矩阵特征值和特征向量的研究应用.doc

矩阵特性值与特性向量研究

目录
一 矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义 3
二、特征值与特征向量的定义及其性质 4
2.1 定义 4
2.2 性质 4
三 特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现 5
3.1 QR方法 5
3.1.1 基本原理 5
3.1.2 具体实例 5
3.2 用多项式的方法来求解特征值 10
四 特征值与特征向量的简单应用 12
五 小结 16

一 矩阵特性值与特性向量研究背景及意义
矩阵特性值与特性向量是高等代数重要构成某些，通过对矩阵特性值与特性向量性质简介，以及对矩阵特性值与特性向量理论分析，将特性值与特性向量应用于方程组求解问题是高等代数中重要内容。
随着社会到进步，计算机飞速发展，高等代数这门课程已经渗入到各行各业里面。在许多方面均有着很重要应用。在多数高等代数教材中,特性值与特性向量描述为线性空间中线性变换A特性值与特性向量。从理论上来讲只规定出线性变换A特性值和特性向量就可以懂得矩阵A特性值和特性向量。因而求矩阵特性值与特性向量就变得尤为重要引入是为了研究线性空间中线性变换A属性。
在物理，力学，工程技术中有诸多问题在数学上都归结为求矩阵特性值和特性向量问题。当前教材中给出求解特性值和特性性向量办法基本上都是通过求解特方程来求解。有时候特性方程会极其麻烦。有某些文章中虽然给了初等行列变换办法来较少计算量，但是仍未挣脱参数行列式计算问题。本文中咱们将一方面解说关于特性值和特性向量有关知识，此外简介某些简朴实用办法来求解矩阵特性值与特性向量。

二、特性值与特性向量定义及其性质
2.1 定义
设 A是n阶方阵，如果存在数λ 和n维非零向量x，使得 Ax =λ x成立，则称λ 为 A特性值，x是A 相应特性值λ 特性向量。

2.2 性质
（1）是A特性值
（2）是A属于特性值特性向量重要条件为为齐次方程组非零解。
（3）n阶矩阵在复数域上正好有n个特性值（重根按重数计算）。
（4）n阶矩阵A为可逆矩阵重要条件是A特性值全不为0。
（5）A与有相似特性值。
（6）设A是可逆矩阵，如果是A一种特性值，相应特性向量为，则一种特性值，相应特性向量依然为。

三 特性值及其特性向量求法及其MATLAB实现
3.1 QR办法
3.1.1 基本原理
QR算法是计算矩阵特性值问题最有效办法之一，也是普遍被用于工程实践中一种办法。QR办法思想是基于对于实非奇异矩阵都可以分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R乘积，并且当R对角元素符号取定期，分解是唯一。
QR算法基本环节如下

（1）令，对进行正交分解，分解为正交矩阵和上三角矩阵乘积：

（2）然后将得到因式矩阵反序相乘，得到：

（3）以代替，重复以上环节得到，因此得到QR算法计算公式为：

性质1 所有都相似，它们具备相似特性值。
性质2 QR分解式为

其中，
3.1.2 详细实例
例1
用QR算法求矩阵
A=
特性值。
解： 令,用施密特正交化过程将分解为

=
=

将逆序相乘，求出
==

用代替A重复上面过程，计算11次得

由不难看出，矩阵A一种特性值是4，另一种特性值是-1，其她两个特性值是方程
=0
根，求得为1+2i,1-2i

例2
已知矩阵A=,采用QR办法计算A所有特性值。
程序代码如下
function [namda,time,data_na]=tzh(A,tol)
if nargin==1;
tol=1e-7
end
%设立初始误差使之能进入循环
wucha=1
%记录迭代次数
time=0
%如果误差没有满足精度，并且迭代次数在500次以内，可以循环迭代
%否则跳出循环
while (wucha>tol)&(time<500)
[q,r]=qr(A);
A1=r*q;
tz0=diag(A1);
tz1=diag(A);
wucha=norm(tz0-tz1);
%迭代赋值
A=A1;
time=time+1;
data_na(time,:)=tz1;
end
namda=tz1;

%用QR办法计算矩阵特性值
a=[2 1 0
1 3 1
0 1 4];
%调用办法函数
[namda,time,data_na]=tzh(a);
disp('特性值为')
namda
disp('迭代次数为')
time
%用于输出数据
n1=length(data_na);
%n2为数组
n2=(1:n1)';
%temp1为迭代序列与特性值构成向量
temp1=[n2,data_na];
%第一种特性值
subplot(2,2,1:2)
plot(data_na(:,1))
title('第一种特性值')
grid
%第二个特性值
subplot(2,2,3)
plot(data_na(:,2))
title('第二个特性值')
grid
%第三个特性值
subplot(2,2,4)
plot(data_na(:,3))
title('第三个特性值')
grid

输出成果为：
特性值为

namda =

4.7321
3.0000
1.2679

迭代次数为

time =

22

由图像可以看出在迭代前几次也许会有某些波动，但是逐渐趋于平稳，总体而言，QR办法是计算矩阵特性值一种比较好办法。

3.2 用多项式办法来求解特性值
咱们懂得，求n阶方阵A特性值就是求代数方程

根。称为A特性多项式。上式展开为

其中，…….为多项式系数。

从理论上来讲，求A得特性值可分为两步：
第一步：直接展开行列式求出多项式；
第二步：求代数方程=0根，即特性值。
对于低阶矩阵，这种办法显然是可行。但是对于高阶矩阵，计算量则非常大，这种办法就有其自身弊端。这里咱们将简介F-L办法来求特性方程中多项式系数，也就是求多项式。由于代数方程求根问题核心是拟定矩阵A特性多项式，因此这种办法为多项式办法求特性值问题。
记矩阵A=对角线元素之和为
trA=
运用递归概念定义如下n个矩阵(K=1、2、、、、n):

可以证明上式中，k=1,2,3….n,即是所求A特性多项式各项系数，用上式求矩阵特性多项式系数办法称为F-L法，相应特性方程为

并且可证矩阵A逆矩阵可表达为

特性向量求法
当矩阵A特性值拟定后来，将这些特性值逐个代入齐次线性方程组x=0中，由于系数矩阵秩不大于矩阵阶数n，因而虽然有n个方程n个未知数，但事实上是解有n个未知数互相独立到r个方程（r<n）.当矩阵A所有特性值互不相似时候，这样问题中要解另一方面性方程组中有n-1个独立方程，其中具有n个特性向量分量，因而特性向量分量中至少有一种需要任意假设其值，才干求出其她特性分量。
四 特性值与特性向量简朴应用
在经济发展与环境污染增长模型方面应用
在当前时代发展中，经济增长飞速发展。但是随着经济增长同步，环境污染也越发严重。环境治理称为当今社会需要注意有一种核心问题。因此探讨环境与经济增长之间关系就变得尤为重要。在这方面矩阵特性值与特性向量有着一定限度上应用，可建立如下数学模型：
设分别为某地区当前环境污染水平与经济发展水平，分别为该地区若干年后环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：

令

则上述关系矩阵形式为
此式反映了该地区当前和若干年后环境污染水平和经济发展水平之间关系.
如

则由上式得
由此可预测该地区若干年后环境污染水平和经济发展水平.
普通地，若令分别为该地区t年后环境污染水平与经济发展水平，则经济发展与环境污染增长模型为
令
则上述关系矩阵形式为
由此，有

由此可预测该地区t年后环境污染水平和经济发展水平.下面作进一步地讨论： 由矩阵A 特性多项式

得A 特性值为
对 ，解方程得特性向量
对，解方程得特性向量
显然,线性无关
下面分三种状况分析：
第一种：
一种性质:若是矩阵属于特性值特性向,也是属于特性值特性向量度（*）
由(*)及特性值与特性向量性质知，

即 或
此式表白：在当前环境污染水平和经济发展水平前提下， 年后，当经济发展水平达到较高限度时，环境污染也保持着同步恶化趋势.
第二种：
，因此不讨论此种状况
第三种：
不是特性值,因此不能类似分析。但是可以由唯一线性表出来：

由(*)及特性值与特性向量性质

即

由此可预测该地区年后环境污染水平和经济发展水平.
因无实际意义而在第二种状况中未作讨论，但在第三种状况讨论中仍起到了重要作用.
由经济发展与环境污染增长模型易见，特性值和特性向量理论在模型分析和研究中获得了成功应用。

在其她方面应用简述
在信息解决上意义
由于这些投影大小代表了A 在特性空间各个分量投影，那么咱们可以使用最小2 乘法，求出投影能量最大那些分量，而把剩余分量去掉，这样最大限度地保存了矩阵代表信息，同步可以大大减少矩阵需要存储维度，简称PCA 办法。[3]线性变换PCA 可以用来解决图像。如2 维人像辨认：咱们把图像A 当作矩阵，进一步当作线性变换矩阵，把这个训练图像特性矩阵求出来(假设取了n 个能量最大特性向量)。用A 乘以这个n 个特性向量，得到一种n 维矢量a，也就是A 在特性空间投影。此后在辨认时候同一类图像(例如，来自同一种人面部照片)，以为是A 线性有关图像，它乘以这个特性向量，得到n 个数字构成一种矢量b，也就是B 在特性空间投影。那么a 和b 之间距离就是咱们判断B 是不是A 准则。又如Google 公司PageRank，也是通过计算一种用矩阵表达图。这个图代表了整个Web 各个网页“节点”之间关联。用特性向量来对每一种节点打“特性值”分。

五 小结
在这个信息飞速发展时代，咱们科技正在越来越进步。各种先进产品层出不穷。人们在惊叹于社会科技进步同步不能忘了某些基本学科在其中起到重要作用。在本文中咱们就简朴简介了线性代数中特性值与特性向量某些研究。
在这个大数据时代，许多数据都是以矩阵形式呈当前人们到眼前。在矩阵中标有一种很重要量就是特性值和特性向量。本文重要分为了四个某些简介了特性值与特性向量有关知识。一方面在第一某些咱们懂得了特性值与特性向量研究背景，咱们也明白了其重要性。接下来咱们简介了特性值与特性向量到定义和其某些惯用性质，使咱们对其有了更加详细理解。然后咱们简介了两种惯用求解特性值和特性向量办法，固然为了区别咱们并没有简介本科期间课本上解说某些最基本例如行列变换解法。咱们简介了QR办法并且用MATLAB实践了一下，由于在实际生活中咱们需要用计算机来解决这些问题。然后咱们还简介了F-L办法来求解矩阵特性值和特性向量。最后咱们解说在生活中特性值和特性向量应用，例如在经济发展与环境污染模型中应用和在信息解决上意义。
但愿通过本文解说，人们对特性值和特性向量有一种更加理性更加深刻理解。