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第一章 数和数的运算
自然数和 0 都是整数。
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的 1，2，3,, 叫做自然数。
一个物体也没有，用 0 表示。0 也是自然数。
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿 ,, 都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。这样的计数法叫做十进制计数法。
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
整数 a 除以整数 b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说 a 能被 b 整除，或者说 b 能整除 a。
如果数 a 能被数 b（b≠0）整除， a 就叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的因数（或 a 的因数）。倍数和因数是相互依存的。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除。
个位上是 0 或 5 的数，都能被 5 整除。
一个数的各位上的数的和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除。
一个数各位数上的和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除。
能被 3 整除的数不一定能被 9 整除，但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。
能被 2 整除的数叫做偶数。
不能被 2 整除的数叫做奇数。
0 也是偶数。自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数） ，100 以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、
23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
1 不是质数也不是合数，自然数除了 1 外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合
数和 1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 其中每个质数都是这个合数的因数， 叫做这个合数的质因数， 把一个合数用质因
数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。
如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是 1。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
（二）小数
1．小数的意义
把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份,, 得到的十分之几、百分之几、千分之几 ,, 可以用小数表示。
一个小数由整数部分、 小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点， 小数点左边的数叫做整数部分， 小数点右边的
数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。小数部分的最高分数单位”十分之一”和整数部分的最低单位”一”
之间的进率也是 10。
2．小数的分类
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。例如： π
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 ,,
0.333 ,, 12.109109 ,,
一个循环小数的小数部分， 依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如：3.99 ,, 的循环节是” 9”，0.5454 ,,
的循环节是” 54”。
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（三）分数
把单位” 1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母。
把单位” 1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于 1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数 , 也叫做百分率或百分比。 百分数通常用“ %”来表示。 百分号是表示百分
数的符号。
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个”亿”或”万”字。
每一级末尾的 0 都不读出来，其它数位连续有几个 0 都只读一个零。
整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0。
小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作”点” ，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的
数字。
小数的写法： 写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角， 小数部分顺次写出每一个数位上的数
字。
分数的读法：读分数时，先读分母再读”分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号” %”来表示。
（二）数的改写
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
四舍五入法： 要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小，就把尾数去掉； 如果尾数的最高位上的数是 5 或者比 5 大，就
把尾数舍去，并向它的前一位进 1。
4．大小比较
比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高
位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
比较小数的大小：先看它们的整数部分， ，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十
分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大 ,,
比较分数的大小 : 分母相同的分数， 分子大的分数比较大； 分子相同的数， 分母小的分数大。 分数的分母和分子都不相同的，
先通分，再比较两个数的大小。
（三）数的互化
1．小数化成分数：原来有几位小数，就在 1 的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2．分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3．一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有 2 和
5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4．小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。
5．百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6．分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数） ，再把小数化成百分数。
7．百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1．把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成
连乘的形式。
2．求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数 1 为止，然后把所有
的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。
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3．求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，
然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4．成为互质关系的两个数： 1 和任何自然数互质；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质
数互质；两个合数的公因数只有 1 时，这两个合数互质。
（五）约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公因数（ 1 除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三、性质和规律
（一）商不变的性质
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1．小数点向右移动一位，就扩大到原来的 10 倍；小数点向右移动两位，就扩大到原来的 100 倍；小数点向右移动三位，
就扩大到原来的 1000 倍,,
2．小数点向左移动一位，就缩小到原来的；小数点向左移动两位，就缩小到原来的；小数点向左移动三位，就缩小到原来
的,,
3．小数点向左移或者向右移位数不够时，要用” 0”补足位。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外） ，分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1．被除数÷ 除数 =被除数 / 除数 2 ．因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3．被除数相当于分子，除数相当于分母。
四、运算的意义
（一）整数四则运算
1．整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数 +加数=和 加数=和－另一个加数
2．整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
被减数 - 减数=差 被减数 =差+减数 减数=被减数 - 差
3．整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里， 0 和任何数相乘都得 0.1 和任何数相乘都的任何数。
因数× 因数 =积 因数=积÷ 另一个因数
4．整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里， 0 不能做除数。因为 0 和任何数相乘都得 0，所以任何一个数除以 0，均得不到一个确定的商。
被除数÷ 除数 =商 除数=被除数÷ 商 被除数 =商× 除数
（二）小数四则运算
1．小数加法：
小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
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2．小数减法：
小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算 .
3．小数乘法：
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同， 就是求几个相同加数和的简便运算； 一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之
几、百分之几、千分之几 ,, 是多少。
4．小数除法：
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
5．乘方（平方） ：
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 33=3× 3=32
（三）分数四则运算
1．分数加法：
分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2．分数减法：
分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3．分数乘法：
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4．乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。
5．分数除法：
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
（四）运算定律
1．加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b=b+a。
2．加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变，即 （a+b）
+c=a+（b+c）。
3．乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 a× b=b× a。
4．乘法结合律：
三个数相乘， 先把前两个数相乘， 再乘以第三个数； 或者先把后两个数相乘， 再和第一个数相乘， 它们的积不变， 即（a× b）
× c=a× （b× c）。
5．乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即 （a+b）× c=a× c+b× c。
6．减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即 a-b-c=a- （b+c）。
（五）运算法则
1．整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2．整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
3．整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数， 用因数哪一位上的数去乘， 乘得的数的末尾就对齐哪一位，
然后把各次乘得的数加起来。
4．整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在
哪一位的上面。如果哪一位上不够商 1，要补” 0”占位。每次除得的余数要小于除数。
0.334 小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就
用”0”补足。
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6．除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除， 商的小数点要和被除数的小数点对齐； 如果除到被除数的末尾仍有余数， 就在余数后面添” 0”，
再继续除。
7．除数是小数的除法计算法则：
先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补” 0”），然后按照除数是整数的除法法
则进行计算。
8．同分母分数加减法计算方法 :
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9． 异分母分数加减法计算方法 :
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10．带分数加减法的计算方法 :
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11．分数乘法的计算法则 :
分数乘整数， 用分数的分子和整数相乘的积作分子， 分母不变； 分数乘分数， 用分子相乘的积作分子， 分母相乘的积作分母。
12．分数除法的计算法则 :
甲数除以乙数（ 0 除外），等于甲数乘乙数的倒数。
（六）运算顺序
1．小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 2．分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3．没有括号的混合运算：同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。
4．有括号的混合运算：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5．第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。
6．第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。
五、应用
（一）整数和小数的应用
1．简单应用题
（1）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。
（2）解题步骤：
a．审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话
的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
b．选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，
联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
c．检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。如果发现错误，马上改
正。
2．复合应用题
（1）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。
（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题。
求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
比较两数差与倍数关系的应用题。
（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或差） 。
已知两数之和与其中一个数，求两个数相差多少（或倍数关系） 。
（4）解答连乘连除应用题。
（5）解答三步计算的应用题。
（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正
式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。
（7）解答加法应用题：
a．求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
b．求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
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（8）解答减法应用题：
a．求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。
b．求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。
c．求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少， ，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
（9）解答乘法应用题：
a．求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。
b．求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。
（10）解答除法应用题：
a．把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。
b．求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。
c．求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
d．已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
（11）常见的数量关系：总价 =单价× 数量 路程=速度× 时间 工作总量 =工作时间× 工作效率 总产量 =单产量× 数量
3．典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。
（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。
数量关系式：数量之和÷ 数量的个数 =算术平均数。
加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式（部分平均数× 权数）的总和÷ （权数的和） =加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数） ÷ 2=小数应得数最大数与各数之差的和÷ 总份数 =最大数应给数最大数与个数之差的和÷ 总份数
=最小数应得数。
例： 一辆汽车以每小时 100 千米的速度从甲地开往乙地， 又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。 求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为” 1”，则汽车行驶的总路程为” 2”，从甲地
到乙地的速度为 100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为 +=, 汽车的平均
速度为 2÷ =75（千米）
（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称
之为归一问题。
根据求”单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出”单一量”的归一问题。又称”单归一。 ”
两次归一问题，用两步运算就能求出”单一量”的归一问题。又称”双归一。 ”
正归一问题：用等分除法求出”单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：用等分除法求出”单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量） ，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量× 份数 =总数量（正归一）
总数量÷ 单一量 =份数（反归一）
（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数） ，通过求总数量求得单
位数量的个数（或单位数量） 。
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式： 单位数量× 单位个数÷ 另一个单位数量 =另一个单位数量单位数量× 单位个数÷ 另一个单位数量 =另一个单位数
量。
（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和） ，然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）÷ 2=大数 大数－差 =小数 （和－差）÷ 2=小数 和－小数 =大数
（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
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解题关键：找准标准数（即 1 倍数）一般说来，题中说是”谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标
准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。
解题规律：和÷ 倍数和 =标准数标准数× 倍数 =另一个数
（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷ （倍数－ 1）=标准数标准数× 倍数 =另一个数。
（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速
度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程 =速度和× 时间。
同时相向而行：相遇时间 =速度和× 时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后） ：追及时间 =路程速度差。
同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前） ：路程 =速度差× 时间。
例：甲在乙的后面 28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？
分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差。
已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程） ，28 千米里包含着几个（ 16-9 ）千米，也就是追击所需要的时间。列式 28÷ （16-9 ）
=4（小时）
（8）流水问题：一般是研究船在”流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它
的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。
船速：船在静水中航行的速度。 水速：水流动的速度。 顺水速度：船顺流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。 顺速=船速＋水速 逆速=船速－水速
解题关键： 因为顺流速度是船速与水速的和， 逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水
流为线索。
解题规律：船行速度 =（顺水速度 +逆流速度）÷ 2 流水速度 =（顺流速度逆流速度）÷ 2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间 路程=逆流速度× 逆流航行所需时间
（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
（10）植树问题：这类应用题是以”植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树
问题。
解题关键： 解答植树问题首先要判断地形， 分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树， 然后按基本公式进
行计算。
解题规律：沿线段植树
棵树=段数+1 棵数=总路程÷ 棵距 +1 棵距=总路程÷ （棵数 -1 ）总路程 =棵距× （棵数 -1 ）
沿周长植树 棵数=总路程÷ 棵距 棵距=总路程÷ 棵数 总路程 =棵距× 棵数
（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分
配中， 一次有余， 一次不足 （或两次都有余） ，或两次都不足） ，已知所余和不足的数量， 求物品适量和参加分配人数的问题，
叫做盈亏问题。
解题关键： 盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差， 再求两次分配中各次共分物品的差 （也称
总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷ 每人差额 =人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额 =多余+不足
第一次正好，第二次多余或不足，总差额 =多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额 =大多余 - 小多余
第一次不足，第二次也不足，总差额 =大不足 - 小不足
例：参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10 人，则多 25 支，如果小组有 12 人，色笔多余 5 支。
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求每人分得几支？共有多少支色铅笔？
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了（ 25-5）=20 支，2 个人多出 20
支，一个人分得 10 支。列式为（ 25-5 ）÷ （ 12-10 ）=10（支） 10× 12+5=125（支）。
（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为”年龄问题” 。
解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差
是不会改变的，因此，年龄问题是一种”差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例：父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？
分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍。这样可
以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21（48-21 ）÷ （ 4-1 ）=12（年）
（13）鸡兔问题：已知”鸡兔”的总头数和总腿数。求”鸡”和”兔”各多少只的一类应用题。通常称为” 鸡兔问题”
又称鸡兔同笼问题
解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是”鸡”或全是”兔” ，然后根据出现的腿数差，可推
算出某一种的头数。
解题规律：（总腿数－鸡腿数× 总头数）÷ 一只鸡兔腿数的差 =兔子只数
兔子只数 =（总腿数 -2 × 总头数）÷ 2
如果假设全是兔子，可以有下面的式子：
鸡的只数 =（4× 总头数 - 总腿数）÷ 2
兔的头数 =总头数 - 鸡的只数
例：鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有多少只？
兔子只数（ 170-2 × 50）÷ 2=35（只）
鸡的只数 50-35=15 （只）
（二）分数和百分数的应用
1．分数加减法应用题：
分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、 数量关系和解题方法基本相同， 所不同的只是在已知数或未知数中含有
分数。
2．分数乘法应用题：
是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。
特征：已知单位” 1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
解题关键：准确判断单位” 1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
3．分数除法应用题：
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少。
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。 ”一个数”是比较量， ”另一个数”是标准量。
求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。
解题关键：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了”单位一” ，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。
甲是乙的几分之几（百分之几） : 甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。
甲比乙多（或少）几分之几（百分之几） ：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几） 。关系式（甲数减乙数） / 乙数或
（甲数减乙数） / 甲数。
已知一个数的几分之几（或百分之几） , 求这个数。
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位” 1”的量。
解题关键：准确判断单位” 1”的量把单位” 1”的量看成 x 根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，
但必须找准和分率相对应的已知实际数量。
4．出勤率
发芽率 =发芽种子数 / 试验种子数× 100%
小麦的出粉率 =面粉的重量 / 小麦的重量× 100%
产品的合格率 =合格的产品数 / 产品总数× 100%
职工的出勤率 =实际出勤人数 / 应出勤人数× 100%
5．工程问题：
是分数应用题的特例， 它与整数的工作问题有着密切的联系。 它是探讨工作总量、 工作效率和工作时间三个数量之间相互关
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系的一种应用题。
解题关键：把工作总量看作单位” 1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。
数量关系式：
工作总量 =工作效率× 工作时间
工作效率 =工作总量÷ 工作时间
工作时间 =工作总量÷ 工作效率
工作总量÷ 工作效率和 =合作时间
6．纳税
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ,, ）的比率叫做税率。
*利息
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金× 利率× 时间
第二章 度量衡
一、长度
（一）什么是长度
长度是一维空间的度量。
（二）长度常用单位
公里（ km）米（ m）分米（ dm）厘米（ cm）毫米（ mm）微米（ um）
（三）单位之间的换算
1 毫米＝ 1000 微米 1 厘米＝ 10 毫米 1 分米＝ 10 厘米 1 米＝1000 毫米 1 千米＝ 1000 米
二、面积
（一）什么是面积
面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
（二）常用的面积单位
平方毫米平方厘米平方分米平方米平方千米
（三）面积单位的换算
1 平方厘米＝ 100 平方毫米 1 平方分米 =100 平方厘米 1 平方米＝ 100 平方分米
1 公倾＝ 10000 平方米 1 平方公里＝ 100 公顷
三、体积和容积
（一）什么是体积、容积
体积，就是物体所占空间的大小。
容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（二）常用单位
1．体积单位
立方米 立方分米 立方厘米
2．容积单位
升 毫升
（三）单位换算
1．体积单位
1 立方米 =1000 立方分米
1 立方分米 =1000 立方厘米
2．容积单位
1 升=1000 毫升
1 升=1 立方米
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1 毫升=1 立方厘米
四、质量
（一）什么是质量
质量，就是表示表示物体有多重。
（二）常用单位
吨（t ） 千克（kg） 克（g）
（三）常用换算
一吨=1000 千克
1 千克=1000 克
五、时间
（一）什么是时间
是指有起点和终点的一段时间
（二）常用单位
世纪、年、月、日、时、分、秒
（三）单位换算
1 世纪=100 年
1 年=365 天平年
一年=366 天闰年
一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有 31 天
四、六、九、十一是小月小月小月有 30 天
平年 2 月有 28 天闰年 2 月有 29 天
1 天=24 小时
1 小时=60 分
一分=60 秒
六、货币
（一）什么是货币
货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。
（二）常用单位
元 角 分
（三）单位换算
1 元=10 角
1 角=10 分
第二章 代数初步知识
一、用字母表示数
（一）用字母表示数的意义和作用
用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
（二）用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
1．常见的数量关系
路程用 s 表示，速度 v 用表示，时间用 t 表示，三者之间的关系：
s=vt
v=s/t
t=s/v
总价用 a 表示，单价用 b 表示，数量用 c 表示，三者之间的关系：
a=bc
b=a/c
c=a/b
2．运算定律和性质
加法交换律： a+b=b+a
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加法结合律： （a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律： ab=ba
乘法结合律： （ab）c=a（bc）
乘法分配律： （a+b）c=ac+bc
减法的性质： a- （ b+c）=a-b-c
3．用字母表示几何形体的公式
长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示，周长用 c 表示，面积用 S 表示。
C=2（a+b）
S=ab
正方形的边长 a 用表示，周长用 c 表示，面积用 S 表示。
C=4a
S=a2
平行四边形的底 a 用表示，高用 h 表示，面积用 S 表示。
S=ah
三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面积用 S 表示。
S=ah/2
梯形的上底用 a 表示，下底 b 用表示，高用 h 表示，中位线用 m表示，面积用 S 表示。
S=（ a+b）h/2
S=mh
圆的半径用 r 表示，直径用 d 表示，周长用 c 表示，面积用 S 表示。
C=∏ d=2∏ r
S=∏ r2
扇形的半径用 r 表示， n 表示圆心角的度数，面积用 S 表示。
S=∏ nr 2/360
长方体的长用 a 表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，表面积用 S 表示，体积用 V 表示。
V=sh
S=2（ab+ah+bh）
V=abh
正方体的棱长用 a 表示，底面周长 C用表示，底面积用 S 表示，体积用 V 表示 .
S=6a2
V=a3
圆柱的高用 h 表示，底面周长用 C表示，底面积用 S表示，体积用 V 表示 .
S侧=ch
S 表=S侧+2S底
V=sh
圆锥的高用 h 表示，底面积用 S 表示，体积用 V表示 .
V=Sh/3
（三）用字母表示数的写法
数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作” . ”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
当” 1”与任
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