圆练习题(含参考答案).doc

圆的练习题
一．选择题
1．⊙O是△ABC的外接圆，直线EF切⊙O于点A，若∠BAF=40°，则∠C等于(  )

A、20°　   B、40°　   C、50°　   D、80°
2．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝，
PB＝1，那么∠APC等于(　　)
3．某工件形状如图所示，圆弧BC的度数为，AB＝6厘米，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝，则工件的面积等于(　　)
　　(A)4π　　(B)6π　　(C)8π　　(D)10π
4．下列语句中正确的是(　　)
　　(1)相等的圆心角所对的弧相等；
　　(2)平分弦的直径垂直于弦；
　　(3)长度相等的两条弧是等弧；
　　(4)经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
　　(A)1个             (B)2个             (C)3个             (D)4个
5．如图，两个等圆⊙O和⊙的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于(　　)
　　(A)　　(B)　　(C)　　(D)
6．如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是(　　)
(A)π　　(B)1.5π　　(C)2π　　(D)2.5π

7.在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝．如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S，那么S∶S(　　)
　　(A)2∶3　　(B)3∶4　　(C)4∶9　　(D)5∶12
8．圆锥的母线长为13cm,底面半径为5cm,则此圆锥的高线长为(　　)
　　A．6 cm 　　B．8 cm       C．10 cm          D．12 cm
9．已知⊙O1和⊙O2相外切，它们的半径分别是1厘米和3厘米．那么半径是4厘米，且和⊙O1、⊙O2都相切的圆共有(　　)
　　(A)1个             (B)2个             (C)5个             (D)6个
10．已知圆的半径为6.5厘米，如果一条直线和圆心距离为6.5厘米，那么这条直线和这个圆的位置关系是(　　)
　　(A)相交　　(B)相切　　(C)相离　　(D)相交或相离
二．填空题
1．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P，CD＝10cm，AP︰PB＝1︰5．则：⊙O的半径为        。
2．如图，⊙O1，⊙O2交于两点，点O1在⊙O2上，两圆的连心线交⊙O1于E，D，交⊙O2于F，交AB于点C。请你根据图中所给出的条件(不再标注其它字母，不再添加任何辅助线)，写出两个线段之间的关系式：(1)            ；(2)                 ；(半径相等除外)
3．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，AB=8cm，PD=2cm则CP=______cm。
4．两圆半径分别为5厘米和3厘米，如果圆心距为3厘米，那么两圆位置关系是_______。
5．相交两圆的公共弦长为6，两圆的半径分别为3、5，则这两圆的圆心距等于_____。
6．正六边形的半径为2厘米，那么它的周长为(　　)厘米。
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆并AB于D，则的度数是_________。
8．如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有        。

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD＝，则∠BCD＝     。
10．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为     。
三、如图，制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面各最大的圆，请画出该圆。

四．计算与证明
1．如图所示，某部队的灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A点2km的A处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？

2．如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径。
　　(1)请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD成等腰梯形，这个条件是         (只需填一个条件)。
　　(2)如果，请你设计一种方案，使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分，并给予证明。

3．已知：如图，△ABC内接于⊙O1，AB＝AC，⊙O2与BC相切于点B，与AB相交于点E，与⊙O1相交于点D，直线AD交⊙O2于点F，交CB的延长线于G．
求证：(1)∠G＝∠AFE； (2)AB·EB＝DE·AG．

4. 如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，
AD⊥BC于点D。
(1)若∠B=30°，问：AB与AP是否相等？请说明理由；
(2)求证：PD·PO=PC·PB；
(3)若BD∶DC= 4∶1，且BC=10，求PC的长.
5.已知，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E，若AC＝10，tan∠DAE＝，求DB和DE的长。

6．如图，已知AB是半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线．在上任取一点C(点C与A、B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D；过点C作CE⊥AB，垂足为E．连结BD，交CE于点F。
(1)当点C为的中点时(如图a)，求证：CF＝EF；
　　(2)当点C不是的中点时(如图b)，试判断CF与EF的相等关系是否保持不变，并证明你的结论。

7．已知：如图，⊙O2过⊙O1的圆心O1，且与⊙O1内切于点P，弦AB切⊙O2于点C，PA、PB分别与⊙O2交于D、E两点，延长PC交⊙O1于点F。
求证：(1)BC2＝BE·BP；　(2) ∠1＝∠2； (3)CF2＝BE·AP。

8．如图，已知：⊙O与⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于点E、F．EF与AC相交于点P。
　　求证：(1)PA·PE＝PC·PF； (2)；
　　　　　(3)当⊙O与⊙O′为等圆，且PC︰CE︰EP＝3︰4︰5时，求△ECP与△FAP的面积的比值。

参考答案
一.选择题
　　B、B、B、A、C、B、A、D、C、B。
二．填空题
　　1．3cm．　2.AC⊥EF，AC=BC，　3.8，　4.相交，　5.1或7
　　6.12厘米，7.＝50°,　8.4条，　9.，　10.∶∶1
三．略。
四．
1．（　提示：由条件点B在⊙A中内，要求点B到⊙A的最短距离，应连结AB，沿射线AB方向才能尽快驶离危险区）.
　解：该船应沿射线AB方向驶离危险区。
　证明：设射线AB与⊙A相交于点C，在⊙A上任取一点D（不包括C关于A的对称点），连结AD、BD。
　　在△ABD中，AB＋BD＞AD， 　　∵　AD＝AC＝AB＋BC，
　　∴　AB＋BD＞AB＋BC， 　　　　∴　BD＞BC．
2．证明：∵CD∥AB，CD=，
　　　∴，CD = AO， 　　　∴△CDO≌△AOD，      （5分）
　　　同理，△CDO≌△BOC，  （6分）
　　　∴S△AOD = S△BOC = S△CDO = S梯形ABCD . 
3．（1）连结BD．∵∠FEB＝∠FDB，∠FDB＝∠C．∴∠FEB＝∠C．
　　又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．
　　∴∠FEB＝∠ABC．∴EF∥CG，∴∠G＝∠AFE．
　（2）连结BF．∵∠ADE＝∠ABF，∠DAE＝∠BAF．
　　∴△ADE∽△ABF，∴．∵EF∥CG，
　　∴，∴．∴．
　　∵∠BEF＝∠ABC，∠ABC＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，
　　∴BE＝BF．∴．∴AB·EB．
4.解：（1）相等。连结AO，
　　　　∵PA是半圆的切线，
　　　　∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB，
　　　　∴∠AOB＝2∠B＝60°，∴∠APO＝30°，∴∠B＝∠APO，
　　　　∴AB＝AP.
　　（2）在Rt△OAP中，
　　　　∵AD⊥OP，　　∴PA2＝PD·PO　　∵PA是半圆的切线，
　　　　∴PA2＝PC·PB，　　∴ PD·PO＝PC·PB。
　　（3）∵BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，
　　　　∴BD＝8，CD＝2，
　　　　∴OD＝3　　　　∵OA2＝OD·OP，
　　　　∴25＝3×OP，∴OP＝，
　　　　∴PC＝
5．解：连结OD，
　　∵　四边形ABCD内接于⊙O， 　　∴　∠DAE＝∠DCB，
　　∵　AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，　∴　DB＝2DM，＝，
　　∴　∠1＝∠2，AD＝AB， 　　又　∠3＝2∠1，
　　∴　∠3＝∠BCD＝∠DAE．　∴　tan∠3＝tan∠DAE＝，
　　∵　AC＝10，　　∴　OD＝5，
　　在Rt△ODM中，设DM＝4x，得OM＝3x，
　　由勾股定理，得DM2＋OM2＝OD2．
　　∴（4x）2＋（3x）2＝52．　　取正数解，得x＝1，
　　∴　OM＝3x＝3，DM＝4x＝4，　　∴　DB＝2DM＝8．
　　∵　OM＝3，　　∴　AM＝OA－OM＝2．
　　在Rt△AMD中，由勾股定理，得AD＝＝2．
　　∵　ED是⊙O的切线，　　∴　∠EDA＝∠EBD
　　又　∠EDA为公用角，　　∴　△EDA∽△EBD．，
　　∴　＝＝，　　∴　EA＝DE．
　　∵　DE2＝EA·EB＝EA（EA＋AB）＝EA（EA＋AD）
　　　　　＝EA2＋EA·AD．
　　∴　DE2＝（ED）2＋DE·2．
　　解关于DE的方程，得DE＝．
6．证明：（1）∵　DA是切线，AB为直径，
　　∴　DA⊥AB， 　　∵　点C是的中点，且CE⊥AB，
　　∴　点E为半圆的圆心，又∵　DC是切线，
　　∴　DC⊥EC．　　又∵　CE⊥AB，
　　∴　四边形DAEC是矩形，　　∴　CDAD，
　　∴　＝＝．　　即　EF＝AD＝EC．
　　∴　F为EC的中点，CF＝EF．
　（2）CF＝EF，
　　证明：连结BC，并延长BC交AP于G点，连结AC，
　　∵　AD、DC　是半圆O的切线，　∴　DC＝DA，
　　∴　∠DAC＝∠DCA，　∵　AB是直径，
　　∴　∠ACB＝90°，　∴　∠ACG＝90°．
　　∴　∠G＋∠DAC＝∠DCA＋∠DCG＝90°．
　　∴　∠G＝∠DCG．　∴　在△GDC中，GD＝DC，
　　又∵　DC＝DA，　∴　GD＝DA，
　　∵　AP是半圆O的切线，
　　∴　AP⊥AB，又CE⊥AB，　∴　CE∥AP，
　　∴　＝＝．　又　GD＝AD，
　　∴　CF＝EF．
7．证明：（1）连结CE，
　　∵　BC是⊙O2的切线，
　　∴　∠2＝∠BCE，　　∵　∠B＝∠B，
　∴　△BCE∽△BPC，　　∴＝，
　　∴　BC2＝BE·BP．
　　（2）作⊙O2与⊙O1的公切线PM，
　　∵　∠MPC＝∠CEP，∠MPA＝∠B，
　　∴　∠1＝∠MPC－∠MPA＝∠CEP－∠B．
　　又　∠CEP－∠B＝∠BCE， 　　∴　∠1＝∠BCE．
　　又∵　AB切⊙O2于C， 　　∴　∠BCE＝∠2，　　∴　∠1＝∠2．
　　（3）连结O1P、O1E、O1C．
　　∵　P是切点，　　∴　O1P是⊙O2直径．
　　∴　O1E⊥PB．　　∴　BE＝EP．
　　同理．FC＝PC，
　　在△ACP和△CEP中．　　∵　AC是切线，
　　∴　∠ACP＝∠CEP，　　又　∠1＝∠2，
　　∴　△ACP∽△CEP，　　∴　，
　　∴　CF2＝AP·EP．　　∴　CF2＝AP·BE．
8.证明：（1）连结AB．
　∵　CA切⊙O′于A点，　　∴　∠CAB＝∠F．
　　又　∠CAB＝∠E，　　∴　∠E＝∠F．
　　又　∠EPC＝∠EPA，　　∴　△PEC∽△PFA，
　　∴　＝，　　∴　PA·PE＝PC·PF．
　　（2）在⊙O中，弦AC、BE相交于P点．
　　∴　PB·PE＝PA·PC，　　∵　PA·PE＝PC·PF，
　　①×②，得PE2·PB·PA＝PC2·PF·PA．
　　∴　．
　（3）连结AE，如图，
　　由△PEC∽△PFA，PC︰CE︰EP＝3︰4︰5，
　　∴　PA︰FA︰PF＝3︰4︰5，
　　设PC＝3x，CE＝4x，EP＝5x，PA＝3y，FA＝4y，PF＝5y．
　　则　EP2＝PC2＋CE2，PF2＝PA2＋FA2．
　　∴　∠C＝90°，∠CAF＝90°，
　　∴　AE为⊙O的直径，AF为⊙O′的直径．
　　又　⊙O与⊙O′为等圆，　　∴　AE＝AF＝4y．
　　∵　AC2＋CE2＝AE2．∴　（3x＋2y）2＋（4x）2＝（4y）2．
　　即　25x2＋18xy－7y2＝0，（25x－7y）（x＋y）＝0
　　∴　25x＝7y，x＝－y（舍去）．
　　∴　＝　　∴　S△ECP︰S△FAP＝x2︰y2＝49︰625．

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