北师大版中考数学试题及答案.doc

深圳市2011年初中毕业生学业考试
数 学 试 卷
第一部分 选择题
（本部分共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的4个选项中，其中只有一个是正确的）
1．的相反数等于（ ）
A． B． C．－2 D．2
2．如图1所示的物体是一个几何体，其主视图是（ ）

A． B． C． D． 图1
3．今年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×103 B．5.6×104 C．5.6×105 D．0.56×105
4．下列运算正确的是（ ）
A．x2＋x3＝x5 B．(x＋y)2＝x2＋y2 C．x2·x3＝x6 D．(x2)3＝x6
5．某校开展为“希望小学”捐书活动，以下是八名学生捐书的册数：2，3，2，2，6，7，6，5，
则这组数据的中位数为（ ）
A．4 B．4.5 C．3 D．2
6．一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）
A．100元 B．105元 C．108元 D．118元
7．如图2，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A
B
C

图2 A． B． C． D．
图3
1
2
3
6
7
8
8．如图3是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，
并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字。如果同时转动
两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），当转盘停止后，
则指针指向的数字和为偶数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知a，b，c均为实数，若a>b，c≠0。下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．对抛物线而言，下列结论正确的是（ ）
A．与x轴有两个交点 B．开口向上
C．与y轴的交点坐标是（0，3） D．顶点坐标为（1，－2）
11．下列命题是真命题的个数有（ ）
①垂直于半径的直线是圆的切线； ②平分弦的直径垂直于弦；
③若是方程x－ay＝3的一个解，则a＝－1；
A
B
C
D
F
E
O
图4
④若反比例函数的图像上有两点（，y1），（1，y2），则y1<y2。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图4，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，
则AD：BE的值为（ ）
A． B． C．5:3 D．不确定

O
A
B
图5
第二部分 非选择题
填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分。）
13．分解因式：a3－a＝______________________。
14．如图5，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝cm，
则OA＝___________cm。
15．如图6，这是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的
周长是＝______________________。
……

A
B
C
图7
x
y
O
（1） （2） （3） （4） ……
图6
16．如图7，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的
坐标为（0，2），直线AC的解析式为：，则tanA的值
是___________。

解答题（本题共7小题，其中第17小题5分，第18小题6分，第19小题7分，第20小题8分，
第21小题8分，第22小题9分，第23小题9分，共52分）
17．（本题5分）计算：。

18．（本题6分）解分式方程：。

19．（本题7分）某校为了了解本校八年级学生课外阅读的喜欢，随机抽取了该校八年级部分学生进行
问卷调查（每人只选一种书籍）。图8是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中
提供的信息，解答下列问题：
人数
100
80
60
40
漫画
科普常识
其他
种类
小说
0
20
80
40

20
2540%
小 说
30%
科普常识
漫画
其他

图8
（1）这次活动一共调查了_________名学生；
（2）在扇形统计图中，“其他”所在扇形圆心角等于_________度；
（3）补全条形统计图；
（4）若该年级有600人，请你估计该年级喜欢“科普常识”的学生人数约是_________人。
20．如图9，已知在⊙O中，点C为劣弧AB上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB
O
A
E
C
B
D
图10
O
A
E
C
B
D
图9
并延长交⊙O于点E，连接AE。
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图10，连接EC，⊙O半径为5，AC的长为4，
求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）

图11
A
B
D
C
C′
G
G
图12
A
B
D
C
E
C′
N
M
21．（本题8分）如图11，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，
点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G。
（1）求证：AG＝C′G；
（2）如图12，再折叠一次，使点D与点A重合，
得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长。

22．（本题9分）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往
出
发
地
目
的
地

甲 地
乙 地
A 馆
x（台）
_______（台）
B 馆
_______（台）
_______（台）

表2
出
发
地
目
的
地

甲 地
乙 地
A 馆
800元∕台
700元∕台
B 馆
500元∕台
600元∕台

表1
大运赛场A、B馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台；运往A、B两馆的运费如表1：

（1）设甲地运往A馆的设备有x台，请填写表2，并求出总费用y（元）与x（台）的函数关系式；
（2）要使总费用不高于20200元，请你帮忙该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
（3）当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？

23．（本题9分）如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，
交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。
图13
A
B
x
y
O
D
C
图14
A
B
x
y
O
D
C
P
Q
E
F
图15
A
B
x
y
O
D
C

深圳市2011年初中毕业生学业考试
数 学 试 卷·参 考 答 案

第一部分：选择题
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
B
C
B
D
A
A
B
C
D
D
C
A

第二部分：填空题：
13、a(a＋1)(a－1) 14、4 15、2＋n 16、

解答题：
17、原式

18、解：方程两边同时乘以：(x＋1)(x－1)，得：
人数
100
80
60
40
漫画
科普常识
其他
种类
小说
0
20
80
40
60
20
图1
2x (x－1)＋3(x＋1)＝2(x＋1)(x－1)
整理化简，得
x＝－5
经检验，x＝－5是原方程的根
原方程的解为：
x＝－5
（备注：本题必须验根，没有验根的扣2分）

19、（1）200； （2）36； （3）如图1； （4）180

20、（1）证明：如图2，连接AB、BC，
∵点C是劣弧AB上的中点
O
A
E
C
B
D
图2
∴
∴CA＝CB
又∵CD＝CA
∴CB＝CD＝CA
∴在△ABD中，
∴∠ABD＝90°
∴∠ABE＝90°
∴AE是⊙O的直径
（2）解：如图3，由（1）可知，AE是⊙O的直径
O
A
E
C
B
D
图3
∴∠ACE＝90°
∵⊙O的半径为5，AC＝4
∴AE＝10，⊙O的面积为25π
在Rt△ACE中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：

∴S△ACE＝
∴S阴影＝S⊙O－S△ACE＝

图4
A
B
D
C
C′
G
21、（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，
CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°
在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°
∴AB＝ C′D，∠A＝∠C′
在△ABG和△C′DG中，
∵AB＝ C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD
∴△ABG≌△C′DG（AAS）
∴AG＝C′G
（2）解：如图5，设EM＝x，AG＝y，则有：
G
图5
A
B
D
C
E
C′
N
M
C′G＝y，DG＝8－y，，
在Rt△C′DG中，∠DC′G＝90°，C′D＝CD＝6，
∴ C′G2＋C′D2＝DG2
即：y2＋62＝（8－y）2
解得：

∴C′G＝cm，DG＝cm
又∵△DME∽△DC′G
∴ ， 即：
解得：
， 即：EM＝（cm）
∴所求的EM长为cm。

22、解：（1）表2如右图所示，依题意，得：
出
发
地
目
的
地

甲 地
乙 地
A 馆
x（台）
_______（台）
B 馆
_______（台）
_______（台）

表2
18－x
17－x x－3
y＝800x＋700(18－x)＋500(17－x)＋600(x－3)
即：y＝200x＋19300（3≤x≤17）
（2）∵要使总运费不高于20200元
∴200x＋19300<20200
解得：
∵3≤x≤17，且设备台数x只能取正整数
∴ x只能取3或4。
∴该公司的调配方案共有2种，具体如下表：

甲 地
乙 地
A 馆
3台
15台
B 馆
14台
0台

甲 地
乙 地
A 馆
4台
14台
B 馆
13台
1台

表3 表4

（3）由（1）和（2）可知，总运费y为：
y＝200x＋19300（x＝3或x＝4）
由一次函数的性质，可知：
当x＝3时，总运费最小，最小值为：ymin＝200×3＋19300＝19900（元）。
答：当x为3时，总运费最小，最小值是19900元。

23、解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：
a(3－1)2＋4＝0
解得：a＝－1
∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y＝－(x－1)2＋4，得
E
F
图6
A
B
x
y
O
D
C

Q
I
G
H
P
y＝－(2－1)2＋4＝3
∴点E坐标为（2，3）
又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴ x＝－1或x＝3
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②

分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
E
F
图6
A
B
x
y
O
D
C

Q
I
G
H
P
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1
∴点F坐标为（0，1）
∴………………………………………③
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）
∴………④
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：
解得：
过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
图7
A
B
x
y
O
D
C
M
T
N
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为。
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，
即：MD2＝NM×BD………………………………⑤
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
∴
再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4
∴
∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9，
∴⑤式可写成： a2＋9＝×
解得：
a＝或a＝3（不合题意，舍去）
∴点M的坐标为（，0）
又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上，
∴当x＝时，y＝
∴点T的坐标为（，）
第10页（共10页） 全手工输入绘图：119113000