全等三角形-探究题-(各种题型非常全).doc

(word完整版)全等三角形_探究题_(各种题型非常全)
探究题讲练
类型1．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=(　　）
A．330° B．315° C．310° D．320°

2．如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（　　）
A．50 B．62 C．65 D．68
3。如图，在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4)处,两直角边与坐标轴交于点A和点B.
（1）求OA+OB的值;

（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转,两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA—OB的值；
类型2。线段间的数量关系
基础练习
1．在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE;
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=AD—BE;
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明．

2。将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°,其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1)中猜想的结论是否仍然成立；
(3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°＜β＜180°,其它条件不变，如图③．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程;若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系,并说明理由．

3.如图1，△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l，边EF与边AC重合,且EF=FP．
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP,BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为(2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明；若不成立,请说明理由．

例1.已知四边形ABCD中，AB=BC,∠ABC=120°,∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E，F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；
(2)当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立，线段AE，CF,EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．

：

例2.已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD,AB=BC，∠ADC=120°．将一块足够大的三角尺MNB的30°角顶点与四边形顶点B重合，当三角尺的30°角（∠MBN)绕着点B旋转时，它的两边分别交边AD，DC所在直线于E,F．
（1)当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如题图1），请直接写出AE，CF，EF之间的数量关系．

（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时(如题图2），（1）中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．

（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时(如题图3和题图4），请分别直接写出线段AE，CF，EF之间的数量关系．

例3。如图,在△ABC中,D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．
（1)求证：BG=CF;
(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

练习。已知：△ABC中，D为BC中点,E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF,连接EF，求证：BE+FC＞EF．

例4．CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

(1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E,F在射线CD上，请解决下面两个问题：
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°,
则BE =______CF;EF =__________|BE-AF｜(填“＞”，“＜"或“=”)；
②如图2,若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ∠α+∠BCA=180°_________________，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
（2）如图3,若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明）．

例5．如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．
（1）求图①中，∠APD的度数 60°______________；
（2）图②中，∠APD的度数为 90°______________，图③中，∠APD的度数为 108°________________；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

练习:
1．（1）已知：如图①,在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求证：①AC=BD；②∠APB=60度；
(2)如图②，在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为 AC=BD______________；∠APB的大小为 ______________α；

180°-α
．

2．（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边,向△ABC外作正三角形,正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．
①如图1，求证：△ABE≌△ADC；
②探究:如图1，∠BOC= 120°___________；
如图2，∠BOC= ________________；
9如图3，∠BOC= ________________；72°
（2）如图4，已知:AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O．
①猜想：如图4,∠BOC=360÷n（用含n的式子表示）;②根据图4,证明你的猜想．

例6．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM= BD，EN= CE,得到图③，请解答下列问题：

(1）若AB=AC，请探究下列数量关系：
①在图②中，BD与CE的数量关系是 ____________；
②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想；

例7．如图，已知△ABC中,AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．
(1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?

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