2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)-附详细解答和评分标准.doc

(完整版)2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准1、（10广东茂名25题）（本题满分10分）（第25题图）AxyBCO如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+经过A（0,4）、B(，0）、 C（，0)三点，且-=5（1）求、的值；（4分）（2)在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）(3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形?若存在,求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形?若不存在，请说明理由(3分）解： 解：（1）解法一：抛物线=+经过点A（0,4）， =4 1分又由题意可知,、是方程+=0的两个根,+=, =62分由已知得()=25又（-）=（+）4=24 24=25 解得= 3分当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意,舍去= 4分解法二:、是方程+c=0的两个根, 即方程23+12=0的两个根=,2分=5， 解得 =3分 （以下与解法一相同） （2)四边形BDCE是以BC为对角线的菱形,根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分 又=4=（+）+ 6分 抛物线的顶点(，）即为所求的点D7分 （3)四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P必是直线=3与抛物线=-4的交点， 8分 当=3时，=（3）（3）4=4, 在抛物线上存在一点P（3，4),使得四边形BPOH为菱形 9分 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形,点P的坐标只能是（3，3)，但这一点不在抛物线上10分2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分)已知点A（a，）、B(2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上。(1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求ABC的面积；(3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个,并加以证明；如果不存在，说明理由。解：(1）由5=0，（1分)得，（2分)抛物线与x轴的交点坐标为（0，0)、（，0)（3分)(2)当a=1时，得A(1，17）、B（2，44）、C（3，81），(4分）分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S (5分) =-（6分)=5(个单位面积）（7分)(3）如： (8分）事实上， =45a2+36a 3（）=35（2a)2+122a-(5a2+12a） =45a2+36a（9分) （10分）yxO第26题图DECFAB3、(08辽宁沈阳26题）（本题14分）26如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上,且，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形点的对应点为点，点的对应点为点,点的对应点为点,抛物线过点（1）判断点是否在轴上,并说明理由;（2）求抛物线的函数表达式；（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由解:(1）点在轴上1分理由如下：连接,如图所示，在中,，,由题意可知：点在轴上,点在轴上3分（2）过点作轴于点，在中，点在第一象限，点的坐标为5分由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为6分抛物线经过点，由题意,将，代入中得 解得所求抛物线表达式为：9分（3）存在符合条件的点，点10分理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为211分依题意设点的坐标为点在抛物线上解得，,，以为顶点的四边形是平行四边形，yxODECFABM，当点的坐标为时，点的坐标分别为,；当点的坐标为时，点的坐标分别为，14分AOxyBFC图164、（08辽宁12市26题）（本题14分）26如图16,在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由;（3)试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解:（1)直线与轴交于点,与轴交于点，1分点都在抛物线上, 抛物线的解析式为3分顶点4分（2）存在5分7分9分(3）存在10分理由：解法一：延长到点，使，连接交直线于点,则点就是所求的点 11分AOxyBFC图9HBM过点作于点点在抛物线上，在中，在中，12分设直线的解析式为 解得13分 解得 在直线上存在点,使得的周长最小,此时14分5、（08青海西宁28题）如图14,已知半径为1的与轴交于两点，为的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过两点（1）求二次函数的解析式；图14yxOABMO1（2）求切线的函数解析式；(3)线段上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在,请说明理由解：（1）圆心的坐标为，半径为1,，1分二次函数的图象经过点，可得方程组2分解得：二次函数解析式为3分（2）过点作轴,垂足为4分是的切线，为切点,(圆的切线垂直于经过切点的半径）yAHFMOP1P2O1xB在中，为锐角,5分，在中,点坐标为6分设切线的函数解析式为，由题意可知，7分切线的函数解析式为8分（3）存在9分过点作轴,与交于点可得（两角对应相等两三角形相似），10分过点作,垂足为，过点作，垂足为可得（两角对应相等两三角开相似）在中，在中，11分符合条件的点坐标有，12分6、（08山东济宁26题)(12分）中,，cm长为1cm的线段在的边上沿方向以1cm/s的速度向点运动（运动前点与点重合）过分别作的垂线交直角边于两点，线段运动的时间为s（1)若的面积为，写出与的函数关系式（写出自变量的取值范围)；（2）线段运动过程中，四边形有可能成为矩形吗?若有可能,求出此时的值;若不可能，说明理由；(3）为何值时，以为顶点的三角形与相似？解：（1）当点在上时,，2分当点在上时，4分（2)，6分由条件知，若四边形为矩形，需，即,当s时，四边形为矩形8分（3)由（2）知，当s时，四边形为矩形,此时，9分除此之外，当时,，此时，10分，又，11分，当s或s时,以为顶点的三角形与相似12分7、（08四川巴中30题)（12分）30已知:如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点,直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？xyABCEMDPNO解：(1）在中,令，1分又点在上的解析式为2分（2)由，得 4分，,5分6分（3）过点作于点7分8分由直线可得：在中，则，9分10分11分此抛物线开口向下,当时，当点运动2秒时,的面积达到最大，最大为12分8、(08新疆自治区24题)（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m(1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式(2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1。5m，高1。6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0。8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？解:（1）设抛物线的表达式为1分点在抛物线的图象上3分抛物线的表达式为4分（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）已知窗户高1.6m，5分(舍去）6分（m)7分又设最多可安装n扇窗户9分答：最多可安装4扇窗户10分(本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）9、（08广东梅州23题)23本题满分11分如图11所示,在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB,AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） 解： （1) DCAB，AD=DC=CB， CDB=CBD=DBA，0。5分 DAB=CBA， DAB=2DBA， 1分DAB+DBA=90, DAB=60， 1。5分 DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分RtAOD,OA=1，OD=，2.5分A（1，0），D（0， )，C(2， ） 4分(2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A(1，0），B(3，0），故可设所求为 = (+1）（ 3) 6分将点D（0， )的坐标代入上式得， =所求抛物线的解析式为 = 7分其对称轴L为直线=18分（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1,P1D=P1B， P1DB为等腰三角形; 9分因为以D为圆心,DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3,DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；与同理,L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5 10分由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个10、（08广东中山22题)将两块大小一样含30角的直角三角板,叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4,AC与BD相交于点E，连结CD（1）填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形。(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形）。(3)如图10，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ABD不动，将ABC向轴的正方向平移到FGH的位置,FH与BD相交于点P，设AF=t，FBP面积为S，求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围。EDCHFGBAPyx图1010DCBAE图9解：(1），,1分等腰;2分 （2）共有9对相似三角形。（写对35对得1分，写对68对得2分，写对9对得3分） DCE、ABE与ACD或BDC两两相似，分别是：DCEABE，DCEACD，DCEBDC，ABEACD，ABEBDC；(有5对）ABDEAD，ABDEBC；(有2对)BACEAD,BACEBC；（有2对）所以,一共有9对相似三角形.5分K（3）由题意知，FPAE, 1PFB,又 1230， PFB230， FPBP.6分过点P作PKFB于点K,则. AFt,AB8， FB8t，.在RtBPK中，. 7分 FBP的面积, S与t之间的函数关系式为： ，或。 8分t的取值范围为：。 9分11、（08湖北十堰25题）已知抛物线与轴的一个交点为A（1，0），与y轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标;当点C在以AB为直径的P上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点，使得以点M和中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标;若不存在,请说明理由 解:对称轴是直线：,点B的坐标是(3,0） 2分说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分如图，连接PC，点A、B的坐标分别是A(-1，0)、B (3，0），AB4在RtPOC中，OPPAOA211，b 3分当时， 4分 5分存在6分理由：如图,连接AC、BC设点M的坐标为当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CMAB,且CMAB由知，AB4，|x4，x4点M的坐标为9分说明：少求一个点的坐标扣1分当以AB为对角线时，点M在x轴下方过M作MNAB于N，则MNBAOC90四边形AMBC是平行四边形，ACMB，且ACMBCAOMBNAOCBNMBNAO1，MNCOOB3，0N312点M的坐标为 12分说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形其坐标为说明：综上所述不写不扣分；如果开头“存在二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。12、(08四川达州23题)如图,将置于平面直角坐标系中，其中点为坐标原点，点的坐标为,（1)若的外接圆与轴交于点,求点坐标DCOABxy（2）若点的坐标为,试猜想过的直线与的外接圆的位置关系，并加以说明（3）二次函数的图象经过点和且顶点在圆上,求此函数的解析式FE解：（1）连结AD，则ADOB600在RtADO中，ADO600所以ODOA3DCOABxyF所以D点的坐标是(0，）(2）猜想是CD与圆相切AOD是直角,所以AD是圆的直径E又TanCDO=CO/OD=1/=, CDO300 CDA=CDO+ADO=Rt 即CDADCD切外接圆于点D(3）依题意可设二次函数的解析式为 : y=（x0）(x3）由此得顶点坐标的横坐标为：x=；即顶点在OA的垂直平分线上，作OA的垂直平分线EF,则得EFAB300得到EFEA可得一个顶点坐标为（,）同理可得另一个顶点坐标为（,）分别将两顶点代入y=（x0)(x3)可解得的值分别为，则得到二次函数的解析式是y=x(x3）或y= x（x3)13、（08湖北仙桃等4市25题）如图，直角梯形中，,为坐标原点，点在轴正半轴上,点在轴正半轴上，点坐标为(2，2），= 60，于点。动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发,沿线段向点运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.（1） 求的长；（2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少?（3） 设与交于点.当为等腰三角形时，求（2）中的值。 探究线段长度的最大值是多少,直接写出结论。解：（1) 在中， , ， 而 为等边三角形 （3分）(2） = （）（6分）即当时，(7分)（3）若为等腰三角形，则:(i）若， 即解得：此时(8分)（ii）若, 过点作，垂足为，则有：即解得：此时（9分)（iii)若，此时在上，不满足题意.（10分） 线段长的最大值为（12分）14、（08甘肃兰州28题)(本题满分12分）如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,为原点，点在轴的正半轴上,点在轴的正半轴上，,(1)在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处,求两点的坐标；（2)如图19-2，若上有一动点(不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点求四边形的面积与时间之间的函数关系式;当取何值时,有最大值？最大值是多少？（3)在(2)的条件下，当为何值时,以为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点的坐标yxBCOADE图19-1yxBCOADE图19-2PMN(本题满分12分)解:（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴,在中，,点坐标为（2，4）2分在中， 又 解得：点坐标为3分（2)如图,，又知,，, 又而显然四边形为矩形5分，又当时，有最大值6分（3）(i）若以为等腰三角形的底,则（如图）在中，为的中点，yxBCOADE图PMNF又，为的中点过点作,垂足为，则是的中位线，,，当时，为等腰三角形此时点坐标为8分(ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图）yxBCOADE图PMNF在中，过点作，垂足为,，当时，(），此时点坐标为11分综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或12分15、(08天津市卷26题)(本小题10分）已知抛物线,（）若，,求该抛物线与轴公共点的坐标;（）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；（）若，且时,对应的；时，对应的,试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由解（）当,时，抛物线为，方程的两个根为, 该抛物线与轴公共点的坐标是和 2分（）当时，抛物线为，且与轴有公共点对于方程，判别式0，有 3分当时，由方程,解得此时抛物线为与轴只有一个公共点 4分当时， 时，时,由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有 即解得综上，或 6分(）对于二次函数，由已知时，;时，又，于是而,，即 7分关于的一元二次方程的判别式， 抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方8分又该抛物线的对称轴，x由，得,又由已知时，；时,，观察图象，可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点 10分16、（08江苏镇江28题）（本小题满分8分）探索研究xlQCPAOBHRy如图,在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点,点的坐标为，直线过且与轴平行,过作轴的平行线分别交轴，于,连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点;（2）求证：四边形为平行四边形；平行四边形为菱形；(3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点?并说明理由(1)法一:由题可知,，(1分），即为的中点（2分）法二：，（1分）又轴，（2分）（2）由（1）可知，,（3分），又，四边形为平行四边形（4分）设,轴，则，则过作轴,垂足为，在中,平行四边形为菱形（6分）(3)设直线为，由,得,代入得： 直线为（7分）设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，解得得公共点为所以直线与抛物线只有一个公共点（8分)23