人教版八年级上册数学三角形全等知识点.doc

人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点
　　定义
　　能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。　　当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
　　由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
　　(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
　　(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
　　(3)有公共边的，公共边一定是对应边；
　　(4)有公共角的，角一定是对应角；
　　(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；
　　表示：全等用“≌”表示，读作“全等于”。
　　判定公理
　　1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
　　 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
　　 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
　　由3可推到
　　 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 　
　 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 　　所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
　　注意：在全等的判定中，没有AAA角角角和SSA(特例：直角三角形为HL，属于SSA)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 　　A是英文角的缩写(angle)，S是英文边的缩写(side)。
　　H是英文斜边的缩写（Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（leg）。
　　6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。
性质
　　三角形全等的条件：
　 　1、全等三角形的对应角相等。
　　2、全等三角形的对应边相等
　　3、全等三角形的对应顶点相等。
　　4、全等三角形的对应边上的高对应相等。
　　5、全等三角形的对应角平分线相等。
　　6、全等三角形的对应中线相等。
　　7、全等三角形面积相等。
　　8、全等三角形周长相等。
　　9、全等三角形可以完全重合。
　　三角形全等的方法：
　　1、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)
　　2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)
　　3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)
　　4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）
　　5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)
　　推论
　　要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
　　S.S.S. （Side-Side-Side）（边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
　　S.A.S. （Side-Angle-Side）（边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
　　A.S.A. （Angle-Side-Angle）（角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
　　A.A.S. （Angle-Angle-Side）（角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
　　R.H.S. / H.L. （Right Angle-Hypotenuse-Side）（直角、斜边、边）：各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
　　但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
　　A.A.A. （Angle-Angle-Angle）（角、角、角）：各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
　　A.S.S. （Angle-Side-Side）（角、边、边）：各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边（没有夹着该角），但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。 编辑本段 运用
　　1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。 而全等的判定却刚好相反。
　　2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
　　3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS找全等三角形。
　　4、用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和军事。
　　5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。

习题
1、 如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（ ）
C
N
M
A
B
D
（A） ∠M=∠N
（B） AB=CD
（C） AM=CN
（D） AM∥CN

E
B
D
A
C
2、如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判断
△ABE≌△ACD的是（ ）
（A） AD=AE
（B） ∠AEB=∠ADC
（C） BE=CD
（D） AB=AC

3、已知，如图，M、N在AB上，AC=MP，AM=BN，BC=PN。求证：AC∥MP
M
P
C
A
B
N

4、 已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：AF=CE。
F
E
A
C
D
B

F
E
O
D
C
B
A
5、 已知，如图，AB、CD相交于点O，△ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。

A
E
D
C
B
6、 已知，如图，AB⊥AC，AB＝AC，AD⊥AE，AD＝AE。求证：BE＝CD。

G
F
E
D
C
A
B
7、已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点，求证：△BCF≌△DCE

F
E
D
C
A
B
8、 如图，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF

F
E
D
C
A
B
G
9、 如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF

10、如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有没有和△ABE全等的三角形？请说明理由。
F
E
D
C
A
B
┐

10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
求证：① △BCG≌△DCE
F
E
D
C
A
B
G
H
② BH⊥DE

11、如图，△ABC中，AB=AC，过A作GB∥BC，角平分线BD、CF交于点H，它们的延长线分别交GE于E、G，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。
F
E
D
C
A
B
G
H

F
E
D
C
A
B
12、如图所示，己知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形，并选其中一对给出证明。

E
D
C
A
B
13、如图，AB=AD，BC=CD，AC、BD交于E，由这些条件可以得出若干结论。请你写出其中三个正确的结论（不要添加字母和辅助线）。

F
E
D
C
A
B
G
P
F
E
D
C
A
B
G
P
14、己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，
求证：① PE+PF=CD.
② PE – P F=CD.

15、已知，如图5，△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，D是AC的中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连结DF。求证：∠ADB=∠CDF。
F
E
D
C
A
3
N
1
M
B
2
M
F
E
D
C
A
3
1
B
2

B

F
C
E
D
F