数学建模案例分析模糊数学方法建模股票反弹率的模糊聚类法.doc

§3 股票反弹率的模糊聚类法
将模糊集理论应用于聚类分析，便产生了模糊聚类法.
一、模糊聚类法介绍
若矩阵的各元素满足，则称为模糊矩阵.
设和为两个模糊矩阵，令

则称矩阵为模糊矩阵与的乘积，记为，其中和的含义为
，
显然，两个模糊矩阵的乘积仍为模糊矩阵.
设方阵为一个模糊矩阵，若满足，则称为模糊等价矩阵.模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲象乙，乙象丙，则甲象丙”这样的关系.
设为一个模糊等价矩阵，为一个给定的数，令

则称矩阵为的—截阵.
模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先计算变量间的相似系数矩阵（或样品间的距离矩阵），将其元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵，进一步改造成模糊等价矩阵，最后取不同的标准，得到不同的—截阵，从而可以得到不同的类.具体步骤如下：
1、计算相似系数矩阵或样品的距离矩阵
其中和的算法与第四章§4.7消费分布规律的分类中相同.
2、将（或）中的元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵
我们统一记为；例如对相似系数矩阵，可令

对于距离矩阵，可令

3、建立模糊等价矩阵
一般说来，上述模糊矩阵不具有等价性，这可以通过模糊矩阵的乘积将其转化为模糊等价阵，具体方法是：计算直到满足，这时模糊矩阵便是一个模糊等价矩阵.记.
4、聚类
将按由大到小的顺序排列，从开始，沿着由大到小的顺序依次取，求的相应的—截阵，其中元素为1的表示将其对应的两个变量（或样品）归为一类，随着的变小，其合并的类越来越多，最终当时，将全部变量（或样品）归为一个大类.
5、按值画出聚类图
二、应用举例—股票反弹率的模糊聚类法
从1975年1月至1976年12月对纽约证券交易所的五种股票（Allied Chemical, Du Pont, Union Carbide, Exxon, Texaco）的周反弹率进行100周的观察，其中周反弹率=（本周五收盘价-上周五收盘价）/上周五收盘价.由于在一般经济条件下，股票有集聚的趋势，因此各股票的周反弹率存在相关关系.设表示这五种股票的周反弹率，利用这100个样本观测值（原始数据略）求出样本相关系数矩阵为

此矩阵已经是模糊矩阵，故只需将它化成模糊等价阵.

同理可得，故为模糊等价矩阵，其元素按由大到小排列为

取，得其—截阵为

即这5种股票自成一类.
取，得其—截阵为

即在水平上，将{2}，{3}归为一类，此时共分为四类：{2，3}，{1}，{4}，{5}.
再依次取，，，分别得其—截阵为
，，
当时，将{1}，{2}，{3}归为一类，此时共分为三类：{1，2，3}，{4}，{5}.
当时，将{4}，{5}归为一类，此时共分为二类：{1，2，3}，{4，5}.
当时，将这5种股票归为一个大类.
画出聚类图如下：
1
0.58
2
0.60
3
0.46
4
0.52
5
3 / 3