满足a=1，,求数列{a}的通项公式.

2、已知数列满足，且，求．

2、递推式为（p、q为常数）时，可同除，得，令从而化归为（p、q为常数)型．
、

例10．已知数列满足， ，求．
解:将两边同除，得
设,则．令
．条件可化成，数列是以为首项，
为公比的等比数列．．因，
．

◆六：换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得

即
因为,故
则，即，
可化为,
所以是以为首项，以为公比的等比数列,因此，则，即,得
.
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

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