川大版高数_物理类专用_第三册_答案.pdf

第一章行列式1.($磷蚓15号排网1+0+1+0=3Q 硼例12(醐网+2+0+0+1+0=8(3 中(-1)321=(-1)+(-2)+(-3)+2+1+0=(-1)2当或 二,4加偶瓶4腓例|偶期列卜1)321当或 二,4加奇数君瞰福排歹叫施中1),321 加=012)(4 中35(2-1)246(2切=0+1+2+3+(-1)=当或二,4冽(偶数加4非列 阀力脚 2-1)246(2叫当或二,4m/奇数广佛列3奇排413限粒?/1)246(2刈 m=012)2.解:已知排列的逆序数，个麴安AA次到小排列逆序数(-1)+(-2)+(-3)+2+1+0=迎心个.第数之痛有个数比小，。倒排后的位置力,解后个数上加卜入钝者相加i”x+i n-x故 步=(1)可强/J3 明：.因：改排列的奇偶性，即一次后，奇排列改偶排列，偶排列改奇排列.当n2，将所有偶排列奇排列，将所有奇排列偶排列因两个数列依然相等，即所有的情况不 1.偶排列与奇排列各占一半4(1)即3。2433。41不是行列式的 q4。23%1。42是行列式的因它的列排排列逆序歹U工=(4321)=3+2+0+0=5 奇数，号(2)牝1。42。33a24。51不是行列式的 43a52。41。35。24=。13。24。35。41a52因它的列排排列逆序歹IJC(34512)=2+2+2+0+0=6 偶数正号 5 解：an 电3。34。41利用C正 数来做，一共六，C正,号来做正号，C6 解：因它是左卜.二角形“14。23 431”42an a2 旬0a22“3200。33.0.0.0%1 000a2ia 2200。31 a 32 的 30。41。42&3。44%2%3%4%见2册3,ann0000（_严3）Q C22“33ann=Q 422a331a%2a2l22a3。32“41a42a 52a3“230Q4a240a 5 a25 0=au(-l广22a32a230a240a2504-000a42000*00000052a 2s000a2 a23424雨-广“3100“4100a500=ana22(0-a2a2i(-l)1+，0=012 0 034 0 0 1 221-1 3-3 417 5 1(T1+2+1+2-1=32(4)(T)1+2+1+2351x 7 0 0 0000yx00y00 x0 xy0y00 xy0 x00+yx/1 2+3+1+2yo o yy o x y 0 xoooX=x5+y57.明：二an an ari an 0 0.0。21。2 Cl2rl 22 0 0,.将行列式化,若零元多于二个，行 an an2 ann 列式可0 0.0 1 10 0 ,一,21|故可知行列式0.1 141%2 0 12 3 3 120-4-120-4-143-1043-10361-1361-1361-159408.(1)3-1312-1=51-2301-230=51-230=52 3 3 12 3 3 12 3 3 14513-19 44=5 21-2 3 133-121 0=6307 02第一章9.（1）.y,mx+b.斜率加二3一乂高数再3册弘）（12 y2），X x2y=x+6代入(西.x1 x2乂）X-x2X-x2X+b b=yrX-x2再42 一X2%力IX-x2x-x2又由Xy%2歹2111二0左=（%一%）%一）（玉 一、2）+（演2 一%2/）=。=右尸X x2特征：一再力 一工2%X x2b+c10.(1)b+c b+cc+ac+ac+aa+b a+b b+q利用性和分成阂个行列式相加其余合零故原式=b b bca+Caab b b=2b b b114 k2).2 sin asin2 2 sin/2 co s aco s2 p2 co s yco s 2a co s 2 co s2y-Q列列1-co s2 a2co s aco s 2a1-co s2 pco s2 pco s2j1-co s2/2co s yco s 2/co s 2a2 co s aco s 2a=c o s 20co s2 pco s 2Pco s2y2co s yco s2y0(t t)2co s2 a-12 co s之尸-1 2co s2 y-1co s2 co s2 co s2co s 2a c o s 2/3 co s 273.0Xyz0 xyzxyzxyzX0zy(2)?iJ yz_1_一X0 xz2xy2yz0X列xz(4)列 xzyz xz孙yU0 x2yzy%0zx2z0肛(4)列0 1xyz xyz 1 01 z21/byz xz xy2 X012 Z02 Xd1y2o,.a a+b a+b+c11.1a 2a+b 3a+2b+ca+b+c+d 4a+3b+2c+d6a+3b+c10+6b+3c+da 3a+ba b c da b c d四列加刚行行0 a a+b a+b+c(-2)+(3)0 a a+b a+b+c(3)(4)列行行0 2a 3。+26 4。+36+2。(2)(-3)+(4)0 0 a 2a+b0 3a 6。+3b 10。+66+3c0 0 3a 6a+36行行3)+(4)abcd0aa+ba+b+c00a2a+b000a41 2 3 九-10 3 l n(2)-1-2 0 n-1-2-3 02 60 3降 1(-l)l+1 0 0 4列利-2)-(2)(1列列-3)+(3)U)列列m+10 0-0-12 6-2n-10 3-2n-10 0 n2n2n2n=2 3 4 n=n0 0 0 n玉%2佝3 1 12 13再%a23 ain1 x2 a23*%2X3%”1 x2 x3再%2x3与1 x2 毛1a 2_%2aI3X3,(1)列列国+(2)1100a23-x3-0(1)列列+.100 ain%,/2*2 13 3a2-Xna23 r3?f降 xj(-1)1+1 10a2n f13(1)x y 0Ox y 0 0 0J 0 00 00 0 *x y0 x=D根据“定 法 D=4-(-1)/(2-3A5-w)/=xm+(-1)h-/1 2 3 n 1 n1-1 0 0 00+2-2 0 0=D 0 0 0 n-1-775n(n+l)23n-1ri211n(n+l)34n1根据“降法”D嚅线到2n(n+l)12n-2n-12_n(n+l)22 3 3 4 1 2 123 n-1nn-1 n011 11-nn 1 将前-行乘以加 Mn+l）011 n1到后一行得 0,n2 n01-n1 111 11 1(n-1).1 1-n1-n 11 1-n-1 1 1 1-n1-n 1将阿加 n(n+l)-1 1 1-n 1到MD上得,1 1-1 1 1 11 1n+11 1 1 1-n1 1 0-n1 1 1-n 11 1 n 0n(n+l)-i列加到 n（n+1）2（2卜01）列 21 1-n 1 11-n.01 1 1 11 0 0 02-3+2|2-2=-(-1)2(一1尸 矶丁 二)2 2-1n+1 r/?(w1)二(一1)丁 nn-21 a a2 an1 1 1 11 a-1(a*(t z-iy-1a a 1 c i 2,u z2+11 a-2(2)2 (”2 尸置a2(t z I)2(c i 2)2 +1 u n+1(q +1)2,(a +i优-(a-1)-1 52)a 伍一+1)n(n-)范达蒙行列式(-l)k 1!2!-(-1)!注：根据范达蒙行列式原式=（l）g2）（+1）=（+2+3+（t）1!2!1）!（一1过一2）（一+2）-1(-1)2 1!2!6%可-2月%b；T邛a；它力2婿-2斤/庄|(4)第行提出得：n%+l 6L b%+l4+l%+嚣1 a：a巾邛-1K nq14婷K4d1,a：+ia2域bb2hn-l h+i%+1.+1 _11氏+12。+1氏+1瑞11旦尤 2*1 砰 一1 ftax%a a1 b婷纷b b.或尔-）=兀（”他）=aaa2w=a ai ajbb2b bn+i+1 1%+1Q向2 氏+1an 1 anU/7+l UH+1214(1)明：a-P.a+Ba+Bco s-sm-co s-222PYB+丫co s-sin-co s-222.y+a7+aco s-sin-co s-222a-B=co s.-2sin2co s也 2-co sP-r.a+B sin-2co s3 2.y+a sm-2y+aco s-22,y+asin-2r+aco s-2sin-,7-a 2+co s-2.B+ysm-a+B co s-2B+y co s-2=cs 一(smB+v y+a B+v.y+a-cos-cos-sin-2222)-cos-(.以十。y+a sin.-cos-22a+B,y+a、cos 2 sin 2)Y-a,.4-co s2-(sma+B B+y a+B.B+y-co s-co s-sm-)2222a-B.B-a B-y.B-y y-a.a-y=co s sin -co s -sin -F co s -sin-222222-sin(夕-cz)+sin(/-/5)+sin-y)=sin(-a)+sin(a-y)+sin(y-夕)211 11%(2)明：x；X：a+xxaa+x2aaa玉+/+&+=1aa最后一行乘以加例行得)5)aa+xlta0000000王0=xx2 xna=axx2x3 xn000aX”a0推法”为-10 0 0X-0 000 x-100 0 x=xD“t+a,-%-100-10 00a.X-10X-1 00_(-l)n+nx1*+%T(T严%0000X-1由此推：Di=xDn_2+an_2D2=xD1+aI)/.D=+47 T8a 1 0-1 b 10-1 c0 0-10011+2+1+21 f c 1 a-1 J(-l)1+2+1+3 l-ld(f1八0=(ab+l)(cd+l)-a(-d)=(ab+l)(cd+l)+ad12 0 cl i3004000310-15(13x=(4-6)(-1-15)=32 b/i 1+2+1+2(73 4 J5a 0 a Q(3)b 0 c Q/0 1 00 媒8 0 cl0 c d 0 d add1=0(a0_|(T 严40 o d+ab b e 0 faJe d d a 0(-l)l+2+1+5 L 刈/X/f /=-a(c-d),d2(a2b d-c2b d)-a(d-b)-c2a b d-c2b d -a(d-c),b2(a b d-c2b d)=abd一/)2-c d1+dc2-b e2-d b2+c=abd(，一/)(c-b)(d-b)(c-d)9b选定Q）（2n）行b95(H)4i且=因=(/切 A _(氏.|ah-2|&.冈|4-1|4 Al-d|AH-2|4 r Jt-1 1 1-1-再 演-/16.范达 行列式V()=工1 X*.工;=（一再）（不一再）.1 X X2 XT1 Q Q；Q：11 Q?.41-x-i)an-X量行列式1101 1 1 1X a?an-2 2 x a：:=xt dt。尸 a；(a,-x)(a2-x)an_x-x Q-j).(K-i Qa).(K-(a 叼 a)w-1 n-2(1)因5%aT常数。所以p(x)是n-l次的多式 令 P(X)=O.得 X=1 工=。2.an-即 p(x)的根 口。2an-第二章矩代数4.算下列矩乘3-20 12 4-1 02 10-13*2+0*(-2)0*2+1*0-1=2*2+4*02 1*2+0*03*1+(-2)(-1)0*1+1(-1)2*1+4(-1)-1*1+0(-1)3(-1)+(-2)20*(-1)+1*22*(-1)+4*2(-1)(-1)+0*26 5-70-124-2 6-2-1 11 2-1(2)-2 1 01 0 32 3 1*2+2*1+(-1)2 1*3+2(-1)+(-1)4 2-3 1-1=-2*2+1*14-0*2 2*3+1(1)+0*4=-3-72 4 1*2+0*14-3*2 1*3+0(1)+3*4 8 15(3).(1,-1.2)2 1 0113=(1*2+(-1)*1+2*4,1*1+(-1)*1+2*2,1*0+(-1)*3+2*1=4 2 1(9,4,1)I Cly 2(x,y,l)%。22 44 b2 cxy i(。12=ax+any+b=(X,y,l)。21%+。22+4bx-b2y+c11(b so o d)uisd)uis-d)so o=V(l)9怀 03=Z-GK 99 9 9C-9 9C-9=C【9 9 0 I-(产 I8Z 9=。G0 9 0 6。9=C【0 6 0 L Q=I-Z0 L IL 0产0 L(I0 I-C黑针)M&KSR z i芈0 T 0(0 z-i-o i-z-(z1 Y T0 i-I0 I Io i Il o z-l z-0I 0 0T l-1T 1 1(c1 T T i-i 0 I IQ+仆 q乙+xl2=(xl-x2)(y-y2)D2当,32=11玉x20000101歹20101yno=01%00 0000故原行列式2=（演一%2）（乂一歹20,3n=2cosa-a2 cos(a,-a3)005(-a)1 cos(a2-3)cos(a2-aH)cos(a2-a2)1 cos(a3-an)1cos(at-a2)Dn-cos(。1 一%)1当1D2=co s/-a2)co sf eZ-a2)1=1 _ co s2 ax-a2=sin2(a1-a2)当，3cos a,sintZj 0 0|costZj cosa2.cos%cos a2 sin a2 0 0Sina】sina2.sin%D“二,10 0.0=0,1cosan sinan 0 o|0 0.021故R 二sin2(a-a2),n=2 0,3D=1-q 1 一%”1%篮1-V1-a1b21一出写1 a2b21-电”1-他 一也1 一地1 1W 1W l-a；b：1一岫 1-anb2 l-a也%=叫+*2+.+q“a12砥%15D=。2202n%2%n-a a2Xb2(1)4=,(ad b e0)1iii%噌T（叫-.）1114也-“1 i 2 772a na aOn na na当n=30 0 0a3 3a2 3a 10/3a1 3a0 0/3/0 0 0 a3ak,0假 n=k 成Ak-00kak-C；Q2C”-3anak0akkak-x00akk akak-CLC；尸a 100,0akkak-xC：0k_20 a10当 n=k+l ak+=00akkc 1k-0 0a0000ak0 00aaka+kak-kak-+C c产+物N_ 0ak+xak+kak ka-00ak+iak+kak000ak+整理得ak+(左+M%公黑小小ak+=0ak+x(k+l)dA+1卜成立00ak+1(左+M000k+a0 0 00a1nd-C；a2/所以二00an3(上4=2516 (1)a100a22a10annaG/T0a100a22a1,、0annaiC2 d L200 5=1)02(二 2)0(=3)a00a2a0ana000a000a2000a1X.X)解：X=2 5 X1 x2 4 61 3 x3 x4 2 12西+5x3=4 2x2+5x4=-6%+3x3=2 12+314=1由得：玉 二2;%=一23;&二 0；/=8;20得工二-23 8%二%X4xx x2 3 6 2 4x3 x4 4 8 9 183x1+4x2=2(D 6国+8x2=4(2)3x3+4x4=9 6x3+8%=18 由，得：西二须；犬2=:(2_3%1)；%3=七；%4=(9_313)须得：X二：(2-3匹)；(9-39)26(3)x=工22 3-121 2 0-12-232xj+3x2 x3=2Xj+2x2+0=1-2x3=3由方程，得：1得工=-1-3X x2(4)x=x3 x4/X63-12 x2 3 94-3 3 x3 x4=1 111 3 0 x5 x6 7 53匹x3+2x5=33x2-x4+2x6=9=14x2-3x4+3x6=11 x+3/=7 x2+3x4=51-、玉=%；2=%2；/=,(7阳)；得 31 1 1%4=1(7%2)；工5=-(8-5x,);x6=-(8-5x2);得：x=；（7f）$7 一%）；（8-5玉）；（8-5%）27再x2X 二3x90104100100%4%001001010得4玉王、24x2100001001320-110 x=2;x2-4;x7=1;4二 0;x9=-22-10得x=13-419解：D1302-21=A=522231二120113/.D=3131二24115113A22232211二一2411231方程的解35111二36D3D，D朱=（2-2 3）28m二D,5-2-2012-311231-1-1212-3114-51111-1-12-142；n24-5111123=-142 05-2-211-1-1214-511-28 4115 2312-315-2-2 014-511=-426;D4=112312-311-1-125-2-2 0=142方程的解(玉，X2，A,xAA AD D4 DAD=n,2,3,-1)5 6 0 001 5Z)=|=0 10 00 06 05 61 50 165+5106(-1)1+2+1+3100651651+2+1+25106 05 61 506=19 65-30 19=19 35=665 05D D2 2 d4 d5 万万万方D5610056010560011500015600156004=01060=703;2=01500=-395 D5=01560=212000560010600150001150001500011方程的解1507 665-1145665703 395 2126655 665 665(4)1 1D=|=a b b e c a1cabab2+b e2+c a2-b2c-a2b-c2a有且有 a=b=c 或。=6=c=0,D=0 无二 ab(b-a)+b c(c-b)+ac(a-c)意；其他情况。=Ml 029a+b+cI=q2+b2+c23ac1 1b c=a2b2+ab c2+a3c-ab2c-a3b-a2c2 c a ab1 a+b+c 1D2=a a1+c2 c=ab3+b2c2+a2b e-b3c-a2b2-ab c2 b e 3 ab c ab-1 141-34-29 2412 3 410-2-6由(/E初等(E A-1 1 a+b+cD.=a b a2+b2+c2=ab2c+b c3+a2c23,c,方程的解：b e c a 3ab c-b2c2-a2b c-ac3(%,y,z)=今堂,专=(。，b,c(4)2 5 74=6 3 45-2-32 5 7卜 6 3 4=-l5-2-3-14=38-271-1-41 3429-24(5)/*1-382730得（/E）=12 3 42 3 12111-110-2-610 0 00 10 00 0 100 0 0 12C+G-G+C3Q+C412 3 400010 0 0-2100-10 10-10 0 1。2（-1）工+G2C*2+G12 3 40 15 60 0 3 10 0 5 210 0 0-2100-1-110-3-2 0 1-11234100001562001111G叩-卜+。40 15 0-225 30-181200-1214-9-C4+C；-I2C4+C；0 0 10-102-1-5C3+C2-3C3+G0 10 0001010007r+r 0 10 00 0 10000122-17-120-132-1A-l-17-1-1（6）A=04-10001-1-5 322-6-26 17-17 5-1 04-120-5-262017-13-1-13 A（E/t）-100133一 3302010001343153314500 0 042023450230 01 02 10000010020 20 031=321604*=000-8 416 80 160 00 0-2 14-2-8 416-80 16A-l1 1 1200001148j_ 2000j_420016 j_81412032116_81 41224.:Q A 称矩 A=AA t A=A A=E-1 1 1A A(A)=E(A)A T=(A)TQ A可逆称矩(a7)-1=(a-1 y.A-i=(A-iy可逆称矩的逆矩也是称矩25.:(1)(A2)*=(AA)=A，A，Q A n称矩A=A(A2)=A2/.A 2 称矩(B 2 y=(BB)，=B BQ B是n反称矩(B 2)=(BB),=B,B,Q B是n反称矩.B=-B(B 2)=(-B)(-B尸B 2B2是称矩32(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB=-B A-A(-B)=AB-BAAB-BA必要性：Q称矩AB反称矩(AB)=-AB又Q(AB)=BA=-BA.AB=BA充分性:Q AB=BA.(AB)，=B，A，=-BA-AB 反上所述：AB是反称矩称矩 的充分必要条件是AB=BA A工2126.解：矩 X x=X“1TX/Q xT Ax=o七1=04i4 24”玉，21，22%21，3244i“424 n/n 1即(4l%ll+，21%21 T 卜 41%1/微阳 1+22X2,n2Xn,4再 1 nnXnl)1今=0”,为1(41玉1+3+4”七”+%21 n2Xnl=04%+41+玉1、21421 T 卜再再141+/%2142+入21 422 T 卜 4 二Q仟:意n 1矩都成立 41=“2i=4,=27.A=0:Q A止交矩At=a-133T 4*A=问又Q正交矩可逆矩/.A=AA.-=:Q 4=%M=i4*.A下Az=（a-y=（AT=（AE，）T=E/t-1 二A28.解：A A-=（B+UV）Bx-（8一1。）（片氏i）=E-UVB-X-r+UVB-r 7=E-E=OV=UVB-A A-1=E依次用v左乘和用u右乘/=1+。/2-1消去片。得人人而得29.解：判断X可逆即：n a因A、C可逆，0|C|0即因 0X可逆34由 X x-1“110 AC 0Ca2iAal2Aa22二E=c 1Can=EC%=0Ca22=0Aa2=Ea”二 a22=0 a2=Al30,明:0 A-c-xa2-a+e=o0.a-a2=e,E=A（E-A）:.A可逆矩At=E-A31.解:10：0011000010=网4300原式=10000200011000-3003101I010010001021300001-31090311-69101631010-27-27-9-310-2727-300900-300-271300000010000i43008000000-2727-90000-272700000-27351 32 80 00 00 00 0 00 0 01 0 12 3 23 1 14T o0 A2-l4i238432-112_623 613207 j_ _6 6 22-1-2原式二0 00 00 013 0020 0 00 0 0j_ j_6-6 223760 8 0 0 0_3160j_24o-110 10 10 12 3 22 3 3 1 144Q AA-l=E44o4x zYT=E36axx 4y _ z2 oA2X+A.Z A2Y+A3T 0 Z3AxX=Z247=0A2X+A3Z=0A2Y+AiT=Ei闾=8-6=2/J=x=4T r=o z=-a3-a2a-T=4T-318-2八 84 二1-2-314x 二 4T-1_3 2J_ 2同理4一6_2 376 j_ 31_2016 6 2A-6_6763164X zJ_ 202-131 00 12 0322776111200623764-1003212-23-2712761112310624-90000-63000J_-12_7-1-132-6218-7-420011-1271-31T6 2第3章 性方程371.:假 n 性相，三4,4,4不会o,使得4(%+4),4(+%)，4(+a)=o整理得：(4+%)/+(4+4)%+(4+4)。3=。又由a”%，性无，故4+4=0 4+4=o%+4=01由于D=1001 10 11 0=01 1 01-1=2 01 1故由克莱默法知：4=%=4=o,矛盾 故正确02.解：a=（x（,x2,x3Jx4jx2 得：一由和售 a)+2(%+a)=5侬+a)3。1+2%-5%=6a即3(25,1司十 2(101510)-5(41-11)=6(x1,x2,x3,x4)根据矩相等，元相等，得6国=3 2+2 10-5 46=3 5+2 1-5 16/=3 1+2 5-5(-1)64=3 3+2 10-5 11234玉/.a=(1,2,3,4)3、不一定。原式：左（/+左2（。2+8）+L+（备+色）二。38故可得到(名+用)，(%+a2)，L,(%,+色)性无将每个向量任意拆分得到的新向量然不一定仍然性相例如向量成比例或含有零向量=(0,1),/31=(0,2)1=(0,1)例：/或、比四任一一个零向量%=(1,0),02=(2,0)a2=(1,0)4、不正确使两等式成立的两系数一般来是不相等的，所以不可以做那的公式提取即用尢工心5、提示：含有零向量就一定性相极大 性相 中每一向量都无法用其他 中向量 出，因此可用一极大 性无 成向量加零向量构6.:假内，。2,性相，由意知，必存在一使得夕=4出+41由假，a,%性相明必存在一不全的数k使得:k+-kmam=02由!与 2可能：夕=(4+%)ax+,-+(+OT)am但的表示式是唯一的，故4+左=儿，；1“+=%即得：妤霜匕=尢=0故成立7.：av a?，白阈W)：41&2 4P 111*221*rPnX=I Hl”22 b 2P 112*222。也?2 二。(俑火)：.：二：“1 42%+。2%+一，+以也,=0由于a”a性无，%.=0,1 i n,l j p,故 B=O 6 明：假a1,a2,L,a,性相，a1,a2,L,am,p性相(部分相 全体相)所以存在m+1个不完全0的数 足394。1+A2a2+L+4”+九B=0本来性相，故4可0,可不0(1)4=0/无法用a”机性表出A 0P=-4%+L+am A而名,%!，氏，性相,根据定,至少有一个向量可用其他m-1个向量表出，我 不妨am=ka+k2a2+L+km_xam_xP=-J(4+左)停+(4+左2)%+L+(4_+心_%1+0%得到了Q的另一表出式，即表出不唯一上，假成立条件下得到的 与“夕町用6,%，L,%唯一表出“矛盾故假不成立，ai9a2,L，鬼，性无A7、将 A 表示 A=la.,a2,L,a),B 表示 B=仇MAB=ap+a 2 A2+L+anfin=0右9 OCn同理可A性无，必有夕1=02=1=必=。B=0P117 T8解(1)1 41001 4100-仙行科4)14100141007 8184-3(1)行行 4)-17川行行办,行 0-20184-|l 2HiK3)0-20-5240-20-52417 184010-71)行行2)0-50-13010000000-403 71310-5-17100-400000由此r=3解(2)2 11121 211212112121121 04-1，闻啪彳“j 0 14-1-4(1行仟有行(1)+(4)014-1-3(2)T+(3)[phone] 115650312-300002-15-6-1 25-60416-40000由此r=2 解(3)401 0 01410014100140 1 025 互,（助僭行1231432-4(1)+(3)02313280 0 136 互、（葬仔行4563277 TD十05628611 2 3143201025010254 5 6327700136001361 0 0 140 2 3 13281 0 01 4一5（2）行行 3）13 9一行什4）0 2 313 28一5（2）行行 4）0 0 一一2 2-18才3）行邢）0 0 13 6八八 3 90 0 00 0-182 20 0 00 00 0 1 36由此r=3解(41-23-2-4 7 112 03 4 2O-552 3 1203 142031 40-5_j_ J_1 行竹3）0-51 12 2-22051 _1-10000 02 2由止匕r=2解：3 2-1-3-2213 1 3 互4 5-5-6 1(5)2-1 3 1-32-1 3 1-3-2(1)行有 3)C C-轴行付2）7 11 9 532-1-3-2 202 2 2 245-5-6 107-11-8 72-13 1-3一2 行付 31 0 2_ _11 _2_ 52220 0 0 1 2由此r=3 解：101001010010100110001100001-10001100互，（盯你 Q1100T1)+(2)Q110000110010110101101011001100011041由此r=51010 010100一(2)行竹3)01-10001-100-行科曲行00200-(3)+(4)002000011100111001100000-1T9解(1):向量性相，+44+4a3+4里=(i，,i，-,0)+(A2,3A2,222,-2A2,A2)+(A3,-2A3,A3,-A3,-A3)+(A4,-4A4,A4,A4,-A4)(4+4+(+4,34+34 24 4 a4,54+2 Aj+(+A4,4A|2 A2 4+4,4 A2 A4)=04+4+4+%=0(1)3+3-2-424=0(2)5AI+2A2+4+%=0(3)44 24 4+4 0(4)4-4-4=。(5)由(1),(3)得：4=-2%由，(4)得：4=-224*4=44=0代入(3)式，得：54+2A2+4=-1%+3%=0二.4=04=4=4=4=o性无135-40135-40135-40132-21-(行科2-)行低耳行00-3210-7-45-11-21-1-1-行竹4)0-5-43-10-5-43-11-411-10-7-45-100-32142由此r=435-40135-401050-7-45-15-7-4-171于2）行秤行行.小)842f0084200-7-7-77777700-3210002410:由，a”z性相必有一不全o的数4,4,l 使得几%=o既有:4%，4。2”1,A/n c im -04-2,4“22L，4加2 二(*)K4%,4%,L mamn=0IxKa a L,心中每一个向量中去掉第%；,3,L,z；,就相当于在上述方程中去掉s个方程剩下的方程仍成立 既有不全零的数4，4,l,4使得：4a1,4%，L,Asas=0八人而：a,a2,L,a,性相然当。1，。2，1,生性无由上面的明可知a，,%P,L,a/肯定性无（2）由（1）的明很然得到11、明：把a,二（1，4片,K,3）（z=1,2,K,r,r）作 矩A行向量写成矩A1 t彳 l T即：/二 1 2 1 L/L L1L广只 A的行量性无即可即：rA43然A中有一个D=11r2子式1IL,222LLLL7-1 1,r-12r-10而A内的所有厂+1子式0,因A的行数故有以=，队而成立12 :先当a1,%，L 可由。1，62,，色 性表示出,a1,a2,，久的秩小于等于B血L，&的秩不妨：a1?a2,L 的极大无 名,%，%;,乩的极大无 遇，4只假:r/即可 rt那由条件可知：a1,a2,L,%可由%仅2，1心性表出，即存在一矩klr,使得U，%，L,%H4，A，L,加。12M。21a22M%ar2M%,a1LLL%=（自,小L,用心玉在上式两端同右乘一列向量”Mx an(crpa2,L,ar):=(/3,/32,L，/：a2l。22Man%2Mait,即得：%LLL不全0的数X/2，L，毛，使得：只要找到一即%L%药%2a22L a,2%MMMM即a2tL%就能明 O1,%,L,ar性相=0成立,与Qi，%,L,%性无矛盾演、2M事 卜：由于尸f rk,所以上述方程一定有非。解44故成立，同理可r f,M而有厂二，13.:(1)r=s,%sa2sLs若det(左)=附0,6 AM=k-l Ma,民明，向量B与A可相互 性表示，又由A性无，其秩 所以8)=S,从而B性无反之：若B性无，考察46+%夕2+L+乙4=。代入并整理得：A G(4房,L，4)M=(4人,L，4)4 MA 4an L 令 k 6?2i LL%L 由上式可得：(4%i+4a2i+L+441)/+22+442)%+1+(4%.$+442s+L+)&由a1,%，%性无，所以+L+4%=0(*)L 4%+l+4ss=o若网=o,(*)有非。角队而瓦氏L，民A 1,Pi 7 a2 由=kM MP,445故出优,L,：）=（a；,a；,L考：4?口；+l+4/；=0A即06,l，阳=oA.优,；,L,外）=（a；.；,L,a：）左丁代入上式得:4|a：,a；,L,可忖 二。4由于，4性支,a；,a；,L，琛也性无4故-3=。M 4为x而方程kT 2=0只有0解 r t=rM k%再而母，肉,L,：性无 kT 乂=0只有0解.故%14.住一下常用矩秩的性（1）入口 min加,rA=rA若尸,。可逆，rPAQ=rA ma x,Q rAB rA+rB成立法一：由上述性条，储 rA+rB而（4+8,5）列（4046所以弓+2 3+8方)r(A,B)rA+rB法二：A=(a,a2,L,an),3=血)(A,B 同型，所以列/+5=(。+瓦生+P，L,+A,)然4+5的列向量可由名,。2工，鬼与四，夕2工，底的极大无 性表出 若%,%,L 14,万力,恳，L,4分 名,%，%与,夕2，L,的极无那4+8的列向量可由%,%,L,用，鸟”L 性表出，所以rA+B rA+rB14、(第二)明：有向量 A=(a.),B=(b.)J)mxn )mxnA的行向量：优i，窃2，.，。/其极大性无：名,以/11 y I 乙/J If/i.B的行向量：A，夕2,，凡 其极大性无：Bjl,Bj2,BjrBA+B的行向量：其中%二%+夕1，=%+人一一，九二心+力%，%，%T，%4 Bjl，Bj2,，BjrB 有7=7+又7二屋 即有力 YaYb15、解：增广矩行初等.1-23-11B=3-2 5-3 2)行低2)(-2)(1)行低3)2 12-231-23-110 5-4 0-10 5-4 0 1卜1)行行3|1-23-110 5-4 0-10 0 0 0 247Ya Yb,无解解：方程的增广矩行初等B3-5 2 4 27Tl 3 55 7T-6 37353行低2)(1)行低4)3-52423-5 242023 3113193131-1)(2)行付3)023 T_11319 TJ_3046 _ 322338330000_2-3YaYb1；无解解：方程的增广矩行初等.(本第1 19目2匹+5x28x3=84玉+3x29x3=92玉+3x25工3-7再+8x27x3=12B=2 5-884 3-992 3-571 8-7 12卜2)1)行竹2)1行行(1)+(3|4(1)行伸可25-880-77-7003-100-38行有4；2 5-880-7 7-70 0 110 0 0 0有唯一解。即唯一解(3,2,1,)2再 4-5x2-8%3=8二3由方程712+7x3=-7解得：力二2&二1二1(4)、解：方程的增广矩行初等1 2 11-10 11 2 1 1-10 10 1 1B=1 11 1-1川行什3)0 1 1 1 1 1 11 1 01 02 20-1-10 1 2 10 2 21 0-1 00 2 2 1 0-1 048（2）行邠）卜2）（2）行另4）网行甘4）12