第讲导数在研究函数性质中的应用及定积分.doc

个人收集整理 勿做商业用途 导数在研究函数性质中的应用(时间：10分钟35分钟)1函数yxex的图象在点（1,e)处的切线方程为(）Ayex Byx1e Cy2ex3e Dy2exe2已知函数f(x)图象如图41所示，(x）是f（x)的导数，则下列数值排序正确的是(）图41A0（2）(3)f(3)f（2) B0（3）f(3)f(2)(2）C0（3）（2)0，b0，且函数f（x）4x3ax22bx2在x1处有极值,则ab最大值等于(）A2 B3 C6 D91函数f（x)x3bx2cxd的大致图象如图43所示，则xx等于(）图43A。 B。 C. D。2函数f(x）在2，2上的最大值为2,则a的范围是（）A。 B. C（，0 D。3已知函数f（x)x3ax2bxc，若f（x)在区间(1，0）上单调递减，则a2b2的取值范围是(）A。 B。 C. D.4设函数f(x)是定义在R上的可导偶函数，且图象关于点对称，则f（1)f（2)f(22）f（2100)_。5.已知函数f(x)ex（x0)，其中e为自然对数的底数(1）当a2时，求曲线yf（x)在(1,f（1)）处的切线与坐标轴围成的面积；(2）若函数f(x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e5，求a6已知函数f（x）alnxx21.(1)若曲线yf(x)在x1处的切线方程为4xyb0，求实数a和b的值；（2)求证：f(x)0对任意x0恒成立的充要条件是 a2；(3）若a0，且对任意x1、x2（0,），都f(x1）f(x2)|x1x2|，求a的取值范围专题限时集训（四）A【基础演练】1D【解析】 因为yexxex，所以在点x1处函数的导数值是y|x1ee2e,所以在点(1,e）处函数图象的切线方程是ye2e(x1），即y2exe.2B【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在2,3上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率所以0f(3）f（2）,即0f(3)f（3)f(2)0，所以f(x)在（1,)上是增函数（2）f（x）(x0)，当x1,e，2x2a2a，2e2a若a2，则当x1，e时，f（x）0，所以f（x)在1，e上是增函数，又f(1)1，故函数f(x)在1，e上的最小值为1.若a2e2，则当x1,e时，f（x)0，所以f(x）在1,e上是减函数，又f(e)e2a,所以f（x）在1，e上的最小值为e2a.若2a2e2，则：当1x时,f（x）0，此时f(x)是减函数;当xe时，f（x）0，此时f（x）是增函数又fln，所以f（x)在1，e上的最小值为ln.综上可知，当a2时,f(x）在1，e上的最小值为1；当2a0恒成立且x2系数为正,f(x）在R上单调等价于x2（a2）xa20恒成立（a2)24（a2）0，2a2，即a的取值范围是2，2，（3)当a时,f(x）ex，f(x)ex，令f(x)0，得x或x1，令f（x）0，得x或x1，令f(x)0，得x0，b0，ab29，当且仅当ab3时,ab有最大值，最大值为9,故选D.1C【解析】 从函数图象上可知x1，x2为函数f(x）的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b,c，d,根据函数图象得d0，且f(1)1bc0,f（2)84b2c0，解得b1，c2，故f(x）3x22x2.根据韦达定理xx（x1x2）22x1x2.2D【解析】 当x0时，f(x）6x26x,函数的极大值点是x1，极小值点是x0，当x1时,f（x)2，故只要在0，2上eax2即可，即axln2在(0，2上恒成立，即a在（0,2上恒成立，故aln2.3C【解析】 根据三次函数的特点，函数f（x）在(1,0)上单调递减等价于函数f（x）的导数f(x)3x22axb在区间(1，0)上小于或者等于零恒成立，即32ab0且b0，把点(a,b）看作点的坐标,则上述不等式组表示的区域如下图根据a2b2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线32ab0的距离的平方40【解析】 根据函数图象关于对称,可得f（1x）f（x)2,由于函数是偶函数可得f（x1)f（x)2，进而得f(x）f（x1）2，由此得f（x1）f(x1）,进而f（x2）f（x）,即函数f(x）是以2为周期的函数，由于函数是可导偶函数,其中在x0的导数等于零，根据周期性，在x2，22，,2100处的导数都等于零再根据函数可导和f（x1)f(x）2，可得f(x1）f(x）0，令x1可得f（1）0.故所求的结果是0.5【解答】 (1）f（x）ex，当a2时，f（x）ex,f（1)e1e,f(1)e，所以曲线yf(x）在(1,f(1）处的切线方程为yex2e，切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，2e)，所以，所求面积为2|2e2e。（2）因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程x2axa0在（0，)内存在两个不等实根，则所以a4.设x1，x2分别为函数f（x)的极大值点和极小值点，则x1x2a，x1x2a，因为f(x1)f（x2)e5,所以，ex1ex2e5，即ex1x2e5，化简得eae5，解得a5，此时f(x）有两个极值点，所以a5.6【解答】 （1)f(x）2x(x0)，f(1)a2，又f(1）0，所以曲线yf（x）在x1处的切线方程为y(a2）（x1)，即(a2）xy2a0,由已知得a24，2ab，所以a6,b4.(2）证明：充分性:当a2时，f（x）2lnxx21，此时f（x)2x（x0），当00，当x1时,f(x)0，所以f（x）在(0,1）上是增函数,在（1，）上是减函数，f(x）f(1）0；必要性：f（x）2x(x0)，当a0时，f（x）0,f(x)在（0，）上是减函数,而f（1)0,故0x1时,f(x）0，与f（x）0恒成立矛盾，所以a0不成立，当a0时，f(x）(x0)，当0x时，f（x)0，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)fln1；因为f(1）0,又当a2时,1，ff(1）0与f0不符所以a2。综上，f(x)0对任意x0恒成立的充要条件是a2；（3)当a0时，f(x)0，f(x)在（0，）上是减函数，不妨设0x1x2，则f（x1）f（x2）|f（x1)f(x2),x1x2|x2x1，f（x1)f（x2)|x1x2|等价于f(x1）f(x2）x2x1，即f(x1)x1f（x2)x2,令g(x）f(x）xalnxx2x1，g(x)在（0，)上是减函数,g(x)2x1(x0)，2x2xa0在x0时恒成立，18a0，a,又a0,a的取值范围是.第 8 页 共 8 页