电磁学部分模拟题解答.doc

1. 直角坐标系中点电荷电量为Q，坐标为，写出Q所产生的电场在空间任一点的电场强度。
解：画出坐标系及空间任一点，则该点相对于点电荷的位矢为 ，由点电荷Q产生的电场在P点处的场强分量为

该场强的方向沿方向：。
在求解给定具体坐标的特殊问题时，往往用分量形式直接计算更直观更方便，还不易出错。矢量形式固然很标准化很简洁（尤其是涉及到带有散度和旋度的微分方程），但一般只用于做基本证明和推导的过程，因为矢量方程与所取的任一坐标无关。

2. 一电偶极子的电偶极矩为，P点到偶极子中心的距离为r，与的夹角为，在时，求P点的电场强度在方向的分量和垂直于方向的分量。
解：在极坐标系下，设点相对于和的位矢分别为，，它们与的夹角分别为和，由点电荷的场强公式有
，，
在极坐标下，可以分解为：
，
其中，，，
，
又因为，在此近似下有
，，，
带入以上各式，化简得
，。
此种方法的关键在于灵活运用各坐标分量间的几何与近似关系。对于电偶极子的问题，联系电势一节的内容，我们可以做一些归纳，下面我们从最常用的直角坐标系出发，来推导电偶极子在空间任一点的电势及场强公式。
以偶极子两电荷连线中点为原点，以偶极矩方向为x轴方向取直角坐标系中任一点，由点电荷的电势叠加可得：
考虑到的条件，有，

上式右边经过二项展开，并略去的高阶项（二阶及以上），得

则 ，
则P点的偶极子势为

可写成矢量表达形式：
（*）
下面求电偶极子的电场强度：
由,将上式带入,有

其中，，，
则 （#）。
以上（*）和（#）式为偶极子的一般计算式。可以在具体的坐标系中直接带入计算。
变换到球坐标系中,由于轴对称性可知，与无关，则的分量为：
，

。
1. 计算的散度：
解：。

2. 如图所示，无限大带电层，且电荷密度，试求其产生的场强。
解：此题需分三个区域进行计算：取垂直于带电层的坐标OX。
（1），取到之间的带电平面，取单位面积的电荷面密度为，则，则该平面在处形成的电场强度为：
，
（负号代表取坐标负向。）
若，则 ；
（2），同理可得
（负号代表取坐标正向。）
若，则 ；
（3），对于带电层中间的区域，要注意和的情况不一样，故要进行分段积分：

若，则 。

3. 求无限长均匀带电柱体周围的场强，已知延高方向单位长度电荷密度为，圆柱底面半径为。
解：取半径为、高为的同轴圆柱面为高斯面，分以下两种情况考虑：
（1）时，由高斯定理，有

而，则
得
（2）当时，，同理得到 。

4. 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布，设球壳带电总量为，半径为。
解：以无穷远处作为电位零点，即,
由真空中带电球壳的场强分布：

根据电位的定义求解：
对于时，；
对于时，
。

5. 求无限大均匀带电平面（电荷面密度为）的电势分布。
解：确立原点在平面上的坐标OX，设空间任一点P位于处。
取为电位零点，由无限大均匀带电平面的场强公式，有

下面以的情况来讨论：
由电位定义有：。
本题中电位零点的取法很关键，注意到：求无限大带电体周围的电位时，不能取无穷远处为电位零点。

6. 一半径为的均匀带电圆面，电荷总量为，求轴线（OX）上的电位分布，并画出曲线。
解：在圆面上取的圆环，由于圆面的电荷面密度：
,故该圆环所带电量为：

而圆环在轴线上的电位分布可以根据电位叠加法，取圆环上的一段，取无穷远处为电位零点，由点电荷的电位公式：
，得圆环在轴线上的电位分布为：

现在将此电位作为圆面在轴线上电位的积分元，即令，，作圆面上半径的积分，可得整个圆面在轴线上的电位：
。
7. 电量均匀分布在长为的细直线上，求下列各处的电位：
（1） 中垂面上离带电线段中心O为处，并用梯度求；
（2） 延长线上离中心O为为处，并用梯度求；
（3） 通过一端的垂直面上离该点为处，并用梯度求。
解：根据题意，以O为原点中垂线所在直线作为x轴、延长线所在直线作为y轴建立坐标系，取无穷远处为电位零点。
（1） 求点的电位及：
设直线上的一段所带的电量为，由点电荷电位公式，它在点的电位为：

则整段直线在点的电位为：

则有 。
（2）求点的电位及：
线元的电量仍然为，由点电荷电位公式，它在点的电位为：

则整段直线在点的电位为：

则有 ,（＋号对应，—号对应）。
y
（3）求点的电位及：
2l
同样取线元，其电量仍然为
，由点电荷电位公式，
它在点的电位为：
r
P
O
x

则整段直线在点的电位为：

则有 。

r
l
-l
P

-2q
+q
+q
1. （P44.8）如图所示一种电四极子，由两个相同的电偶极子组成，这两偶极子在一直线上，当方向相反，它们的负电荷重合在一起。求延长线上离中心（即负电荷）为处的电场及电位分布。

解一：根据电场叠加原理，三个点的电荷在P处的场强：

由，上式可以用Tayler公式展开：
利用公式，并取二级近似，有

则 。
以上为一种常规方法——运用点电荷电场叠加原理。
下面介绍另一种方法，将电四极子看作两个电偶极子的组合问题，直接运用电偶极子的电势求解：
解二：由偶极子专题的分析，偶极矩为的电偶极子在空间任意一点P处的电位为： ，
注意这里的指的是中点到P点的位矢。
本题中的电四极子的电位可以用两个偶极子电位的叠加来表示：
，
现在同样用Tayler公式展开：
利用公式，并取二级近似，得

由 即得P点的场强。

①+q
②- q
l
2. 如图所示为另一种电四极子，设和都已知，P点到正方形的中心O距离为，与正方形的一对边平行，求P点的电场强度及电位分布。

x
l
l

③+q
④- q
P
l

解一：利用偶极子在中垂面上的场强分布：
将本题中的电四极子看作分别由①④和②③两个偶极子的组合，则有
偶极子①④在中垂线上P点的电场强度为：
，方向向下，
偶极子②③在中垂线上P点的电场强度为：
，方向向上，
则合场强：
由，上式可以用Tayler公式展开：
利用公式，并取二级近似，有

于是有 。
此题的扩展问题：考虑P点不在中垂面上，求解如下：
P(r, θ)
)
②- q
①+q
l

r
θ
l

O
极轴
l

④- q
③+q
l

解二：如图所示，在极坐标下P点的坐标，先考虑P点的电位：

由偶极子专题的分析，偶极矩为的电偶极子在空间任意一点P处的电位为： ，
同样这里的指的是中点到P点的位矢。
设P点相对于偶极子①④和②③的位矢分别为，对应的与极轴的夹角为分别为，，则有：

故
又由几何关系有 ，且
，，化简略去二阶小量得

由 即得P点的场强。

y
a
a
x
0
P(x,y)
3. 如图所示。两条均匀带电的无限长平行直线（与图纸垂直），电荷的线密度分别为，相距为，求空间任一点的电位。
解： 取坐标原点O点的电位为零，
即 。则根据无线长直导线
的电位分布公式，有：
导线在P点的电位为：

导线在P点的电位为：

在直角坐标系中，，，
所以P点的电位为：

本题要注意零电位的取法，对于无限的带电体，不能再取无限远处为零电位点。另外，几种典型模型（如无限大带电平面、无限长直导线、带电圆环、带电圆面、带电球面及带电球的电场强度和电位的分布要熟悉掌握，在处理具体问题的时候都可以直接运用它们的结果。）
8. 半径为的导体，带电量为，球内有两个半径分别为、的球心空腔，中心处有电荷、。计算导体球内、球外空间的电位和场强。
解：以无穷远处作为电位零点，即,
（1） 导体球外：离球心距离处的电位

由此得场强： ；
（2） 导体球上：即的电位为 ，
导体内部的场强 ；
（3） 空腔1内：假设离空腔球心距离处的电位为

由边界条件：时，得
由此得场强：；
（4） 空腔2内：同理假设离空腔球心距离处的电位为

由边界条件：时，得
由此得场强：。

9. 接地导体球（半径为），距球心为处有一点电荷。求空间电位分布。
解：此题参考上课时讲的例题。

10. 点电荷处在导体壳的中心，壳的内外半径分别为、，求场强的分布。并画出和曲线。
解：根据题意，导体达到静电平衡时，导体内的场强为零，导体为等势体，在的导体面上均匀分布电量为的感应电荷，的导体面上均匀分布电量为的感应电荷。
（1） 考虑的区域时，导体内部的电荷对外部电场没有影响，
该区域的电场只由导体外表面的电荷产生，则

故 ；
（2）考虑的区域，，电位如下：

（3）考虑的区域时，假设电位为

则由边界条件：时
可得
故
由此可得 。
11. 一球形电容器内外两壳的半径分别为、，现在两壳之间放一个内外半径分别为、的同心导体球壳。
（1） 给内壳充以电量，求和两壳的电位差；
（2） 求电容（即以和为两极的电容）。
解：（1）当内壳充电时，由于导体的静电感应作用，、、各球面上分别均匀分布电量为、、的感应电荷，故取半径为的同心球面为高斯面，由高斯定理可以算出不同区域的场强分布：

则和两壳的电位差：
；
(2) 由电势差和极板带电量可得电容：
。

12. （P17114题）收音机里用的可变电容如13题图所示其中共有个金属片。每片形状如14题图所示；相邻两片间的距离都是，当动片转到两组片之间的夹角为时，证明：当较大时，略去边缘效应，它的电容为
（其中以度为单位）；
同时运用虚功原理求电容器极板绕轴旋转时的转矩。
解：将此可变电容器视为个平板电容器的并联组合，每个小电容器的电容为：,总的电容为 。
若已知，则有
，得证；
现在求转矩：
由电容器的储能公式 ,根据虚功原理设想极板转动角度为一小量时，能量变化,其中的对应，

设极板的转矩为，则有，由上式可得：
。

13. 一平行板电容器两极板相距为2.0mm，电位差为400伏，其间充满了介电常数的玻璃片。略去边缘效应，求玻璃表面上极化电荷的面密度。
解：由题意已知，则可以求出平板电容器中的场强：，
而极化强度矢量 ，
故极化电荷面密度 。

14. 平行板电容器两极极板3.0cm，其间放有一层的介质，位置和厚度如图所示（P202页习题8的图），已知极板上面电荷密度为
，略去边缘效应，求：
（5） 极板间各处的、、；
（6） 极板间各处的电位（设）；
（7） 已知极板面积为0.11米2,求电容,并与不加介质时的电容比较。
解：（1）分区域讨论：
① 对于电介质外极板间的区域，即和时，
显然有，
场强
电位移 ；
② 对于电介质内部区域，即时，由高斯定理得
场强
（2）讨论取不同区域极板间的电位：
① 时，由于是常数，故
；
② 时，，而

③ 时，，
；
（3）电容
而
由此可得 。

15. 一半径为的导体球带电荷，球外有一层同心球壳的均匀介质，其内外半径分别为和，介电常数为。求：
（1） 介质内外的电场强度和电位移；
（2） 介质内的极化强度和表面的极化电荷密度；
（3） 介质内的极化电荷体密度。
解：（1）取半径为的同心球面为高斯面，由高斯定理，可得

由此可得 ；
（2）在介质内部，由,得
；
由，分别求介质内外表面的极化面密度：
内表面：
外表面：
（4） 由。

16. 圆柱形电容器是由半径为的导线和与它同轴的导体圆筒构成，圆筒内半径为，长为，其间充满了介电常数为的介质。设
沿轴线单位长度上，导线的电荷为，圆筒的电荷为，略去边缘效应。求：
（1） 两极的电位差；
（2） 介质中的电场强度、电位移、极化强度；
（3） 介质表面的极化电荷面密度；
（4） 电容。（它是真空时电容的多少倍？）
解：取半径为的同轴柱面为高斯面，根据高斯定理，
，即,则有；
于是 ,
且
两极板间的电压 ；
由，分别对内部介质的极化面密度进行讨论：
：
： ;
该电容器的电容为 ，
由此可得与真空中电容的比值为： 。

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