初二竞赛辅导专题一：一元二次方程整数根问题.doc

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专题一：一元二次方程整数根问题
一. 利用判别式
例1。当m是什么整数时,关于x的一元二次方程与的根都是整数。
解：∵方程有整数根,
∴⊿=16-16m≥0，得m≤1
又∵方程有整数根
∴ 得
综上所述，－≤m≤1
∴x可取的整数值是-1，0，1
当m=-1时，方程为－x—4x+4=0 没有整数解，舍去。
而m≠0 ∴ m=1

二. 利用求根公式
例3．（2000年全国联赛）设关于x的二次方程
的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。
解：
由求根公式得
即
由于x≠—1，则有
两式相减，得
即
由于x，x是整数,故可求得或或
分别代入，易得k=，6,3.
三. 利用方程根的定义
例4。b为何值时，方程 和有相同的整数根？
并且求出它们的整数根？
解：两式相减，整理得(2-b）x=（2—b)(1+b）
当b≠2时,x=1+b，代入第一个方程,得
解得b=1,x=2
当b=2时,两方程无整数根。
∴b=1,相同的整数根是2

四。利用因式分解(考试重点）
例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数,
那么符合条件的整数a有___________个。
解： 当a=1时,x=1
当a≠1时，原方程左边因式分解,得 （x-1）[（a—1)x+（a+1）］=0
即得
∵ x是整数
∴ 1—a=±1，±2, ∴a=-1，0,2，3
由上可知符合条件的整数有5个.

练习： 已知方程有两个不等的负整数根，则整数a的值是?

m是什么整数时，方程(m2-1）x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根．

已知关于x的方程a2x2—(3a2—8a)x＋2a2—13a＋15=0(其中a是非负整数）至少有一个整数根,求a的值．

六.构造等式
例9。(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a，b，c,使得关于x的方程
的所有的根都是正整数。
解：设三个方程的正整数解分别为,则有

令x=1，并将三式相加，注意到x≥1（i=1，2,…6），有

但 a≥1，b≥1,c≥1，又有 3-(a+b+c）≤0，
∴ 3—(a+b+c）=0
故 a=b=c=1
七.分析等式
例10.(1993年安徽竞赛题） n为正整数，方程
有一个整数根,则n=__________。
解：不妨设已知方程的整数根为α，则

整理.得
因为为整数,所以为整数
也一定是整数，要使为整数,必有
由此得,即
解得n=3或—2（舍去）
∴ n=3.