一种对称损失下两参数广义P...布形状参数的Bayes分析_吴月丹.pdf

收稿日期：。基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；吉林省科技发展计划项目（）。作者简介：吴月丹（），女，硕士生。：。通信作者：徐宝（），男，教授，博士，硕士生导师。：。吴月丹，徐宝一种对称损失下两参数广义 分布形状参数的 分析南昌大学学报（理科版），（）：，（），（）：一种对称损失下两参数广义 分布形状参数的 分析吴月丹，徐宝（吉林师范大学数学与计算机学院，吉林 四平 ）摘要：在加权对称损失函数下，使用 估计方法，讨论了两参数广义 分布形状参数的 估计及其性质，得到了形状参数的 估计的一般形式与在两种不同先验下的精确形式，并由此得到形状参数的最小最大估计的一种形式，将不同的估计联系在一起。并通过模拟研究了所得估计的精度，结果表明所得估计的精度较高。关键词：广义 分布；估计；损失函数；可容许性；最小最大估计中图分类号：文献标志码：文章编号：（），（，）：，：；分布是由意大利经济学家 （）提出并以他的名字命名的一种分布，该分布是从大量真实世界的现象中发现的幂定律分布，在经济学以外，也称其为布拉德福分布，常应用于对海浪、风力、气温等自然现象的研究，随着社会的发展，分布得到了不断地完善和推广，从而形成了多种形式的 分布和广义 分布以及 分布族。广义 分布（，简称 ）由 于 年首次提出，之后在地震、火灾、金融保险等领域得到了广泛应用。该分布也是经典统计文献中常见的研究内容。文献 研究了广义 分布的应力强度可靠性的 第 卷第期 年月南昌大学学报（理科版）（）DOI:10.13764/ki.ncdl.2023.01.004估计；文献 研究了 损失函数下广义 分布的 估计；文献 研究了复合 对称损失下广义 分布形状参数的 估计。本文在已有文献的基础上，继续研究两参数广义 分布形状参数的估计形式与性质。两参数广义 分布函数及密度函数分别为（；，）（；，）（），（；，）（）（）（）其中，为形状参数，为尺度参数。本文拟在加权，对称损失函数（，）（，）（）下，使用 参数估计方法，对两参数广义 分布的形状参数的估计形式及其性质进行研究。两参数广义 分布形状参数的 估计及其性质本节在加权，对称损失函数（）下，研究两参数广义 分布（）的形状参数在尺度参数给定情况下的 估计的形式与性质。定理对任意先验分布，两参数广义 分布（）的形状参数基于损失函数（）的 估计为（）（）证明设（）为的后验密度，则决策函数的后验风险（）（）解是后验风险最小决策函数，用微积分求极小值的方法对后验风险（）关于求导，得（）（）（）整理得（）解得因此，广义 分布形状参数的 估计为（）（）下面定理给出了两参数广义 分布（）的形状参数基于损失函数（），在取定的 先验分布下的 估计的精确形式及其性质。定理设（，）为来自两参数广义 分布总体（）的独立同分布样本，在损失函数（）下，设的先验分布为 分布（，），则参数的 估计为（）（）（）证明对于给定的样本（，），其联合密度函数为（，）（）（）取共轭先验分布为 分布（，），密度函数为（；，）（）（，）形状参数的后验密度函数为南昌大学学报（理科版）年（）（，）（）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）容易得出形状参数的后验分布服从 分布，即（）（，（）从而有（）（）（）（）（）（）（）（）同理得（）（）（）（）（）故参数的 估计为（）（）（）（）（）。（）定理得证。定理若给定先验分布（，），在损失函数（）下，广义 分布（）的形状参数的 估计（）是可容许的。证明令（），且已知随机变量的密度函数为（；，）（）（）若设 （），则有密度函数（），其中，即服从参数为的指数分布，则统计量服从（，）。记（）（），则广义 分布（）的形状参数的 估计为（）（）可知（）的风险函数为（，（）（）（）则（）的 风险为（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）第期吴月丹等：一种对称损失下两参数广义 分布形状参数的 分析（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（令）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）即（）的 风险是有限的，所以广义 分布（）的形状参数的 估计是可容许的。运用 软件产生了不同容量的样本，在尺度参数，真值.且，下，并根据定理给出的关于形状参数的 估计的表达式，得到了分别取，时的估计值，如表所示。表，真值 时的 估计 ，极差 由表可知，在加权，对称损失函数（）下参数的 估计随着样本容量的变化没有较大偏差，极差较小，其估计值几乎趋近于，可见形状参数的 估计的精确度是比较高的，并符合 统计决策的要求。在加权，对称损失下形状参数的最大最小估计参数估计的最小最大性是估计理论中一个较好的性质。这一节通过参数在无信息先验下的 估计来寻找两参数广义 分布（）的形状参数的最小最大估计。引理在一个统计决策问题里，假如（）是参数的唯一最小最大估计，则（）也是参数的容许估计。引理设（）为在先验分布（）下（）的 估计，若的风险函数为常数，即（，）（一切），则为（）的 估计。定理令，为从广义 分布（）中抽取的简单随机样本，则参数的无信息先验密度函数为（）（）证明广义 分布密度函数为（；，）（）（）联合概率密度函数为（，）（）（）其对数似然函数为（，）（）（）（，）对求二阶导（，）则参数的 信息阵为（）（，）南昌大学学报（理科版）年即参数的无信息先验密度为（）（）定理设，为在两参数广义 分布（）中抽取的简单随机样本，假设 无信息先验分布密度函数（），则在损失函数（）下，形状参数的 估计为（）（）（）其中（）。证明由于（，）（）（）且后验概率密度函数为（）（，）（）（，）（）（）（）（）（）其中（）。又有（）（）（）（）（）（）（）（）（）所以形状参数的 估计为（）（）（）（）（）（）定理令，为从广义 分布（）中抽取的简单随机样本，密度函数为（，）（）（）在 无信息先验分布下，则（）（）（）为形状参数在加权，对称损失函数下的 估计。证明由于形状参数在 无先验分布下的 估计为（）（）（）（）（）其中（）（），在加权，对称损失函数（）下，参数的 估计（）的风险函数为（）（），）（）（）有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）第期吴月丹等：一种对称损失下两参数广义 分布形状参数的 分析因此（）（），）（）（）（）（）是只与，有关的常数，根据引理（）（）（）为参数在加权，对称损失函数（）下的 估计。推论令，为从广义 分布（）中抽取的简单随机样本，密度函数为（，）（）（）取 分布为先验分布，则（）（）（）为参数在加权，对称损失函数（）下的 估计。证明由于形状参数在先验分布为伽马分布下的 估计为（）（）（）其中（），（）（）。在加权，对称损失函数（）下，参数的 估计（）的风险函数为（，（）（）（）有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）所以（，（）（）（）（）（）是只与，的常数，由引理可知结论成立。定理对给定 无信息先验分布（），广义 分布（）的形状参数在损失函数（）下的 估计（）是可容许的。证明根据定理，可知对给定 无信息先验分布，广义 分布的形状参数在加权，对称损失函数（）下的 估计（）（）（）是的 估计。由引理可得，广义 分布（）的形状参数的 估计（）是可容许的，结论成立。使用 软件在和时产生了不同容量的样本，分别在尺度参数 和 下，根据定理.给出的关于形状参数的 估计的表达式，得到了取，时参数的估计值。如表和表所示。表，真值 时的 估计 ，极差 南昌大学学报（理科版）年表，真值 时的 估计 ，极差 由表和表可知，参数在加权，对称损失函数（）下的 估计随着样本容量的变化，没有较大偏差，均方误差均小于，极差较小，时，其估计值几乎趋近于，时，其估计值趋近于.，由此可知尺度参数一定下，形状参数的 估计的精确度较高，估计效果较好，符合 统计决策的要求。结论文章主要讨论在一种对称损失函数下，两参数广义 分布形状参数的 估计，分别取 分布和无信息先验分布为先验分布，得到了形状参数的 估计以及 估计的精确形式，且证明了所得估计的可容许性。通过 软件进一步验证了 估计的精确度，可知所得估计符合统计决策的要求。本文的结果在一定程度上丰富了 分布族参数估计的内容。参考文献：李建波，韦程东，高小琪广义帕累托分布的应力强度可靠性的 估计广西师范学院学报（自然科学版），（）：井晓培，周菊玲 损失函数下广义 分布的 估计鲁东大学学报（自然科学版），（）：岑泰林，韦程东，张晓东，等复合 对称损失下广义 分布形状参数的 估计广西师范学院学报（自然科学版），（）：徐宝，姜玉秋，滕飞，等加权，对称熵损失下一类指数分布模型参数的估计数学的实践与认识，（）：王宇廷一种对称损失下 分布形状参数的 分析四平：吉林师范大学，茆诗松，王静龙，濮晓龙高等数理统计北京：高等教育出版社，韦来生，张伟平 贝叶斯分析 合肥：中国科学技术大学出版社，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：第期吴月丹等：一种对称损失下两参数广义 分布形状参数的 分析