中考复习：二次函数和图形面积.doc

二次函数与图形面积1.已知抛物线yx2bxc的图象过点A(4，0)、B(1，3)(1)求抛物线的表达式；(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，求m、n的值解：(1)将点A(4，0)、B(1，3)代入抛物线yx2bxc得，解得，抛物线的表达式为yx24x；(2)对称轴为直线x2，顶点坐标为(2，4)；(3)抛物线的对称轴为直线x2，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，则点P关于直线l的对称点为E(4m，n)，点E关于x轴的对称点为F(4m，n)，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，则S四边形OPAFSAOFSAOP4(n)4(n)4n20，得n5，将(m，5)代入yx24x，解得m5或m1.点P(m，n)在第四象限，m5，n5.2.如图，抛物线yax2bxc经过原点O、B(1，3)、C(2，2)，与x轴交于另一点N.(1)求抛物线的表达式；(2)连接BC，若点A为BC所在直线与y轴的交点，在抛物线上是否存在点P，使得SOAPSONP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第2题图 解：(1)将0(0，0)、B(1，3)、C(2，2)三点的坐标分别代入抛物线yax2bxc，可得，解得，所求抛物线的表达式为y2x25x；(2)存在，设BC所在直线的表达式为ykxb，将点B、C的坐标代入可得，解得，则yx4.把x0代入yx4得y4，点A(0，4)，把y0代入y2x25x得x0或x，点N(，0)，设点P的坐标为(x，y)，SOAPOAx2x，SONPONy(2x25x)(2x25x)，由SOAPSONP，即2x(2x25x)解得x0(舍去)或x1，当x1时，y3，存在点P，其坐标为(1，3)3.已知，m、n是方程x26x50的两个实数根，且mn，抛物线yx2bxc经过点A(m，0)，B(0，n)(1)求抛物线的表达式；(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和BCD的面积；(3)点P是线段OC上的一点，过点P作PHx轴，与抛物线交于点H，若直线BC把PCH分成面积之比为2 3的两部分，请求出P点的坐标第3题图 解：(1)解方程x26x50，得x15，x21，由mn，得m1，n5.点A、B的坐标分别为A(1，0)，B(0，5)将A(1，0)，B(0，5)的坐标分别代入yx2bxc，得，解得，抛物线的表达式为yx24x5；(2)令yx24x50，解得x15, x21，C点的坐标为(5，0)由顶点坐标公式计算，得点D(2，9)如解图，过D作x轴的垂线交x轴于点M.则SDMC9(52)，S四边形MDBO2(95)14，SBOC55，SBCDS四边形MDBOSDMCSBOC1415； 第3题解图 第3题解图(3)如解图，设P点的坐标为(a，0)，直线BC过B、C两点，BC所在直线的解析式为yx5.那么，PH与直线BC的交点坐标为E(a，a5)，PH与抛物线yx24x5的交点H的坐标为(a，a24a5)由题意，得EHEP，即(a24a5)(a5)(a5)，解得a或a5(舍去)；EHEP，即(a24a5)(a5)(a5)解得a或a5(舍去)P点的坐标为(，0)或(，0)4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)、B(2，)，其中点M是OA的中点(1)求过A、B、O三点的抛物线L的表达式；(2)将抛物线L在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一段新的抛物线L，其中点B与点B关于x轴对称，在抛物线L所在x轴上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的抛物线L交于点D.当SCDA2SMDA时，求点C的坐标第4题图 解：(1)由于抛物线L经过点A(4，0)、B(2，)、O(0，0)，设抛物线L的表达式为yax2bx.将点A(4，0)、B(2，)代入抛物线中有：，解得，抛物线L的表达式为yx2x；(2)抛物线L是由抛物线L沿x轴向上翻折得到，抛物线L的表达式为yx2x(0x4)，如解图，过点C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F，故DECF.连接AD、AC， ，设ACM边CM上的高为h，SCDA2SMDA，CDh2MDhCD2MD，故CM3MD. CF3DE，MF3ME.设点C的坐标为(t，t2t)， 第4题解图则MFt2，MEMF(t2)，OEMEOMt，点D的纵坐标为：yD(t)2(t)，又CF3DE，t2t3(t)2(t)，整理得t24t80，解得t122，t222，将t1、t2代入抛物线L的解析式中，解得y，满足条件的点C的坐标为(22，)或(22，)5.如图，等腰RtAOC在平面直角坐标系中，已知AO6，点B(3，0)(1)求过点A、B、C的抛物线的表达式；(2)已知点P(，0)，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，求APE的面积；(3)在第一象限内，该抛物线上是否存在点G，使AGC的面积与(2)中APE的面积相等？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由第5题图 解：(1)设抛物线的表达式为yax2bxc(a0)，由题意得，抛物线的图象经过点A(0，6)，B(3，0)，C(6，0)，解得，故此抛物线的表达式为y x2x6；第5题解图(2)如解图，点P的坐标为(，0)，则PC，SABCBCAO 9627，PEAB，CEPCAB.()2，SCEP，SAPCPCAO ，SAPE SAPCSCEP ；(3)存在如解图，在第一象限内的抛物线上任取一点G，过点G作GHBC于点H，连接AG、GC，设点G的坐标为(a，b)，第5题解图S四边形AOHGa(b6)，SCHG(6a)b.S四边形AOCGa(b6)(6a)b3(ab)SAGC S四边形AOCGSAOC，3(ab)18.点G(a，b)在抛物线yx2x6的图象上，ba2a6.3(aa2a6)18，化简得4a224a270.解得a1，a2.故点G的坐标为(，)或(，)9 / 10