中职数学教案——函数的单调性.doc

3.2 函数的基本性质——单调性

【教学目标】
1、知识目标：
（1）理解函数的单调性的概念；
（2）会借助于函数图像讨论函数的单调性；
（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。
2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解决问题的能力。
3、德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】
函数的单调性定义。
【教学难点】
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。
【教学方法】
讲授法、讨论法、谈话法、分析法、举例法、演示法。
【教具准备】
多媒体课件
【课时安排】
两课时（90分钟）

8

【教学过程】
教学
环节
教学
时间
教学
目的
教 学 呈 现
教学
方法
说明
复习旧知
5
分
钟
检查学生对函数奇偶性的掌握情况
（出示及两函数图像）
1、提出问题：
（1）何为奇函数？何为偶函数？
（2）怎样判断一个函数的奇偶性？
2、回顾归纳：
（1）图像：关于轴对称---偶函数
关于轴对称---奇函数
（2）表达式：在定义域内
满足---偶函数
满足---奇函数

指名
回答

引导
归纳

课件出示函数图像，进一步直观上帮助学生理解巩固概念。
导入新课
5
分
钟
创设
情境

引出
课题
1、引言：同学们对函数的奇偶性掌握得很好，本节课我们继续来研究函数的性质。
2、问题情境：
（1）下图为某股票在9∶00～11∶30内的行情图，请描述此股票的涨幅情况。

从上图可以看到，有些时候该股票的价格随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，即时间增加股票价格反而减小．
（2）其它：气温时段图、水位变化图、心电图等。
3、归纳：
上述现象都反映出了函数的一个基本性质——单调性

自由发言

举例法
板书：
3.2函数的基本性质

课件示图

鼓励学生积极发言，培养学生语言表达能力。

课件示图
使学生体会函数单调性的实际意义

板书：
--单调性

新
授
课

新
授
课

新
授
课

新
授
课

新
授
课

12
分钟

12
分钟

15
分钟

20分钟

直观认识函数的单调性

理解增、减函数的定义

了解单调函数及单调区间的概论

运用图像判断函数单调性及确定单调区间

运用定义法判断函数的单调性
1、函数的单调性
（1）观察下列函数图像
讨论：各函数图像的变化趋势是怎样的？当自变量在定义域内逐渐增大时，其对应的函数值是怎样变化的？

1
2
-2
-1
O
1
4
-1
1
2
3
-3
-2
-1
O
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
-2
-1
O
1
4
-1
2
3
1
2
-2
-1
O
1
4
-1
2
3

分析：
①函数的图像始终沿轴正方向逐渐上升，即：在（－∞，+∞）上，随的增大而增大。
②函数的图像始终沿轴正方向逐渐下降，即：在（－∞，+∞）上，随的增大而减小。
③函数的图像在轴左侧逐渐下降，在轴右侧逐渐上升，
即：在（－∞，0 ]上，随的增大而减小。在 [ 0，+∞）上，随的增大而增大。
④函数的图像在轴左侧逐渐下降，在轴右侧也逐渐下降。
即：在（－∞，0）上，随的增大而减小。在（ 0，+∞）上，随的增大而减小。

小结：
类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性。

思考：
某函数图像如下,能说出其函数值随自变量变化的规律吗？

结论：难以确定分界点的确切位置．

认识：
用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行研究。

2、增函数和减函数
示图（课本P76图3－15）
概念：一般地，设函数的定义域上某个区间为：
（1）如果对于任意的1 ，2∈，
当1＜2时，都有＜，我们就说函数在区间上是单调增函数。
其图像沿轴正方向上升。

（2）如果对于任意的1 ，2∈，
当1＜2时，都有＞，我们就说函数在区间上是单调减函数。
其图像沿轴正方向下降。

3、单调函数、单调区间
（1）概念：如果函数在区间上是增函数或减函数，我们就说函数在这一区间具有单调性，区间称为函数的单调区间。
（2）练习：（示图）
请指出一次函数和二次函数单调区间。
（3）强调：
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的。有些函数在其整个定义域内具有单调性，如一次函数等；有些函数在整个定义域内不具有单调性，但在定义域内某个区间上具有单调性，如二次函数等。
（4）例题讲解：（课本P77例1）
例1 图示为函数的图像，试根据图像指出这个函数的单调区间，并说明在每个单调区间上，它是增函数还是减函数。
2
O
-1
8
10
-4
-10

说明：解题时，要将函数图像以几个关键点（峰、谷）分开得到几个区间，然后再逐个判断每个区间的单调性。

解：函数的单调区间有，，，，。
函数在区间，，上是减函数，在区间，上是增函数。

4、函数单调性的判断
（1）师：利用图像来判断函数的单调性是一种简单常用的方法，但这种方法较为粗略，且有时因函数图像复杂而难以判断，因此，我们要学习另外一种更严格的方法：根据定义判断函数的单调性。
（2）例题讲解：（课本P77例2）
试用函数单调性的定义讨论下列函数的单调性：
①
②

①解：任取且＜
则

由＜得 ＜0
所以＜0，即＜
因此，函数在上是增函数。

②解：任取且＜
则

因为＞0，＞0，
所以＞0，即＞
因此，函数在上是减函数。

（3）归纳：
根据定义判断函数单调性的步骤：
Ⅰ.设是给定区间（或定义域）的任意两值，且＜；
Ⅱ.写出、；
Ⅲ.化简－，并判断符号；
Ⅳ.下结论：－＜0——增函数
－＞0——减函数。

分组讨论

代表发言

引导归纳

演示法

小组讨论

讲
授
法

小组讨论
指名发言

引导归纳

演示法

谈话法

讲授法

小组讨论分析

指名板演

集体订正

引导归纳

培养学生的观察、分析、概括能力。

课件示图

培养学生数学语言的表达能力

分别出示图像，逐一分析

函数图象的逐渐上升、下降用动画演示，增加直观性，便于学生理解。

课件示图

通过实例
使学生体会到用定义严格表述函数单调性的必要性

引导学生由直观图像抽象出符号定义，符合学生认知规律，学生易于接受。

强调关键词：
“任意”、“都有”
加强对概念知识的理解掌握

出示函数图像，以帮助学生分析理解概念。

课件出示例题

课件动画演示：标记图像中的关键点

强调：
1、注意解题格式
2、作差同“0”比
3、确定函数的定义域

巩固整式乘法公式

培养学生对知识要点的概括能力

课堂练习
15分钟
巩固函数单调性的概念及判断的方法
练习：
1、完成课本P78“知识巩固2”两题。
2、填空：
已知函数在区间上是减函数，用符号“＞”、“＜”填空。
（1） （2）
（3） （4）

合作学习

及时反馈

指导学生函数简图画法

（3）题予以指导

课堂小结
5
分钟
强化概念

突出重点

1、对于在某函数定义域内某区间的任意两自变量1 ，2 ，当1 ＜2时，都有：
＜，则称函数在这个区间上是单调增函数；
＞，则称函数在这个区间上是单调减函数。
2、利用定义判断函数的单调性是通过确定－的符号来判断与大小。

谈话法

师生共同小结、归纳，提炼重点，帮助学生进一步理解掌握本节内容

布置作业
1
分钟

课后巩固掌握概念、解题
方法

完成习题册“习题3.2.2”A组练习题。

练习法

培养学生独立解决问题的能力
课后反思

1、函数的单调性与学生已有的许多知识、经验有联系，这些对函数单调性的学习有着积极的意义，同时对函数单调性的学习理解也使得这些知识的意义得到了扩展。
2、学生对概念的理解还不够深入，定义判断单调性的方法掌握不够熟练，今后教学中要不断巩固。
3、教学中对学生放手不够，学生自主性未能得到有效的发挥，合作学习效果欠佳。