中考复习：二次函数和图形面积.doc

二次函数与图形面积
★1.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)、B(1，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；
(3)抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，求m、n的值．
解：(1)将点A(4，0)、B(1，3)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x；
(2)对称轴为直线x＝－＝－＝2，顶点坐标为(2，4)；
(3)抛物线的对称轴为直线x＝2，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，则点P关于直线l的对称点为E(4－m，n)，
点E关于x轴的对称点为F(4－m，－n)，
若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，
则S四边形OPAF＝S△AOF＋S△AOP＝×4×(－n)＋×4×(－n)＝－4n＝20，
得n＝－5，将(m，－5)代入y＝－x2＋4x，解得m＝5或m＝－1.
∵点P(m，n)在第四象限，
∴m＝5，n＝－5.
★2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O、B(1，3)、C(2，2)，与x轴交于另一点N.
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接BC，若点A为BC所在直线与y轴的交点，在抛物线上是否存在点P，使得S△OAP＝S△ONP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图
解：(1)将0(0，0)、B(1，3)、C(2，2)三点的坐标分别代入抛物线
y＝ax2＋bx＋c，可得，解得，
∴所求抛物线的表达式为y＝－2x2＋5x；
(2)存在，
设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b，将点B、C的坐标代入可得，解得，
则y＝－x＋4.
把x＝0代入y＝－x＋4得y＝4，
∴点A(0，4)，
把y＝0代入y＝－2x2＋5x得x＝0或x＝，
∴点N(，0)，
设点P的坐标为(x，y)，
S△OAP＝OA·x＝2x，S△ONP＝ON·y＝×·(－2x2＋5x)＝(－2x2＋5x)，
由S△OAP＝S△ONP，即2x＝·(－2x2＋5x)解得x＝0(舍去)或x＝1，
当x＝1时，y＝3，
∴存在点P，其坐标为(1，3)．
★3.已知，m、n是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且m<n，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(m，0)，B(0，n)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；
(3)点P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把△PCH分成面积之比为2∶ 3的两部分，请求出P点的坐标．

第3题图
解：(1)解方程x2－6x＋5＝0，
得x1＝5，x2＝1，
由m<n，得m＝1，n＝5.
∴点A、B的坐标分别为A(1，0)，B(0，5)．
将A(1，0)，B(0，5)的坐标分别代入y＝－x2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5；
(2)令y＝－x2－4x＋5＝0，
解得x1＝－5, x2＝1，
∴C点的坐标为(－5，0)．
由顶点坐标公式计算，得点D(－2，9)．
如解图①，过D作x轴的垂线交x轴于点M.
则S△DMC＝×9×(5－2)＝，S四边形MDBO＝×2×(9＋5)＝14，
S△BOC＝×5×5＝，
∴S△BCD＝S四边形MDBO＋S△DMC－S△BOC＝14＋－＝15；

第3题解图① 第3题解图②
(3)如解图②，设P点的坐标为(a，0)，
∵直线BC过B、C两点，
∴BC所在直线的解析式为y＝x＋5.
那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a＋5)，
PH与抛物线y＝－x2－4x＋5的交点H的坐标为(a，－a2－4a＋5)．
由题意，得①EH＝EP，
即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝(a＋5)，
解得a＝－或a＝－5(舍去)；
②EH＝EP，
即(－a2－4a＋5)－(a＋5)＝(a＋5)．
解得a＝－或a＝－5(舍去)．
∴P点的坐标为(－，0)或(－，0)．
★4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)、B(2，－)，其中点M是OA的中点．
(1)求过A、B、O三点的抛物线L的表达式；
(2)将抛物线L在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一段新的抛物线L′，其中点B′与点B关于x轴对称，在抛物线L所在x轴上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的抛物线L′交于点D.当S△CDA＝2S△MDA时，求点C的坐标．

第4题图
解：(1)由于抛物线L经过点A(4，0)、B(2，－)、O(0，0)，设抛物线L的表达式为y＝ax2＋bx.
将点A(4，0)、B(2，－)代入抛物线中有：
，解得，
∴抛物线L的表达式为y＝x2－x；
(2)∵抛物线L′是由抛物线L沿x轴向上翻折得到，
∴抛物线L′的表达式为y＝－x2＋x(0≤x≤4)，
如解图，过点C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，故DE∥CF.连接AD、AC，
∴＝＝，
设△ACM边CM上的高为h，
∵S△CDA＝2S△MDA，
∴CD·h＝2×MD·h
∴CD＝2MD，故CM＝3MD.
∴CF＝3DE，MF＝3ME.
设点C的坐标为(t，t2－t)， 第4题解图
则MF＝t－2，ME＝MF＝(t－2)，OE＝ME＋OM＝t＋，
∴点D的纵坐标为：yD＝－(t＋)2＋(t＋)，
又∵CF＝3DE，
∴t2－t＝3[－(t＋)2＋(t＋)]，
整理得t2－4t－8＝0，
解得t1＝2＋2，t2＝2－2，
将t1、t2代入抛物线L的解析式中，解得y＝，
∴满足条件的点C的坐标为(2＋2，)或(2－2，)．
★5.如图，等腰Rt△AOC在平面直角坐标系中，已知AO＝6，点B(－3，0)．
(1)求过点A、B、C的抛物线的表达式；
(2)已知点P(，0)，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，求△APE的面积；
(3)在第一象限内，该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与(2)中△APE的面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

第5题图
解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得，抛物线的图象经过点A(0，6)，B(－3，0)，C(6，0)，
∴，解得，
故此抛物线的表达式为y ＝－x2＋x＋6；

第5题解图①
(2)如解图①，∵点P的坐标为(，0)，
则PC＝，S△ABC＝BC·AO ＝×9×6＝27，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CAB.
∴＝()2，
∴S△CEP＝，
∵S△APC＝PC·AO ＝，
∴S△APE＝ S△APC－S△CEP ＝；
(3)存在．
如解图②，在第一象限内的抛物线上任取一点G，过点G作GH⊥BC于点H，连接AG、GC，设点G的坐标为(a，b)，

第5题解图②
∵S四边形AOHG＝a(b＋6)，
S△CHG＝(6－a)b.
∴S四边形AOCG＝a(b＋6)＋(6－a)b＝3(a＋b)．
∵S△AGC＝ S四边形AOCG－S△AOC，
∴＝3(a＋b)－18.
∵点G(a，b)在抛物线y＝－x2＋x＋6的图象上，
∴b＝－a2＋a＋6.
∴＝3(a－a2＋a＋6)－18，
化简得4a2－24a＋27＝0.
解得a1＝，a2＝.
故点G的坐标为(，)或(，)．

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