(公开课)定积分在几何中的应用-.ppt

定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 利用定积分求面积（一）.(2)xyoabc(3)(1)xyo类型类型1 1：求由一条曲线求由一条曲线y=f(x)y=f(x)和直线和直线x=a,x=b(ab)x=a,x=b(ab)及及x x轴所围成平面图形的面积轴所围成平面图形的面积S S1.1.几种典型的平面图形面积的计算：几种典型的平面图形面积的计算：一一、新课讲解、新课讲解s1s2.思考思考上述图形变换成右侧所示的曲边梯形，面积应该上述图形变换成右侧所示的曲边梯形，面积应该如何表示？如何表示？积分变量就由x转变为y,此时，被积函数y=f(x)就要转化为x=f（y)(2)(1)xyoaxyoxyby=f(x).类型类型2 2：由两条曲线由两条曲线y=f(x)y=f(x)和和y=g(x)y=g(x),和和直线所围成平直线所围成平面图形的面积面图形的面积S Sab xyy=f(x)ooabxyy=g(x)+yxoba(2)(1)s1s2xyOabABCDy=f(x)y=g(x).例题讲解例题讲解ABCDO解解:作出作出y y2 2=x,y=x=x,y=x2 2的图象如图所示的图象如图所示:即两曲线的交点为即两曲线的交点为(0,0),(1,1)(0,0),(1,1).(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围(积积分的上限分的上限,下限下限)（3 3）写出平面图写出平面图形面积形面积的定积分表达式；的定积分表达式；2.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(4)(4)运用微积分基本定理计算定积分，运用微积分基本定理计算定积分，求出面积求出面积的值的值。.研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效（-3,5）（2,0）.研一研研一研问题探究、课堂更高效问题探究、课堂更高效由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢探究点探究点三三分割型图形面积的求解分割型图形面积的求解？问题问题.例例2.2.计算由曲线计算由曲线 直线直线y=x-4y=x-4以及以及x x轴围成轴围成 图形的面积图形的面积.解解:作出作出y=x-4,y=x-4,的图象如图的图象如图所示所示:解方程组：解方程组：得：得：直线直线y=x-4y=x-4与与 交点为交点为(8(8，4)4)因此，所求图形的面积为一个曲因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一边梯形与一个个三角形面积之差：三角形面积之差：本题还有其他解法吗？本题还有其他解法吗？y=x-4y=x-4（8,4）.解法二解法二 采用分割的方法采用分割的方法只只需要把函数需要把函数y=x-4y=x-4变形为变形为x=y+4x=y+4，函数函数 变形为变形为解法三解法三（变换积分变量）（变换积分变量）：例例2.2.计算由曲线计算由曲线 直线直线y=x-4y=x-4以及以及x x轴围成轴围成 图形的面积图形的面积.S1S2.AB解法解法1：思考：思考：计算由曲线计算由曲线 直线直线y=x-4y=x-4以及以及x x轴围成图形的面积轴围成图形的面积.采用分割的方法采用分割的方法y=x-4y=x-4S2S1S1.AB解法2：思考：思考：计算由曲线计算由曲线 直线直线y=x-4y=x-4以及以及x x轴围成图形的面积轴围成图形的面积.则y2=2x就变换为y=x-4就变化为x=y+4（变换积分变量）（变换积分变量）.1.思想方法思想方法:数形结合及转化数形结合及转化.2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)(1)作出示意图作出示意图;(;(弄清相对位置关系弄清相对位置关系)(2)(2)求交点坐标，确定图形范围求交点坐标，确定图形范围(积分的上限积分的上限,下限下限)(3)(3)写出平面图形写出平面图形面积面积的定积分表达式；的定积分表达式；(4)(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。运用微积分基本定理计算定积分，求出面积。课堂小结课堂小结.练习练习1.1.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2-1-1，直线，直线x=2x=2，y=0y=0所围所围 成的图形的面积。成的图形的面积。yx解：解：如图：由如图：由x x2 2-1=0-1=0得到抛物线得到抛物线与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(-1,0)(-1,0)，(1,0).(1,0).所求面积如图阴影所示：所求面积如图阴影所示：所以：所以：课堂练习课堂练习.练习练习2.2.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2+2+2与直线与直线y=3xy=3x和和x=0 x=0所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。解：解：xy(1,3)(2,6).本节内容结束谢谢大家！.课后思考.