中职数学立体几何教案.doc

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x x 职 业 技 术 教 育 中 心
教 案

教 师 姓 名
x x
授课班级
12会计、通信
授课形式
新授
授 课 日 期
2013年 5 月 13 日 第 13 周
授课时数
2
授 课 章 节
名 称
§9.1 平面的基本性质
教 学 目 的
了解平面的表示方法和基本性质
教 学 重 点
平面的基本性质
教 学 难 点
用集合符号表示空间点、直线和平面的关系
更新、补充、删 节 内 容

使 用 教 具

课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入：
新授：
1． 平面及其表示
图5-27(1)
A
D
B
C

图5-27(2)
D
A
B
C
D
常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示竖直的平面．请注意它们画法之间的区别．
如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步骤进行．
图5-28

一个平面通常用小写希腊字母a、b、g、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面a”、“平面b”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC”或“平面BD”，当然也可记作平面ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分．
空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示：
①点A在直线l上，记作AÎl，点A不在直线l上，记作AÏl；
②点A在平面a内，记作AÎa，点A不在平面a内，记作AÏa；
③直线l在平面a内，记作lÌa；
④直线l与直线m交于点N，记作lÇm={N}，直线l与直线m没有交点，记作lÇm=Æ；
⑤直线l与平面a交于点N，记作lÇa={N}，直线l与平面a没有交点，记作lÇa=Æ；
⑥平面a与平面b交于直线l，记作aÇb=l，平面a与平面b不相交，记作aÇb=Æ．
在以后的学习中，我们将经常用到这些记号．
课内练习1
1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？
2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．
3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
(第3题图)
4. 用符号表示下列点、线、面间的关系：
(1)点A在平面a内，但在平面b外；
(2)直线l经过平面a外的一点N；
(3)直线l与直线m相交于平面a内的一点N；
(4)直线l经过平面a内的两点M和N．
5. 下面的写法对不对，为什么？
(1)点A在平面a内，记作AÌa; (2)直线l在平面a内，记作lÎa；
(3)平面a与平面b相交，记作aÇb； (4)直线l与平面a相交，记作lÇa¹Æ．

2. 平面的基本性质
基本性质：
(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
如图5-29，直线l上两点A,B在平面a 内，那么图5-29
·
·
A
B
a
l
l上所有的点都在平面a 内，这时我们可以说，直线l在平面a 内或平面a经过直线l．
图5-30
l
b
g
·
C
这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内．
因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们 必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性质：
(2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线．
　 如图5-30，平面b 与平面g 相交， C是公共点，那么它们相交于过C的直线l．如果我们把一张纸摊平折起来，折痕一定是一条直线，就是这个道理．
(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面．
图5-31
a
·
·
·
C
B
A
这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平面．如图5-31，A、B、C三点不在同一直线上，经过这三点可以且只可以画一个平面a．
现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．
从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：
①一条直线和直线外一点可以确定一个平面；
②两条相交直线可以确定一个平面；
③两条平行直线可以确定一个平面．
课内练习2
1. 判断题
(1)如图，我们能说平面a与平面b只有一个交点A吗？
(2)如图,我们能说平面a与平面b相交于线段AB吗?
(3)如图,我们能说线段AB在平面a内,但直线AB不全在平面a内吗?
(第1(1)题图)
·
a
b
A
(第1(2)题图)
b
A
·
a
·
B
(第1(3)题图)
A
·
a
·
B
2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？
3. 一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？
4. 怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？

小结
作业

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教 师 姓 名
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授课班级
12会计、通信
授课形式
新授
授 课 日 期
2013年 5 月 14 日 第 13 周
授课时数
4
授 课 章 节
名 称
§9.2 空间两条直线的位置关系
教 学 目 的
了解直线的位置关系，空间平行直线关系的传递性
会求异面直线所成的角
教 学 重 点
异面直线的概念及其判定
异面直线所成的角
教 学 难 点
异面直线的判定
异面直线所成的角
更新、补充、删 节 内 容

使 用 教 具

课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入：
新授：
1. 两条空间直线的位置关系
A
B
C
D
图9-32
A¢
B¢
C¢
D¢
平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交．
把教室看成一个长方体ABCD-A¢B¢C¢D¢（如图9-32），可以发现直线对BC与AA¢、AD与D¢C以及对角线B¢D¢与AC等等，它们不同在一个平面内．
我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：
(必定同在一个平面上)；
(1) 没有公共点——平行
l1
图9-33
l
a
(2) 只有一个公共点——相交
(3) 既不相交也不平行——异面 (不可能同在一个平面上)．
在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面内，这样就容易体现出 “异面”的特点．
课内练习1
1. 找出日常生活中异面直线的几个例子．
2. 画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．
3. 两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？
4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？

2. 空间的平行直线
A
B
C
D
图9-34
A¢
B¢
C¢
D¢
平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34中，因为ABB¢A¢、BCC¢B¢都是矩形，AA¢∥BB¢, CC¢∥BB¢，所以CC¢∥AA¢．在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法．
　　在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34中的和。
A
B
C
D
E
F
H
G
图9-35
例1 如图9-35，已知E、F、G、H分别是任意空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，求证四边形EFGH是平行四边形．
A
B
C
D
E
F
G
H
证明
由此即得EH=FG且EH//FG．所以四边形EFGH是平行四边形．
课内练习2
1. 把一张长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什么？
2. 画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使它们成为平行直线．
A
E
F
F1
A1
E1
第3题图
A
B
C
D
第4题图
A¢
B¢
C¢
D¢
E
E
E¢
3. 如图，在长方体中，AE=A1E1, AF=A1F1，求证：EF=E1F1且 EF//E1F1．
4. 如图，在长方体ABCD-A¢B¢C¢D¢中，E,E¢分别是棱AD,A¢D¢的中点，求证：ÐCEB=ÐC¢E¢B¢．

3. 异面直线所成的角
图5-36(2)
l
m
·
l¢
P
图5-36(1)
l
m
·
m¢
l¢
P
平面几何中的角的两条边是相交的，空间异面直线不相交，怎么形成角呢？我们可以这样来定义：
如图5-36(1)，设l、m是两条异面直线，在空间任取一点P，过P作l¢∥l、m¢∥m，把l¢、m¢所成的(不大于90°)角，叫做异面直线l、m所成的角(或l、m的夹角)，采用平面情况的记法，记作l^m．
为了简便起见，点P常取在两异面直线中的一条上．
例如在直线m上，过点P作直线l¢∥l （如图9-36(2)），那么l¢、m所成的角就是异面直线l、m所成的角．
图9-37
A
B
C
D
A¢
B¢
C¢
D¢
如果两条异面直线l、m所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作l^m．如果两条直线所成的角为0°角，那么我们就说这两条直线平行．
例2 图9-37表示一个正方体．
(1)哪些棱与AB¢是异面直线？
(2)求AB¢与CC¢的夹角的度数；
(3)哪些棱与AA¢垂直？
解
课内练习3
1. 在下列各图中，分别以O为顶点，画出异面直线l、m所成的角．
第1题图
m
l
·
O
·
m
l
O
·
l
m
O

2. 设l、m、n为三条空间直线，其中l∥m, l^n，则m、n的关系如何？
3. 设l、m、n为三条空间直线，且l ^ m = n ^m=45°，能否得出l∥n的结论？
你能举出反例吗？

小结：
作业：

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教 案

教 师 姓 名
x x
授课班级
12会计、通信
授课形式
新授
授 课 日 期
2013年 5 月 20 日 第 14 周
授课时数
4
授 课 章 节
名 称
§ 9.3 直线和平面的位置关系
教 学 目 的
认识和理解直线和平面平行、垂直的有关结论
掌握三垂线定理的应用
教 学 重 点
直线和平面平行的判定和性质
直线和平面垂直的判定和性质
三垂线定理及其逆定理
教 学 难 点
直线和平面平行、垂直的有关结论
三垂线定理的应用
更新、补充、删 节 内 容

使 用 教 具

课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入：
新授：
图5-38
A
B
C
D
B1
A1
C1
D1
1. 直线和平面的位置关系
我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体．我们考察AB所在的直线，它在面ABCD上；与面BCC1B1有一个公共点B；与面DCC1D1没有公共点．这个实例告诉我们：
空间直线l与平面a的位置关系只有三种：
(1) l与a有无数个公共点——直线l在平面a内；
(2) l与a没有公共点——直线l平行于平面；
(3) l与a只有一个公共点——直线l与平面a相交．
图5-39
·
·
B
A
l
a
l
a
A
l
·
a
图5-39表示了这三种位置关系．

课内练习1
(第2(3)题图)
l
a
1. 举出直线和平面的三种位置关系的实例．
2. 回答下列问题：
(1)能否说直线l与平面a有两个交点A、B?
(2)如果直线l在平面a外，l是否一定与a平行？
(3)如图，因为l与a没有交点，是否能说l∥a?
(4)如果直线l不平行于平面a，l必与a相交吗？

2. 直线和平面平行
(1)直线和平面平行的判定
图5-40(2)
b
a
a
b
要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸，看有无公共点，这是无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行．
图5-40(1)
b
a
a
我们看图5-40(1)，这是一扇门，门框左右两条边缘是直线a、b．把墙面视为一个平面a，当门关着时，直线a、b同在平面a上，
且a∥b．开门时，a离开了平面a，但仍保持与b平行，而且a与平面a也是平行的(如图5-40(2))．
这就给出了一个判定直线与平面平行的方法：
图5-41
b
a
a
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
如图5-41中所示，如果a∥b，bÌa，则a∥a。
根据这个判定方法，为了证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线和这条直线平行就可以了．
画一条直线和一个平面平行，常把直线画在表示平面的平行四边形外面，并且如图5-41那样，与平行四边形的一组对边平行或与平行四边形内的一条线段平行．
在安装日光灯管时，检查两条垂直吊线的长度是否相等；往墙上贴一条横幅时，检查横幅的上边与顶板是否等距，都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行，使用的原理正是这个判定方法．
为便于记忆，这个方法可简记为：“若线线平行，则线面平行”．
A
C
B
D
E
F
图5-42
例1 如图5-42，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证 EF∥平面BCD．
证明 在DABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以
EF∥BD．
又因为 EFË平面BCD，BDÌ平面BCD，
所以 EF∥平面BCD．
课内练习2
1. 在平面a上有直线b，与平面外直线a不平行，能否说a与a必定不平行？为什么？
2. 设平面a与平面外的直线a平行，证明a与a内的任意直线都不相交．

(2)直线和平面平行的性质
图5-43
a
则交线必定平行于这条已知直线．
b
a
b
现在把图5-40(2)墙面、门分别看作为平面a、b，门边缘b是a、b的交线，a∥b．这表明，当直线a和平面a平行时，过a的平面b与平面a的交线必与a平行．我们可以得到直线和平面平行的性质：
如果直线a和平面a平行，经过a的平面b若与a相交，
则交线必定平行于a．
如图5-43，若a∥a，aÌb，aÇb=b，则a∥b．
这个性质可简记为：“若线面平行，则线线平行”．
A
B
C
D
E
F
P
·
A1
B1
C1
D1
图5-44
例2 如图5-44所示的木块，BC∥平面A1C1，木工师傅要过点P和BC截去一个斜角，应该怎样划线？
解 因为BC∥平面A1C1，B1C1是平面BC1与平面A1C1的交线，所以BC∥B1C1；
过P作B1C1的平行线EF，则
EF∥B1C1∥BC，
所以EF、BC共面．连结EB和FC，所得的四边形EFCB必定在同一平面上，所以沿此四边形画线即可．
课内练习3
1. 一块木板ABCD的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD 转动到各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？
2. 判断下面的说法是否正确：
(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；　　　　　　　　　　（　）
(2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行；　　　　　　　　（　）
(3)如果一条直线和一个平面平行，则它和这平面内的任何直线平行；　（　）
(4)平行于同一平面的两条直线互相平行．　　　　　　　　　　　　　（　）
3. 设a是平面a外的一条直线，a∥a，证明在a上有无数条直线与a平行．
4. 已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：
(1)BC||面A1ADD1；(2) BC1||面A1ADD1；(3)C1D||面ACB1．
5. 如果平面外的两条平行线中有一条和平面内某一条直线平行，试证另一
条直线和这个平面平行．

3. 直线和平面垂直
直线与平面相交有两种情况，一是垂直，二是斜交．我们先来研究前一种情况．
如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l垂直于平面a，记作
图5-45
l⊥a，直线l叫做平面a的垂线，平面a叫做直线l的垂面，交点叫做垂足．
画直线与平面垂直，通常是把直线画成和表示平面的平行四边形的一组对边垂直（如图5-45）．
(1)直线与平面垂直的判定
按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的，我们有下面的较为简便的方法：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．
a
l
图5-46
o
m
n
如图5-46， lÇa≠Æ， m Ì a，nÌ a，mÇn={O}，若l^m，l^ n，那么l^a．
有了这个方法，要判定一条直线l是否垂直于一个平面a，只要在a内去找到两条相交直线与l垂直就行了．这也是人们在日常生活中用来判定直线与平面垂直的方法．例如树立旗杆时，只要从不在一条直线上的两个不同的方向，看一下旗杆与水平线是否垂直，就能确定旗杆是否与地面垂直了．
A
C
D
B
图5-47
E
例3 如图5-47，有一旗杆AB，从它的顶端A挂一条绳子下来，拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C、D、E三点处，其中C、B、E在一条直线上，若测得BC=BD=BE，证明旗杆和地面垂直．
证明 因为ΔABC,ΔABD,ΔABE的三边对应相等，所以
ΔABC@ΔABD@ΔABE，
所以 ∠ABC =∠ABD=∠ABE；
又因为C、B、E在一条直线上，所以∠ABC=∠ABE=90°；所以∠ABD=90°．即
AB^BC，AB^BD．
又知B、C、D有三点不共线，所以AB^平面BCD，即旗杆和地面垂直．
课内练习4
1. 回答下列问题：
(1)直线l垂直于平面a内的一条直线m，是否能说l ^a？
(2)直线l垂直于平面a内的两条直线m,n，是否能说l ^a？
(3)直线l垂直于平面内a的无数条直线，是否能说l ^a？
(4)一条直线垂直于一个三角形的两条边，这条直线是否和第三边垂直？
A
C
D
B
(第3题图)
(5)三条直线相交于同一点，且两两垂直，其中任一条直线是否垂直于另两条直线所确定的平面？
2. 已知直线a∥平面a，直线b^a，求证a^b．
3. 如图，有一旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长10m的绳子，拉紧绳子并把它的一端先后放在地面上和B点不在同一条直线的两点C,D上．如果这两点和B点的距离都是6m，求证旗杆和地面垂直．

a
图5-48
m
n
(2)直线和平面垂直的性质
当直线与平面垂直时，有如下的性质：
如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线互相平行．
如图5-48中， m^a，n^a，那么m∥n．这也是判定两条直线平行的另一个方法．
a
P
O
图5-49
(3)点到平面的距离
设P是平面a外的一点，过点P向a作垂线，垂足为O，线段PO的长就是点P到a的距离，O也叫做点P在平面a内的正射影(简称射影) (如图5-49)．
A
C
D
B
图5-50
例4 如图5-50，已知旗杆AB垂直于水平地面，从旗杆顶拉一条绳子下来，拉紧后在地面上点C,D处量得BC=BD=6m，且BC^BD；若已知∠CAD=30°，求旗杆的高度．
解 因为BC^BD，所以
CD=
在等腰DACD中，
CD2=AC2+AD2-2AC×ADcos∠CAD=(2-)AC2，
解得 AC2=．
在RtDABC中，
AB2=AC2-BC2=-36=108+72,
AB=»15.25m．
所以旗杆高约15.25m．
课内练习5
1. 判断题
(1)若直线l^平面a，直线l1不平行于l，则l1不垂直于a ( )
(2)若直线l∥平面a，直线l1垂直于l，则l1垂直于a ( )
(3)若直线l∥平面a，直线l1不垂直于l，则l1不垂直于a ( )
(4)若直线l,l1平行，由它们确定的平面为a，若直线m^l，则m^a 　( )
A
C
D
B
(第2题图)
B1
(5)若直线l,l1平行，由它们确定的平面为a，若直线m不垂直于l，则m也不垂直于a 　 ( )
(6)过平面外一点，能作、且仅能作一条直线与平面垂直 ( )
2．如图，在例4中，若旗杆立在平台顶上，无法得到垂足B，
但已知绳子长度为16m，量得CD=8.5m，且BC^BD，
请计算旗杆顶离地面的距离．

4. 直线和平面所成的角
l2
l1
图5-51
a
如果直线l与平面a相交而不垂直，就称直线与平面斜交．
直线叫做平面的斜线，交点叫做斜足．
l
Q
图5-52
a
P
A
q
我们看图5-51，直线l1、l2与平面a都斜交，但斜交的角度不同．
应该怎样来度量这个角度呢？现在来讨论这个问题．
设斜线l与平面a交于A点，点P在l上，P在a上的射影为Q；直线AQ叫做斜线l在平面a上的正射影（简称射影）(图5-52)．
可以证明，斜线与平面的射影之间形成的角(图5-52中的q)是l与a内所有直线所成的角中最小的，我们把这个角叫做l与a所成的角，即：
斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角．
若一条直线与一个平面所成的角是直角，我们就说这条直线和平面垂直；若一条直线与一个平面所成的角是0°角，我们就说这条直线和平面平行或在平面内．
图5-53
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
例5 如图5-53，长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长分别为AB=1，AD=，AA1=3，求对角线AC1与底面ABCD的夹角．
解 因为CC1^底面ABCD，所以ÐC1AC就是对角线AC1与底面ABCD之间的夹角．因为
AC= ==，
CC1= AA1=3，
所以 tanÐC1AC===，
所以 ÐC1AC=60°，
即对角线AC1与底面ABCD的夹角为60°．
课内练习6
1. 过平面a外一点P，可以作多少条与a夹角为已知角q0的斜线？你能说出这些斜线的斜足在平面a内的轨迹是什么吗？
2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：
(1)A1C1与正方体各面所成的角的大小；
(2)D1B与面A1ADD1所成角的正切值．

小结：
作业：

x x 职 业 技 术 教 育 中 心
教 案

教 师 姓 名
x x
授课班级
12会计、通信
授课形式
新授
授 课 日 期
2013年 5 月 28 日 第 15 周
授课时数
4
授 课 章 节
名 称
§9.4平面和平面的位置关系
教 学 目 的
理解平面与平面平行的判定和性质
理解平面与平面垂直的判定和性质
理解二面角的概念及求值
会应用二面角的概念解决简单的实际问题
教 学 重 点
平面与平面平行的判定和性质
平面与平面垂直的判定和性质
两面角的概念
教 学 难 点
二面角平面角的确定
平面垂直结论的应用
更新、补充、删 节 内 容

使 用 教 具

课 外 作 业

课 后 体 会

复习引入：
新授：
1. 平面位置的基本关系
两个平面a, b的位置关系就只有两种：
(1)相交——此时必定相交成一条直线l；称l为交线；
(2)平行——即没有公共点，记作a∥b．
2. 平面与平面平行
(1)平面平行的判定
① 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
如图5-55，设l1Ì a，l2Ì a，l1 Çl2 ={O}，且l1∥b，l2∥b，那么a∥b．
图5-56
β
a
a
β
根据这个法则，还可以得到判断平面平行其它方法：
② 如果一个平面内有两条相交
直线，分别平行于另一个平面内的
两条直线，那么这两个平面平行
(如图5-56)．
③ 垂直于同一条直线的两个平面平行
画两个平面平行时，一般要使表示平面的两个平行四边形对应的对边分别平行．
图5-57
A
B
C
D
E
F
G
例1 如图5-57，E、F、G分别为空间四边形ABCD的边AB、AD及对角线AC上的中点，证明：平面EFG∥平面BCD．
证明

课内练习1
1．两个平面的位置关系有哪几种？
2. 判断题：
(1)若平面a内的一条直线与平面b平行，则a与b平行 ( )
(2)若平面a内的两条直线分别与平面b平行，则a与b平行 ( )
(3)若平面a内的无数条直线分别与平面b平行，则a与b平行 ( )
(4)若平面a内的任何一条直线都与平面b平行，则a与b平行 ( )
(5)过已知平面外一点，能作、且仅能作一个平面与已知平面平行 　　 ( )
(6)过已知平面外一条直线，必定能作与已知平面平行的平面 　　 ( )
(第4题图)
E
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
F
F1
E1
3. 若平面a∥平面b，能否说a内的任一直线都与b内的直线平行？能否说a内的任一直线都与b平行？
4. 如图，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1棱AB、CD、
A1B1、C1,D1上的中点，证明：平面ED1∥平面BF1．
(2)平行平面的性质
两个平行平面具有下面的性质：
如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
夹在两个平行平面间的平行线段相等．
课内练习2
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证平面A1BD∥平面CD1B1．
2. 证明横截一块长方体形状的木块，其截面不是矩形就是平行四边形．

3. 二面角和二面角的平面角
在开门时常说把门开大些或小些，实际上是指门所在平面与门框所在平面之间“角度”的大小．这个角度如何度量呢？ 现在我们给出平面交角的定义．
l
O
A
B
β
图5-60
a

平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l、两个面分别为a,b的二面角记为二面角a-l-b(图5-60)．
一个垂直于二面角a-l-b的棱l的平面，交l于点O，分别与两个半平面交于半直线OA, OB，则ÐAOB叫做二面角a-l-b的平面角．显然，平面角的大小与垂直平面的位置无关．所以二面角的大小可用它的平面角来度量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；在不会引起误解的场合，有时我们也简称二面角是多少度．

B
A
C
D
E
F
q
j
我们约定，二面角的度数不小于0°，不大于180°．
例2 在图的空间四边形ABCD中，由它们的边和对角线组
成的DABC, DADB, DADC和DBCD都是等边三角形．
(1)把每个三角形所在的面看作一个半平面，共组成了多少个二面
角？
(2)证明这些二面角均相等；
(3)求每个二面角的大小．
解
课内练习3
1. 在图5-61中，设DABC、DADB、 DADC为等腰直角三角形(ÐA=90°)，DBCD为等边三角形，
(1)证明以AB、AC、AD为棱的三个二面角彼此相等；以BC、CD、BD为棱的三个二面角也彼此相等；
(2)求这两组二面角的大小．

4. 平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
若两个平面相交形成的二面角是直二面角，则这两个平面叫做互相垂直．
图5-63
l
a
β
若平面a和平面b互相垂直，记作a^b．
图6-62
注意，在画两个互相垂直的平面时，为了加强直观效果，如果有一个是水平平面，则把直立平面的一组对边画成和水平平面的某一组对边垂直(见图5-62)．
下述方法经常用来判定两个平面垂直问题：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
如图5-63，直线l^a,lÌb，则a^b．
这个判定方法在实际经常见到．如将帆船甲板和帆都当作平面，桅杆就是甲板的垂线，我们可以认为帆与甲板是垂直的．又如用一端系有铅锤的线来检查墙是否和水平面垂直(如图5-64)，也是这个方法的应用．
例3 如图5-65，已知P是平面a外一点，PA^a，
垂足为A，BCÌa，PC^BC，证明平面PBC^平面PAC．
(2)垂直平面的性质
教室的墙面都是垂直于地面的，它们的交线墙角线自然也垂直于地面．这就是垂直平面的第一个性质：
①如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面．
图5-66
l
a
b
g
如图5-66，a、b、g为三个平面，若a^g, b^g，l=aÇb，则l^g．
在墙面上画一条线垂直于墙脚线，那么这条线必定
与地面垂直；反之，在地面上画一条线垂直于墙脚线，
这条线也与墙面垂直．这是垂直平面的又一个性质：
②如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
图5-67
a
l
b
m
n
如图5-67，a^b，aÇb＝l，mÌa, nÌb，若m^l，则m^b；
若n^l，则n^a．
例4 如图5-68，在空间四边形ABCD中，AC、BD为对角线．
若面DABD^面DBDC，AB^BD, CD^BD，AD=3, CD=4，
(1) 证明AB^BC；(2)求AC的长．
所以AC长为5．
课内练习4
1. 如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用直角曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一个边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢?
(第3题图)
b
E
a
A
B
C
D
2. 如果一条直线和一个平面不垂直,经过这条直线能否做一个平面与已知平面垂直?若能，这样的平面有几个?
3. 如图已知平面a^b, aÇb=AB；在平面b内，直线CD∥AB，CD到AB的距离为60cm．在平面a内，点E到AB的距离为91cm．求点E到CD的距离．

小结：
作业：

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