Hom-3-Lie代数上的积结构和复结构_秦宇帆.pdf

第 30 卷第 2 期2023 年 4 月海南热带海洋学院学报Journal of Hainan Tropical Ocean UniversityVol 30 No 2Apr 2023收稿日期:2023 01 13基金项目:国家自然科学基金青年科学基金项目(12201624)第一作者:秦宇帆，女，山西运城人，助教，硕士，研究方向为李代数。通信作者:林洁，女，天津人，副教授，博士，研究方向为李理论中 3 元代数系统。Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构秦宇帆1，林洁2a，姜敬敬2b(1 新疆理工学院 理学院，新疆 阿克苏 843100;2 中国民航大学 a 中欧航空工程师学院;b 理学院，天津 300300)摘要:为了研究 Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构，利用类似于研究3-Lie 代数的方法及相关 Lie 代数理论，给出了 Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构存在的充要条件，得到了 4 类特殊的积结构和复结构，并在积结构和复结构间加了一个相容性条件，从而引进了 Hom-3-Lie 代数上的复积结构。关键词:Hom-3-Lie 代数;Hom-Nijenhuis 算子;积结构;复结构;复积结构中图分类号:O152 5文献标识码:A文章编号:2096 3122(2023)02 0101 08DOI:10 13307/j issn 2096 3122 2023 02 120引言1985 年，Filippov1 引进了 n-Lie 代数。n 元 Lie 积是 n-线性、反对称的，并且满足一个广义的 Jacobi 恒等式。1973 年，Nambu2 引进了 Nambu 括号，Nambu 括号在物理领域应用广泛。当 n=3 时，3 元 Lie 积是Nambu 括号的一种特殊情形，3-Lie 代数应用于多重 M2-膜的 world-volume 理论的超对称和正规对称变换的研究，而且 3-Lie 代数在数学、数学物理的很多领域扮演重要角色3 4。Hom-3-Lie 代数5 是一类 Hom-型代数，是在 3-Lie 代数的基础上通过变形得到的。Hom-3-Lie 代数是由一个向量空间 g，一个线性映射 gg 和一个 3 元斜对称运算，g组成的，其中这个 3 元斜对称运算满足一个 Hom-Jacobi 恒等式。当 =I(恒等变换)时，Hom-Jacobi 恒等式变为普通的 Jacobi 恒等式，并且(g，g)是一个 3-Lie 代数。这些结构在代数、几何和数学物理等领域有重要作用6 7。Lie 代数上的 Nijenhuis 算子可以生成它的平凡形变，并且在非线性演化方程的可积性研究中起重要作用8。2016 年 Liu 等9 给出了 n-Lie 代数上的 Nijenhuis 算子。2019 年 Song 等10 给出了 n-Hom-Lie 代数上的 Hom-Nijenhuis 算子。而 Lie 代数上的积结构和复结构可以看成是特殊的 Nijenhuis 算子，许多学者在这方面做了系统的研究11 15。特别地，Sheng 等学者16 引进了 3-Lie 代数上的(几乎)积结构和(几乎)复结构。Peyghan 等17 研究了 Hom-Lie 代数上的(几乎)积结构和(几乎)复结构;他们随后在积结构和复结构间添加一个相容性条件，引进复积结构16 17。本研究使用的向量空间都是特征 0 的代数闭域上的向量空间，目的是类比 3-Lie 代数方法研究 Hom-3-Lie 代数上的积结构、复结构和复积结构。1 预备知识下面介绍用到的基本概念和结论。定义 16 377设 g 是向量空间，g g g gg 是 3 线性斜对称运算，gg 是线性映射且对任意 x，y，u，v，wg 有(x)，(y)，u，v，wgg=x，y，ug，(v)，(w)g+(u)，x，y，vg，(w)g+(u)，(v)，x，y，wgg，101第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报则称(g，g，)是 Hom-3-Lie 代数，称上述等式是 Hom-Jacobi 恒等式。若还满足 2=I，则称(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数;若对x，y，zg 有(x，y，z)g)=(x)，(y)，(z)，g，则称(g，g，)是保积 Hom-3-Lie 代数。定义26 377设(g，g，)是 Hom-3-Lie 代数，L 是 g 的在 下不变的子空间，若对任意 u，v，wL 有 u，v，wLL，则称 L 是 g 的 Hom-3-Lie 子代数。定义 310 74设(g，g，)是 Hom-3-Lie 代数，N gg 是一个线性映射。若有N =N，且对任意 x，y，zg，有(N )(x)，(N )(y)，(N )(z)g=(N )(N )(x)，(N )(y)，zg)+(N )(x，(N )(y)，(N )(z)g)+(N )(N )(x)，y，(N )(z)g)(N )2(N )(x)，y，zg(N )2(x，(N )(y)，zg)(N )2(x，y，(N )(z)g)，则称 N 是 Hom-Nijenhuis 算子。2 Hom-3-Lie 代数上的积结构本章中，首先类似于 3-Lie 代数，引进了对合 Hom-3-Lie 代数上的积结构的概念;然后给出了积结构存在的一个充要条件;最后分别研究了 4 类特殊的积结构:严格积结构、abelian 积结构、强 abelian 积结构和完全积结构。定义 4设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，E 是 g 上的线性映射。如果 E 满足 E2=I(E aI)和 E =E，则称 E 是(g，g，)上的几乎积结构。设 E 是(g，g，)上的几乎积结构，如果对任意 x，y，zg 有(E )(x，y，zg)=(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)，(1)则称 E 是(g，g，)上的积结构。注 1对合 Hom-3-Lie 代数上的积结构恰好是满足(N )2=I 的 Hom-Nijenhuis 算子。定理 1设(g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则(g，g，)有积结构当且仅当 g有分解:g=g+g，其中 g+，g是 g 的子代数。证明设 E 是(g，)上的积结构。由(E )2=I 有 g=g+g，其中 g+，g分别是E 的对应于特征值 1 和 1 的特征子空间。对任意 x，y，zg+有(E )(x，y，zg)=(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)=4 x，y，zg3(E )(x，y，zg)，此外，由 E =E 知 E (x)=E(x)=(x)因此有(x，y，zgg+，(x)g+，这意味着g+是 g 的子代数。类似地，可证明 g是 g 的子代数。反过来，假设 E 是由下式定义的 g 上的自同态:(E )(x+y)=x y(xg+，yg)，(2)则显然有(E )2=I。由 g+，g是 g 的子空间可知 E(x+y)=(E )(x+y)=x y=(E )(x+y)，所以有 E =E，从而有 E2=I。另外对任意有 x，y，zg+有(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)+201秦宇帆等:Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构2023 年第 2 期(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=4 x，y，zg3(E )(x，y，zg)=(E )(x，y，zg)，这意味着对任意 x，y，zg+有式(1)成立。类似地，可证明对任意 x，y，zg也有式(1)成立。因此，E 是(g，)上的积结构。接下来，主要研究 Hom-3-Lie 代数上的4 类特殊积结构:严格积结构，abelian 积结构，强 abelian 积结构和完全积结构。命题 1设 E 是对合 Hom-3-Lie 代数(g，)上的几乎积结构。若 E 满足(E )(x，y，zg)=(E )(x)，y，zg(x，y，zg)，(3)则 E 是(g，)上的满足 g+，g+，gg=0 和 g，g，g+g=0 的积结构。证明由式(3)和(E )2=I 有(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )2(x)，(E )(y)，zg)(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g)(E )2(x)，y，(E )(z)g)+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=(E )(x，y，zg)，因此，E 是(g，)上的积结构。对任意 x1，x2g+，y1g，一方面，有(E )(x1，x2，y1g=(E )(x1)，x2，y1g=x1，x2，y1g;另一方面，(E )(x1，x2，y1g)=(E )(y1，x1，x2g)=(E )(E )(y1)，x1，x2g=x1，x2，y1g;因此得到 g+，g+，gg=0。类似地有 g，g，g+g=0。定义 5如果对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构 E 满足式(3)，那么称 E 为(g，g，)上的严格积结构。推论 1设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在严格积结构当且仅当 g 有分解:g=g+g，其中 g+和 g是 g 的子代数使得 g+，g+，gg=0 和 g，g，g+g=0。命题 2设 E 是对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构。若对任意 x，y，zg 有 x，y，zg=x，(E )(y)，(E )(z)g (E )(x)，(E )(y)，zg(E )(x)，y，(E )(z)g，(4)则 E 是(g，g，)上的积结构。证明由式(4)和(E )2=I 可知(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g(E )(E )(x)，(E )(y)，zg)(E )(x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(E )(x)，y，(E )(z)g)+(E )(x)，y，zg+x，(E )(y)，zg+x，y，(E )(z)g=(E )(x)，(E )2(y)，(E )2(z)g(E )2(x)，(E )(y)，(E )2(z)g)(E )2(x)，(E )2(y)，zg)+(E )(x)，y，zg)+x，(E )(y)，zg)+x，y，(E )(z)g+(E )x，y，zg=(E )x，y，zg，因此 E 是(g，g，)上的积结构。定义 6如果对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构 E 满足式(4)，则称 E 为(g，g，)上的 abelian 积结构。推论 2设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在 abelian 积结构当且仅当 g 有分解:g=g+g，其中 g+和 g是的 abelian 子代数。证明设 E 是(g，g，)上的 abelian 积结构，对任意 x，y，zg+有 x，y，zg=x，(E )(y)，(E )(z)g)(E )(x)，(E )(y)，zg301第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报(E )(x)，y，(E )(z)g)=3 x，y，zg，这意味着 x，y，zg=0。类似地，对任意 x1，y1，z1g也有 x1，y1，z1g=0。因此 g+和 g是 abelian 子代数。反过来，定义自同态 E gg 如式(2)，可直接验证 E 是(g，g，)上的 abelian 积结构。命题 3设 E 是对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构。若 E 满足下列等式 x，y，zg=(E )x，y，(E )(z)g)+(E )x，(E )(y)，zg+(E )(E )(x)，y，zg，(5)则 E 是(g，g，)上的满足 g+，g+，ggg+和 g，g，g+gg的 abliean 积结构。证明用类似命题 2 的方法可证。定义 7如果对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构 E 满足式(5)，则称 E 为(g，g，)上的强 abelian 积结构。推论 3设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在强 abelian 积结构当且仅当 g 有分解:g=g+g，其中 g+和 g是 g 的 abelian 子代数使得g+，g+，ggg+和(g，g，g+gg成立。命题 4设 E 是对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构。若 E 满足下列等式(E )(x，y，zg)=(E )(x)，(E )(y)，(E )(z)g，(6)则 E 是(g，g，)上的积结构，且满足 g+，g+，ggg和 g，g，g+gg。证明用类似命题 2 的方法可证。定义 8如果对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎积结构 E 满足式(6)，则称 E 为(g，g，)上的完全积结构。推论 4设(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在完全积结构当且仅当 g 有分解:g=g+g，其中 g+和 g是的子代数使得 g+，g+，ggg和 g，g，g+gg+。推论 5对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的严格积结构是完全积结构。例1考虑底空间R4上的4 维 Hom-3-Lie 代数(g，g，)，假设有一组基 e1，e2，e3，e4 满足 e1，e2，e3g=e4，e1，e2，e4g=e3，e1，e3，e4g=e2，e2，e3，e4=e1，(e1)=e1，(e2)=e2，(e3)=e4。可直接验证(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数。而且E1=1000010000100001，E2=1000010000100001，E3=1000010000100001，E4=1000010000100001是完全积结构，也是 abelian 积结构。3 Hom-3-Lie 代数上的复结构在本章中，首先给出实对合 Hom-3-Lie 代数上的复结构的定义;然后讨论并给出该代数上的复结构的复化，并且类似于积结构，给出 4 类特殊的复结构;最后给出这个代数上的复结构的例子。定义 9设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，J 是 gg 的自同态。若 J 满足 J2=I 和J =J，则称 J 是(g，g，)上的几乎复结构。设 J 是几乎复结构，若对任意 x，y，zg 有(J )(x，y，zg)=(J )(x)，(J )(y)，(J )(z)g+(J )(x)，y，zg+x，(J )(y)，zg+x，y，(J )(z)g+(J )(x，(J )(y)，(J )(z)g+(J )(J )(x)，y，(J )(z)g+(J )(J )(x)，(J )(y)，zg，(7)则称 J 是(g，g，)上的复结构。注 2实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的复结构 J 恰好是满足(J )2=I 的 Hom-Ni-jenhuis 算子。定义实 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的复化 gC=x+iy|x，yg，且对任意 x，yg，令401秦宇帆等:Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构2023 年第 2 期C(x+iy)=(x)+i(y)，则(gC，gc，c)是复 Hom-3-Lie 代数。对任意 x，yg 定义(x+iy)=x iy，则 是复向量空间 gC上的复反线性对合自同构。注 3设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，J 是(g，g，)上的复结构。定义JC gCgC，JC(x，iy)=J(x)+iJ(y)，则 JC是 gC上的复自同态且满足 J2C=I，JC C=C JC以及式(7)，因此 JC是复 Hom-3-Lie 代数(gC，gC，C)上的复结构。考虑 gi=wgC|(JC C)(w)=iw=x i(J )(x)|xg 和g i=wgC|(JC C)(w)=iw=x+i(J )(x)|xg，有下面命题。命题 5设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，J 是(g，g，)上的复结构，则有1)gC=gig i;2)(gi)=g i。证明1)设 w=u+ivgC，其中 u，vg。令w1=12(u i(J )(u)+i(v i(J )(v)，w2=12(u+i(J )(u)+i(v+i(J )(v)，则有 w=w1+w2，w1gi，w2g i因此有 gC=gi+g i。如果 w=gig i，即存在 vg 使 w=u i(J )(y)，w=v+i(J )(v)，则有 w=0。所以 gig i=0。综上有 gC=gig i。2)显然有(gi)=g i。命题 6设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构，则下列条件等价。1)gi是 Hom-3-Lie 子代数，即 gi，gi，gigCgi，C(gi)gi;2)g i是 Hom-3-Lie 子代数，即 gi，g i，g igCg i，C(g i)g i;3)J 是(g，g，)上的复结构。证明首先证明 1)等价于 2)。假设 1)成立。设 x，y，zg i根据命题 5 知存在 x1，y1，z1gi使得x=(x1)，y=(y1)，z=(z1)成立。因此有(x1，y1，z1gC)=(u i(J )(u)，v i(J )(v)，w i(J )(w)gC)=(J )(u)，v(J )(w)g u，(J )(v)，(J )(w)g (J )(u)，(J )(v)，wg+u，v，wg+i(u，w，(J )(w)g+u，(J )(v)，wg+(J )(u)，v，wg)i(J )(u)，(J )(v)，(J )(w)g=(x1)，(y1)，(z1)gC。根据 x1，y1，z1gCgi和命题 5 可知(x1，y1，z1gCg i。因此 x，y，zgC=(x1)，(y1)，(z1)gCg i，而且，由于 C(x1)gi，则有C(x1)=C(x1)=Cg i，所以由 1)可推出 2)。同理由 2)可推出 1)。因此 1)等价于 2)。下证 2)等价于 3)。由 3)可得 C(g i)g i设 u，v，wg，则有 u+i(J )(u)，v+i(J )(v)，w+i(J )(w)gCg i，而且有(JC C)(u+i(J )(u)，v+i(J )(v)，w+i(J )(w)gC+i u+i(J )(u)，v+i(J )(v)，w+i(J )(w)gC)=(JC C)u，v，wg(JC C)(J )(u)，v，(J )(w)g(JC C)u，(J )(v)，(J )(w)g(JC C)(J )(u)，(J )(v)，wg u，(J )(v)，wg (J )(u)，v，wg u，v，(J )(w)g+(J )(u)，(J )(v)，(J )(w)g i(JC C)(JC C)u，v，wg(JC C)(J )(u)，v，(J )(w)g(JC C)u，(J )(v)，(J )(w)g(JC C)(J )(u)，(J )(v)，wg u，(J )(v)，wg (J )(u)，v，wg u，v(J )(w)g+(J )(u)，(J )(v)，(J )(w)g)，501第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报故 u+i(J )(u)，v+i(J )(v)，w+i(J )(w)gCg i当且仅当式(7)成立。所以 2)等价于 3)。命题 7设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构。若对任意 x，y，zg，有(J )(x，y，zg)=(J )(x)，y，zg，(8)则 J 是(g，g，)上的复结构。定义 10设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构。若式(8)成立，则称 J为严格复结构。推论 6设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在严格复结构当且仅当 gC有子代数分解:gC=qp，其中 q 和 p=(q)均是 gC的复子代数。命题 8设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构。若对任意 x，y，zg，有 x，y，zg=x，(J )(y)，(J )(z)g+(J )(x)，(J )(y)，zg+(J )(x)，y，(J )(z)g，(9)则是(g，g，)上的复结构。定义 11设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构。若式(9)成立，则称 J为(g，g，)上的 abelian 复结构。推论 7设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在 abelian 复结构当且仅当 gC有分解:gC=qp，其中 q 和 p=(q)均是 gC的复 abelian 子代数。命题 9设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构。若对任意 x，y，zg，有 x，y，zg=(J )x，y，(J )(z)g(J )x，(J )(y)，zg(J )(J )(x)，y，zg，(10)则 J 是(g，g，)的复结构。定义12设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构。若式(10)成立，则称 J为(g，g，)上的强 abelian 复结构。推论 8设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在强 abelian复结构当且仅当 gC有分解:gC=qp，其中 q 和 p=(q)均是 gC的复 abelian 子代数且有 q，q，pgCq和 q，q，pgCq 成立。命题 10设 J 是命题 9 中的实对合 Hom-3-Lie 代数上的几乎复结构。若对x，y，zg 有(J )(x，y，zg)=(J )(x)，(J )(y)，(J )(z)g，(11)则 J 是(g，g，)上的复结构。定义13设 J 是实对合 Hom-3-Lie 代数(g，g，)上的几乎复结构。若式(11)成立，则称 J为(g，g，)上的完全复结构。推论 9设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，则在(g，g，)上存在完全复结构当且仅当 gC有分解 gC=qp，其中 q 和 p=(q)均是 gC的复子代数且有q，q，pgCp 和 q，q，pgCq成立。推论 10实对合 Hom-3-Lie 代数上的严格复结构是完全复结构。类似于上一章，给出 Hom-3-Lie 代数上的复结构的例子。例 2考虑R4上的 4 维 Hom-3-Lie 代数(g，g，)。假设有一组基 e1，e2，e3，e4 满足 e1，e2，e3g=e4，e1，e2，e4g=e3，e1，e3，e4g=e2，e2，e3，e4g=e1，(e1)=e1，(e2)=e2，(e3)=e3，(e4)=e4，可直接验证(g，g，)是对合 Hom-3-Lie 代数。则J1=0010000110000100，J2=0100100000010010，J3=0100100000010010，601秦宇帆等:Hom-3-Lie 代数上的积结构和复结构2023 年第 2 期J4=0100100000010010，J5=0100100000010010，J6=0010010110000100是 abelian 复结构，而且 J1，J4是强 abelian 复结构，J2，J3，J4，J5是完全复结构。4 Hom-3-Lie 代数上的复积结构在本章中，通过在 Hom-3-Lie 代数的积结构和复结构间添加一个相容性条件，引进 Hom-3-Lie 代数上的复积结构。命题 11设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，则 E 是(g，g，)上的积结构当且仅当 J=iE 是(g，g，)上的复结构。证明设 E 是(g，g，)上的积结构，故 J2=i2E2=I。且由 E =E 有 J =J。因此 J 是(g，g，)上的几乎复结构。又 E 满足式(1)，所以对任意 x，y，zg 有 (J )(x)，(J )(y)，(J )(z)g+(J )(x)，y，zg+x，(J )(y)zg+x，y，(J )(z)g+(J )(x，(J )(y)，(J )(z)g)+(J )(J )(x)，y，(J )(z)g)+(J )(J )(x)，(J )(y)，zg)=i(E )(x)，i(E )(y)，i(E )(z)g+i(E )(x)，y，zg+x，i(E )(y)，zg+x，y，i(E )(z)g+i(E )(x，i(E )(y)，i(E )(z)g)+i(E )(i(E )(x)，y，i(E )(z)g)+i(E )(i(E )(x)，i(E )(y)，zg)=i(E )(x，y，zg)=(J )(x，y，zg)，因此，J 是(g，g，)上的复结构。反过来可类似证明。定义 14设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，J 和 E 分别是(g，g，)上的复结构和积结构。若有 J E=E J 成立，则称(J，E)是(g，g，)上的复积结构。若 E 是完全积结构，则称(J，E)是(g，g，)上的完全复积结构。定理 2设(g，g，)是实对合 Hom-3-Lie 代数，J 和 E 分别是(g，g，)上的复结构和积结构，则(J，E)是(g，g，)上的复积结构当且仅当(J )g+=g，其中 g+，g分别是 E 的对应于特征值 1 和 1 的特征向量。证明设(J，E)是(g，g，)上的复积结构，由定理 1 可知 g=g+g，其中 g+，g分别是E 的对应于特征值 1 和 1 的特征子空间。进而对任意 xg+有(E )(J )x)=E J 2(x)=J E(x)=(J )(E )x)=J(J )x，这意味着(J )(g+)g。类似地，有(J )(g)g+。因此(J )(g+)=g。反过来，对任意 xg+，yg有E(J(x+y)=E(J 2(x+y)=(E )(J )x+(J )y)=(J )x+(J )y=(J )(E )(x+y)，则(J，E)是(g，g，)上的复积结构。例 3分别考虑例 1 和例 2 给出的积结构和复结构，则(E1，J1)，(E2，J6)是(g，g，)上的复积结构。参考文献:1FILIPPOV V T n-Lie algebras J Siberain mathematical journal，1985，26:879 2NAMBU Y Generalized Hamiltonian dynamics J Physical review D，1973(8):2405 3TAKHTAJAN L On foundation of the generalized Nambu mechanics J Communications in mathematical physics，1994(2):295 4BAGGER J，Lambert N Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2-branes J Physical review D，2008(6):215 5ATAGUEMA H，MAKHLOUF A，SILVESTROV S Generalizetion of n-ary Nambu algebras and beyond J Journal of mathe-701第 30 卷第 2 期海南热带海洋学院学报matical physics，2009(8):1650 6LIU Y，CHEN L Y，MA Y Representations and module-extensions of 3-hom-Lie algebras J Journal of geometry and physics，2015，98 7陈明，易阳，唐玉玲，等 Hom-李三系的若干性质 J 海南热带海洋学院学报，2020(2):47 8DORFMAN I Dirac structures and integrability of nonlinear evolution equations M Chichester:John wiley sons，1993 9LIU J F，SHENG Y 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