初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案第4章习题答案.doc

第四章

1.简述函数概念的三种定义，并加以比较说明.
2.结合高等数学的学习，论述基本初等函数的性质.
3.证明满足性质：（1）；
（2）单调递简
的函数是一个以为底的指数函数。

4.求函数+的定义域。
5.证明函数是无界函数.

例7（奇偶性的应用）已知都是实数，且，求参数的一切取值，使方程组有唯一解。
解 因为，所以。这个函数显然是关于自变量的偶函数，由此可知，如果是方程组的解，那么也是方程组的解。
因为方程组有唯一解，所以，即。于是有，且方程组的解为。
反之，当时，方程组化为

如果，那么由方程（2）可知，代入方程（1），可得。
如果，则方程组有两组解：与。
如果，则方程组无解。
如果，则，这与条件矛盾。
因此，当时，当且仅当，方程组有唯一解。

5.证明不是周期函数.
6.函数不满足任何代数方程.
7.的解析式不可能是关于变数的代数式.
8.（图像的应用）根据参数，求方程的解的个数.
9.（单调性的应用）求数列
的最小项.
10.（有界性的应用）已知，解方程.
例17设函数的最小正周期为。试证：当为奇数时；当为偶数时。
证明 （1）当时，，根据定理4，是的一个周期。
再证是最小正周期。
假设有周期，且。则对于任意，总有

令，得
即
但是在区间内这样的不存在。因此是的最小正周期。
（2）当时，，因为是的最小正周期，所以也是的周期。
假设有周期，且。则对于任意，总有

令，得。在区间内这样的不存在。因此是的最小正周期。
例14作出函数的图像。
解 （1）函数的定义域是。
（2）奇偶性：函数是偶函数，图像关于轴对称，所以只须在内讨论。
（3）有界性：，函数图像在直线的上方。
（4）单调性：把分成和两个单调区间。
在上，是增函数，而也是增函数，而是减函数，从而也是减函数，它的函数值由递减到。
在内，是增函数，也是增函数，也是增函数，从而是增函数，它的函数值由递增到。
（5）特殊点：令，解得；令，得。图像经过和点。
当时，函数有极小值。
综上，可得函数在时的图像，再根据偶函数的对称性，作出的图像。

例17 利用函数的图像，作函数的图像。
解 因为，所以这两个函数关于轴对称，由函数图形，通过对称变换即可得到的图像。

11.简述利用APOS理论如何进行函数概念的教学。