高级微观经济学期末复习.doc

第一部分：消费者理论

一、效用函数存在性证明
参考书

二、效用函数，求瓦尔拉斯需求函数
解答：从效用函数可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，对商品2的需求为0，，
或者由可得到
实际上，这是一个边角解，

三、效用函数，求其1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数，2、希克斯需求函数，支出函数。
答案：1、，，
2、，，（形式可能不一样）

四、证明对偶原理中的1.2.
参考书
五、效用函数，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。
参考书
六、效用函数，求其货币度量的直接和间接效用函数。
答案：

七、效用函数，当，，求其等价变化和补偿变化。
答案： ，，

八、分析福利分析在税收方面的应用。
参考书
九、，假定，，，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。
解答：max
s.t.
1．求瓦尔拉斯需求函数
（1）建立拉格朗日函数

（2）求极值一阶条件
(a)
(b)
(c)
由(a)和(b)整理得：

（3）瓦尔拉斯需求函数
分别将，代入预算约束(c)，有

2．求间接效用函数
将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数，有

3．求支出函数
由间接效用函数，求反函数得：

4．求希克斯需求函数
法一：将支出函数
代入瓦尔拉斯需求函数，得到

法二：根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。
5．求货币度量的效用函数
（1）货币度量的直接效用函数
由，有

（2）货币度量的间接效用函数

6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后。
，，
，

等价变化分析：

按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

商品税与收入税对消费者的福利之差为:

表明商品税对消费者的福利影响更差。
补偿变化分析：
按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：

商品税与收入税对消费者的福利之差为:

=0.1213
表明商品税对消费者的福利影响更差。

2.D.3设xB, xB,[0,1].
令x=x+(1-) x,因为x是一个凸集，所以xX.
故pۤۤۤۤ∙x=(p∙x)+ (1-)(p∙x)≤w+ (1-)w=w
因此，xB.

2.E.5 因为x(p,w)对w是一次齐次的，所以对任意>0有x(p,w)=x(p,w).
因此，x(p,w)= x(p,1)w.
因为当k≠l时，(p,1)/= (p)/=0
所以 x(p,1)只是关于p的函数，即可记为x(p,w)= x( p).
又因为x(p,w)满足零次齐次性，所以x( p)必定是p的-1次方。
因此，存在〉0时，使x( p)=/ p.
根据瓦尔拉斯定律,∑p（/ p）w=w∑=w.
因此有∑=1 是个常数.

解： 2.F. 3 (a) 若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y
即,y∈[75,80]时,他的行为与弱公理矛盾.
(b) 若100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>100∙120+80y
即,y<75时,消费者在第1年的消费束显示出优于第2年的消费束.
(c) 若100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y
即,y>80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.
(注:b,c假定弱公理成立)
(d) 无论y取何值,都有充分的信息来断定a,b,c 中有一个成立
(e) 当y<75时,商品1是劣等品.
100∙120+100y≤100∙100+100∙100且100∙100+80∙100>100∙120+80y
因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同时商品1的相对价格上升.但是,因为y<75<100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品1(在某一价格上)是劣等品.
(f) 当80<y<100时,商品2是劣等品.
100∙120+100y>100∙100+100∙100且100∙100+80∙100≤100∙120+80y
因此第2年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同时商品2的相对价格下降.但是,因为y<100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的.故商品2(在某一价格上)是劣等品.

解：3.D.6 (a) 令(x)=u(x)=(x- b)(x- b)(x- b),
其中,,
因为函数u→u是单调变换,
因此, ,(•)与u(•)代表相同的效用水平.
因而我们可以不失一般性的假定.
(b) 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换：
lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b).
根据UMP的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数:
x(p,w)=( b, b, b)+(w-p∙b)(/p,,)
其中p∙b=
将此需求函数代入u(•),得到间接效用函数:
v(p,w)= (w-p∙b)

（本题（a）中验证3.E.2和3.E.3不用作。）
解：3.G.3 (a) 假设 .对于效用函数:
lnu(x)=ln(x- b)+ln(x- b)+ln(x- b).
根据EMP一阶条件得:
h(p,u)= ( b, b, b)+u
将此函数代入p∙h(p,u),得到支出函数:
e(p,u)=p∙b+u. 其中, p∙b=.
(b)对(a)中求出的支出函数求导，通过与h(p,u)比较,可得到支出函数的导数即为（a）中所求出的希克斯需求函数。
(c)根据(b)可得，Dh(p,u)=De(p,u).
将a中的支出函数对p求二阶导数，得到
=
在3.D.6中，我们得到x(p,w)=( b, b, b)+(w-p∙b)(/p,,)
于是，Dx(p,w)= (/p,,)
Dx(p,w)= -(w-p∙b) ( b, b, b)
根据以上结果,我们可验证斯拉茨基方程成立.
(d) 根据Dh(p,u)=De(p,u)以及 De(p,u)即得。
（e）根据=Dh(p,u)=De(p,u),
我们可得出De(p,u)是半负定的，并且秩为2。

解：3.G.6 (a) 根据瓦尔拉斯定律，可得到：x=(w--)/
(b) 是齐次的。
对于任意，有：
100-5++=100-5++，
=.
(c) 因为斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有：

=
因此，代入=1，整理得：
=
因为该方程对于所有和w都成立,则有，
=，=-5，
得，
=
由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的，则得到：=0
代入=1，对角线上的第一个元素为：-5+
若≠0，则〉0，就可找到一组值使得上式〉0.故得：=0
所以，=.
X1
（d）因为对于任意价格，=，所以消费者的无差异曲线呈L型，拐点在坐标轴的对角线上，如下图。

O
X2

(e) 根据d的结论，对于固定的，商品1和2的偏好可由表示，商品1和2的需求也无收入效应。因此得到：
=+或是该形式的单调变换。

解：
3.I.7 (a) 根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性，可得到三种商品的需求函数的定义域都是。于是我们可以从需求函数中得到一个33的斯拉茨基矩阵。将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉，可得到一个22的子矩阵，为.
根据瓦尔拉斯定律和齐次性，当且仅当22的子矩阵对称时，33的斯拉茨基矩阵也对称。
同样，可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时，33的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵。
因此，效用最大化所蕴含的参数限制为：c=e,b≤0,g≤0,且bg-c≥0.
(b) 首先，证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关，仅是前两种商品价格的函数，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。
=, = l=1,2
因为与收入无关，=
因此=。
故，与效用水平无关，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数。
若价格变化是遵循路径：→→，则等价变化为：
+=+
=+
若价格变化是遵循路径：→→，则等价变化为：
+=+
=+
当且仅当c=e时，以上两种等价变化相等。
(c) 由以上可知：==a+(3/2)b+c
==d+e+(3/2)g=d+c+(3/2)g
=( a+(3/2)b+c)+(d+2e+(3/2)g)=a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g
因此, -(+)=c
与之和不包括由于第二种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应（同样也可指不包括第一种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应）。从图中看出，当c=e〉0，包括ABCD区域，但+不包括。
X1
d+e
d+2e
2
0
1
D
C
B
A
X2

(d) 因为=a+2b+c,第一种商品的税收收入与它相等，
因此，=( a+(3/2)b+c)-（a+2b+c）=-b/2
因为=d+e+2g,第二种商品的税收收入与它相等，
因此，=(d+e+(3/2)g)-（d+e+2g）=-g/2
因为=a+2b+2c, =d+2e+2g,两种商品的税收收入为：
（a+2b+2c）+（d+2e+2g）=a+2b+4c+d+2g
因此，=(a+(3/2)b+3c+d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=-b/2-c-g/2
故，-（+）=-c
（e）问题可以转化为：
s.t. ≥R
其中， =-
=--
建立拉格朗日函数：=+（R-）
对求一阶导数：-=0
但是，由于/=
=+
所以=/-
-
=-
因此一阶条件可以写为：
+=0 l=1,2
又因为R=,
则-==
(a+b+c)+(d+c+g)=R

第二部分：厂商理论

一、 厂商的生产函数，求其要素需求函数和条件要素需求函数
解答：（1）

（2）

二、 产商的生产函数，求其成本函数和利润函数
解答：将要素需求函数带入利润函数表达式就得到利润函数，将条件要素需求函数带入成本函数表达式就得到成本函数
答案：
三、 产商的生产函数，（1）用三种方法求其供给函数（2）假定生产要素2固定为k，再重新求其供给函数。
解答：（1）方法一：由利润函数求解供给函数
方法二：由生产函数求解供给函数
方法三：由成本函数求解供给函数（注意：是利润最大化条件）

（2）同样的三种办法

四、厂商利润最大化条件、成本最小化的意义及应用边界
参考书
五、分析生产集的性质
参考书

六、阐述欧拉方程和克拉克分配定理的理论意义和现实意义。
参考书
七、证明利润函数是价格的凸函数。
参考书

第三部分不确定性选择

一、一决策者的效用函数为，初始财富160000，5%损失70000，5%损失120000，问其愿意支付的最大保险金额多大？如果保险公司不承担损失中的7620，其愿意支付的最大保险金额又多大？
解答：用确定性等值，（1）

（2）

二*、期望效用函数的存在性证明
参考书
三、写出并证明绝对和相对风险系数不变的效用函数。
参考书
四、简要分析保险需求理论的基本框架。
参考书
五、简要分析资产组合理论的基本框架
参考书

六、假定个人具有效用函数，（1）计算当财富水平时的绝对和相对风险规避系数。（2）计算彩票的确定性等价和风险溢价（3）计算彩票的确定性等价和风险溢价。将这一结果与（2）比较，并解释。
对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。
解答：（1），
（2），
，
（3），，。
对同一个人，不同财富水平的彩票有不同确定性等价可能有相同的风险溢价。

第四部分：局部、一般均衡和福利经济学
1．有一个卖方垄断者，其需求和成本函数分别为和，请确定其在完全价格歧视和没有p价格歧视情况下的最大利润和对应的边际价格与数量。
解答：（1）完全价格歧视
,,（舍去）

（2）无价格歧视
,（舍去）

2．一个卖方垄断者为两个空间上分离的市场服务，在这两个市场上，可以采取两种价格，不必担心市场之间的竞争和返销。卖方垄断者的需求和生产成本函数为：
，请确定的值。
解答：由于两个市场分离，因此两个市场的价格、需求量独立
Max， ，可得到
3．考虑一种两个人、两种商品、纯交换的竞争经济。消费者的效用函数为，。消费者1的初始拥有量为8单位和30单位；消费者2每种商品各拥有10单位。决定这两个消费者的超额需求函数和这种经济的均衡价格比率。
答案： ，
4．考虑一种两个人、两种商品、有纸币纯交换的竞争经济。消费者的效用函数为，。消费者1的初始拥有量初始拥有量为30单位、5单位和43单位货币；消费者2初始拥有量分别为20、10和2。每个消费者都想持有等于起初始商品拥有量价值的五分之一的货币存量。决定和 的均衡货币价格。表明如果消费者1、2的货币存量分别增加到129和6，则均衡价格应为原先的三倍。
解答：首先不考虑货币存量，按第三题的做法求出，接着再从货币市场均衡求出均衡货币价格，。证明“如果消费者1、2的货币存量分别增加到129和6，则均衡价格应为原先的三倍”，再从货币市场均衡求出均衡货币价格或从货币均衡方程表达式直接证明即可。

5．考虑具有下列结构的行业。50个以竞争方式行动的厂商，具有相同的成本函数
，一个具有零边际成本的垄断者。产品的需求曲线由下式给出。（1）什么是垄断者的利润最大化产量？（2）什么是垄断者的利润最大化价格？（3）在此价格下，该竞争部门供给多少？
解答：竞争厂商的供给：，
竞争厂商的总供给：
由市场均衡：，
垄断者的产量：
垄断者的利润为：
利润最大化一阶条件：，
，

6．设某垄断厂商的成本函数为，市场的需求函数为，求其进行完全价格歧视和没有进行完全价格歧视两种情况下的利润、产量和价格。 解答见书！！！。

7．货币均衡分析的基本框架。
见书。

8．有一种经济，除了有一个生产者，其在产出市场上是个卖方垄断者，在其产出的唯一投入市场上是个买方垄断者。此外满足帕雷托最优的全部条件。其生产函数是，对其产出的需求函数是，对其投入的供给函数是。求其最大化生产者利润的值。求如果满足对应的帕雷托条件，这些变量应该达到的值。
解答：（1）

利润最大化得
（2）满足对应的帕雷托条件：
得到：

9．考虑一个经济，有两家企业，两个消费者。企业1有消费者1完全所有。他通过生产函数，用石油生产枪支。企业2有消费者2完全所有，他通过生产函数，用石油生产黄油。每个消费者拥有10单位石油。消费者1的效用函数是，消费者2的效用函数是。（1）找到枪支、黄油和石油的市场出清价格。（2）每个消费者消费枪支和黄油各多少？（3）每个企业各使用多少石油？
解答：做法与第三题类似，只是还要区分生产和消费两部门，区分要素投入和产品
，消费者1使用9单位石油，8单位枪支，18单位黄油
消费者2使用11单位石油，10单位枪支，15单位黄油
为了区分起见对每个消费者加上脚标，
对消费者1：
Max s.t.
对消费者2：
Max s.t.
对两个消费者加上生产约束：

按上述求解可得。

10．假定生产相同商品的两个产商的成本函数为，，根据每个厂商都使其个体的与固定市场价格240相等的假定，确定厂商的产出水平。根据每个厂商使他的社会等于市场价格的假定，确定他们的产出水平。确定将致使厂商实现帕雷托最优配置，但是他们的利润不变的税收和补贴。配置上的这种改变所保证的社会受益的规模是什么？
解答：（1）个体的与固定市场价格相等
由 解得
（2）社会等于市场价格
，然后由最大化的一阶条件求得，

（3）税收和补贴
使其产量为社会最优，
则
总值税：，
社会受益：

分析题
一、请说明消费者偏好的五个公理（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性）中，每一个公理对于建立消费者在理论在经济学上（而非数学上）的必要性。
十一、解析厂商利润最大化条件的经济意义。
十二、给出简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述，并解释经济意义。
十六、请详细表述纯交换经济中第i个消费者的均衡。
十七、请表述一般均衡的基本分析框架。
十八、证明瓦尔拉斯定律。
十九、试分析和比较瓦尔拉斯价格调整模型和马歇尔数量调整模型对均衡非稳定的调整机制。
二十、利用如下的艾奇沃斯盒式图，说明两种商品如何在两个消费者之间分配。

补充： 假定住公房50平方米。房改后每月房租每平方米提高了4元，同时他家又从政府领到房改津贴200元/月。（1） 请做图并分析住房制度改革对陈某人的各种影响。（2） 假定社会上很多人的情况与陈某人相似，还有一部分人所住的公房面积比陈某人更大或更小，请作图并分析住房改革制度改革的社会和经济意义。
消费者理性偏好公理与性质假定的内容及涵义
（基于理性偏好关系的）效用函数存在性定理证明
显示性偏好理论及其运用
瓦尔拉斯需求函数和希克斯需求函数推导
对偶性原理证明
各类需求弹性计算及相互关系
利用斯拉茨基方程分析价格变动的替代效应、收入效应和总效应
消费者福利变化分析（消费者剩余、等价变化、补偿变化）

生产集的定义及主要性质假定
利用替代弹性判定几种典型生产函数的关系
技术进步测定思路（产出增值率分解）
欧拉方程与克拉克分配定理的涵义与解读
利润函数和成本函数的边际条件和应用边界
成本函数性质与利润函数性质
利用多种方法进行供给函数求解

简单彩票、复合彩票、货币彩票及彩票空间的独立性公理的形式化描述
利用效用函数刻画经济主体风险态度（确定性等价、风险溢价）
绝对和相对风险规避系数定义与计算
一阶随机占优与二阶随机占优（分布比较）
保险需求理论的基本框架
资产组合理论的基本框架

三类价格歧视的存在条件与基本特征
单个竞争性市场局部均衡分析
简述经济理论建立市场价格机制配置资源的分析框架时，所采用的分层处理结构
纯交换经济一般均衡基本分析框架及其例解
利用艾奇沃斯盒状图说明2×2分配模型中的均衡实现过程
简述一般均衡分析中三类经济（纯交换经济、竞争性经济、货币经济）背景的特征异同，以及一般均衡结果差异

帕累托最优的概念、形式化定义及意义
简述一般经济系统的帕累托最优条件
简述福利经济学第一定理和第二定理、意义、局限性
利用帕累托最优标准，分析消费存在外部性经济的效率
生产存在外部性经济的帕累托最优条件
利用税收与补贴政策如何实现生产外部性经济的帕累托最优改进。
公共产品导致市场失灵的基本分析框架。