《数字信号处理》课程设计-基于切比雪夫i型的iir数字高通滤波器设计.doc

《数字信号处理》课程设计

题目： 基于切比雪夫I型的IIR数字高通
滤波器设计

学院名称 电气工程学院　

指导老师 　

班 级 电子信息工程

学 号 　

学生姓名 　 　

二0一一年六月

目录
（一）数字滤波器的概述-------------------------------------------3
1.1 数字滤波器的设计方法------------------------------------------------3
1.2 数字滤波器的性能要求------------------------------------------------3
1.3 数字滤波器的技术要求------------------------------------------------4
（二） 基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的设计依据和原理----------------------------------------------------5
2.1 课设任务------------------------------------------------------------------5
2.2 IIR数字滤波器-----------------------------------------------------------5
2.3由模拟滤波器设计IIR数字滤波器---------------------------------7
2.4 数字高通滤波器的设计（本设计采用双线性变换法）--------9
（三）基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的具体设计过程-----------------------------------------------------12
3.1 计算过程-----------------------------------------------------------------12
3.2 源程序代码--------------------------------------------------------------14
3.3结果分析------------------------------------------------------------------17
（四）总结和心得体会--------------------------------------------20
（五）参考文献-----------------------------------------------------21

基于切比雪夫I型的IIR数字高通滤波器设计
（一）数字滤波器的概述
1.1 数字滤波器的设计方法
数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。
1.2 数字滤波器的性能要求
我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。如图1-1所示：
在通带内： 

在阻带中：

其中 为通带截止频率,为阻带截止频率，为通带最大衰减, 为阻带最大衰减。 

图1-1 低通滤波器的幅频特性指标示意图

1.3 数字滤波器的技术要求
滤波器技术要求主要包括4个方面。即：
滤波器的截止频率
低通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率（又称通带上线频率）和阻带下限截止频率；
高通滤波器的截止频率主要包括通带截止频率（下限频率）和阻带上限截止频率；
带通滤波器的截止频率主要包括通带下限截止频率，通带上限截止频率，下限通带截止频率，以及上阻带截止频率；
带阻滤波器的截止频率与带通滤波器一致，也主要包括通带下限截止频率，通带上限截止频率，下阻带截止频率，以及上阻带截止频率。
带通带阻的容限
滤波器中带通带阻的容限与的具体技术指标，往往由允许的最大衰减及阻带应达到的最小衰减给出。通带及阻带的衰减，分别定义为：

式中均假定已被归一化为1.例如当在处下降为0.707时，，在处降到0.01时，.

（二）基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的设计依据和原理
2.1 课设任务
设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率fp=3000Hz，通带衰减不大于1dB(rp=1dB)；阻带截止频率fr=1500Hz，阻带衰减不小于50dB(rs=50dB)。采样频率fs=15000Hz,采用切比雪夫I型IIR滤波器。
2.2 IIR数字滤波器
IIR数字滤波器设计原理
IIR数字滤波器的设计步骤是：
(a)按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；
(b)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器；
(c)在按一定规则将转换为。
若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：
(d)将高通、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(b)设计出模拟低通滤波器，再由冲击响应不变法或双线性变换将转换为所需的。
s-z映射的方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。下面讨论双线性变换法。
双线性变换法是指首先把s 平面压缩变换到某一中介平面s1 的一条横带(宽度为,即从到) ,然后再利用的关系把s1平面上的这条横带变换到整个z 平面。这样s 平面与z 平面是一一对应关系, 消除了多值变换性, 也就消除了频谱混叠现象。
s 平面到z 平面的变换可采用 (2-5)
(2-6)
令 有：
(2-7)
从s1 平面到z 平面的变换,即 (2-8)
代入上式，得到： (2-9)
一般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入代定常数c， (2-10) 则 (2-11)
这种s 平面与z 平面间的单值映射关系就是双线性变换。有了双线性变换，模拟滤波器的数字化只须用进行置换。
2.3由模拟滤波器设计IIR数字滤波器
理想的滤波器是非因果的，即物理上不可实现的系统。工程上常用的模拟滤波器都不是理想的滤波器。但按一定规则构成的实际滤波器的幅频特性可逼近理想滤波器的幅频特性，例如巴特奥兹(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)滤波等。
切比雪夫滤波器的原理：
特点：误差值在规定的频段上等幅变化。
巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率处，幅度下降很多，或者说，为了使通常内的衰减足够小，需要的阶次很高，为了克服这一缺点，采用切比雪夫多项式逼近所希望 。
切比雪夫滤波器的 在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数较巴特沃兹滤波器要小。可根据需要对通带内允许的衰减量(波动范围)提出要求，如要求波动范围小于1db。
振幅平方函数为
(3-7)
式中 —有效通带截止频率
—与通带波纹有关的参量,大,波纹大,。
—N阶切比雪夫多项式，定义为
(3-8)
(3-9)
如图3-1,通带内 ,，变化范围
，随着，（迅速趋于零)
当时，
(3-10)
N为偶数，, (3-11)
N为奇数，, (3-12)

有关参数的确定：
a. 通带截止频率 ，预先给定；
b. 由通带波纹表为
(3-13)
(3-14)
给定通带波纹值分贝数 后，可求。
(3-15)
c. 阶数N—由阻带的边界条件确定。(,A事先给定)
(3-16)
(3-17)

(3-19)
得 (3-20)

2.4 数字高通滤波器的设计（本设计采用双线性变换法）
双线性变换法的原理：
双线性变换法是采用非线性频率压缩的方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到之间，再用转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的一条横带里；第二步再通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。

图1-2 映射关系
为了将S平面的整个虚轴压缩到S1平面轴上的段上，可以通过以下的正切变换实现
当由经过0变化到时，由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个轴。将式（3-5）写成

将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令则得

再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面
从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：
（3-6）
（3-7）
式（3-6）与式（3-7）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换
式（3-5）与式（3-6）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。
首先,把，可得 （3-8）
即S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆。
其次，将代入式（3-8），得

因此

由此看出，当时，；当时，。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的.

本设计总体设计步骤为：
(1) 确定数字高通滤波器的技术指标、；
(2) 将数字高通滤波器的技术指标转换成高通模拟滤波器的技术指标，，转换公式为；
(3)利用频率变换将模拟高通滤波器技术指标转换成归一化模拟低通滤波器G(p)的技术指标；
(4)设计模拟低通滤波器G(p)，并去归一化得：

(5) 采用双线性变换将模拟低通滤波器H(s)转换成数字低通滤波器H(z):

(6) 采用频带变换，将数字低通滤波器转换成所需类型的数字高通滤波器。

（三）基于切比雪夫I型无限脉冲响应IIR数字高通滤波器的具体设计过程
3.1 计算过程
（1） 数字高通滤波器的技术指标：

（2） 将数字高通滤波器的技术指标转换成模拟高通滤波器的技术指标(令T=2s)：

（3）相应低通滤波器的技术指标：

（4） 设置归一化低通模拟滤波器G(p)各项指标：

（5） 将极点,和代入，求低通模拟滤波器G(p):

可得：

归一化：

（6） 利用双线性变换将模拟低通传输函数转换为数字低通滤波器系统函数：

（7）用频带变换法将数字低通转换成数字高通：

3.2 源程序代码
%%%%chebfilter.m
%%%%high pass
fp = 3000;
rp = 1;
fr = 1500;
rs = 50;
Fs = 15000;

[N ,Wn] = cheb1ord(2*fp/Fs,2*fr/Fs,rp,rs);
[b,a] = cheby1(N,rp,Wn,'high');
[H,W] = freqz(b,a,512,'whole');

n=1:1000;
signal =8*sin(n*pi/6)+sin(n*pi/10)+sin(n*pi/2);
y = filter(b,a,signal);
hpart = sin(n*pi/2);

subplot(321);
plot(W/max(W),20*log10(abs(H)));
xlabel('频率(rad)'), ylabel('幅度(dB)');
title('幅频响应');
grid on;
subplot(322);
plot(W/max(W),angle(H));
xlabel('频率(rad)'), ylabel('相位(rad) ');
title('相频响应');
grid on;
subplot(323);
zplane(b,a);
title('零极点图');
grid on;

subplot(324);
plot(n,hpart);
xlabel('时间'), ylabel('幅度');
axis([0,30,-1,1]);
title('高频成分');
grid on;

subplot(325);
plot(n,signal);
xlabel('时间'), ylabel('幅度');
axis([0,30,-10,10]);
title('滤波前混合信号');
grid on;

subplot(326);
plot(n,y);
xlabel('时间'), ylabel('幅度');
axis([0,30,-1,1]);
title('滤波后信号');
grid on;

运行结果：
N =
5
Wn =
0.4000
b =
0.0566 -0.2830 0.5660 -0.5660 0.2830 -0.0566
a =
1.0000 0.0227 1.0572 0.3921 0.3410 0.1722

仿真结果：

图一 幅频和相频仿真图：

图二 零极点和高频成分仿真图：

图三 性能测试仿真图：

3.3结果分析
（1）切比雪夫I型和巴特沃斯的幅频响应比较：
用巴特沃斯实现的程序段：

%巴特沃斯IIR数字高通滤波器
[N ,Wn] =buttord(2*fp/Fs,2*fr/Fs,rp,rs);
[b,a] = buttord(N,rp,'high','z');

仿真结果：如图四
图四 用巴特沃斯实现的幅频响应图：

比较结果：巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,无论在通带还是阻带都是频率的单调增函数.,因此,当通带边界处满足指标要求时,通带内肯定会有较大富余量.而切比雪夫的幅频特性具有这种等波纹特性,这样可以是滤波器阶数大大降低.而且比较两种方法的幅频特性,可以得出,切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄的过渡带.

（2）滤波器结构对性能指标的影响分析:
设源程序得到的是直接型，用函数[S,G]=tfsos(B,A)实现直接型到级联型网络结构的变换。S为级联型结构的系数矩阵，G为增益常数。

直接型到级联型转变的实现程序段：
>> b =[0.0566,-0.2830,0.5660,-0.5660,0.2830,-0.0566];
a =[ 1.0000,0.0227,1.0572,0.3921,0.3410,0.1722];
[S,G]=tf2sos(b,a);
[H,W] = freqz(S,G,512,'whole')

运行结果：
S =
1.0000 -0.9988 0 1.0000 0.4301 0
1.0000 -2.0020 1.0020 1.0000 0.1520 0.4755
1.0000 -1.9992 0.9992 1.0000 -0.5594 0.8420
G =
0.0566

仿真结果：如图五

结果分析：级联型结构每一个一阶网络决定一个零点和一个极点，每一个二阶网络决定一对零点和一对极点。因此调整零点，因此调整零极点位置比直接型方便。此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。但H(Z)中的系数比直接型多，因而需要的乘法器多。分解的因子越多，需要的乘法器越多。另外，当H（z)的阶次高时，也不易分解，普遍运用的是直接型。

图五 级联型幅频响应曲线图：

（3）滤波器参数字长对其性能指标的影响：

（4）用MATLAB工具箱得到幅频和相频曲线如图六：
图六：

（四）总结和心得体会
在课程设计刚刚开始的时候，觉得很无助，于是请教同学、上网搜资料、去图书馆查找等等，终于功夫不负有心人，在不断的资料搜寻当中我渐渐的明白了我们将要做的设计的基本原理和相关知识。
本次课程设计，我选题为切比雪夫高通数字滤波器的设计，通过设计，我具体的了解了（无限脉冲响应）数字高通滤波器设计的原理和其相关的知识。
首先，我们要了解设计数字滤波器的原理方法，从模拟滤波器设计数字滤波器在工程上常用的有两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。其设计过程都是由模拟滤波器的系统函数去变换出相应的数字滤波器的系统函数。然后，我们要知道需要用函数来编写程序通过MATLAB来实现滤波器的设计。我们知道的现有的逼近函数如巴特沃斯、切比雪夫可供使用。切比雪夫滤波器是使通带内误差分布均匀的滤波器。由此函数设计出的模拟低通滤波器通过频率变换可得到高通、带通、带阻模拟滤波器。最后通过所掌握的（无限脉冲响应）数字高通滤波器设计原理和方法将其应用到实际问题当中进行处理。通过实际问题分析了离散经典数字滤波器分类和设计方法。比较了各种实现方法的幅频特性响应,,并进行了分析.
（五）参考文献
（1）高西全，丁玉美编著 数字信号处理（第三版），西安电子科技大学出版社，2008.8
(2) 楼顺天，李博菡编著 基于MATLAB的系统分析与设计---信号处理，西安电子科技大学

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