寒假八年级数学尖子生培优4.doc

八年级寒假尖子生培优训练（4）
专题（图形的变换）
【小题热身】
1. 图1，把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB=3cm，BC=5cm.则重叠部分△DEF的面积是
2.如图2，△ABC中，AB=AC=10，BC=12.AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为
3.如图3，点A的坐标（0,3）,△OAB沿X轴向右平移后得到后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=上一点，则点B与其对应点B′间的距离为

图1 图2 图3
4.如图4，点Q在直线上运动，点A的坐标为（1，0），当线段AQ最短时，点Q的坐标为

图4
5.如图，OC平方∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，

则∠PDO+∠PEO= 。

6.如图，直线L: 交x,y轴分别为A,B两点，C点与A点关于y轴对称。动点P,Q分别在线段AC,AB上（点P不与点A,C重合），满足∠BPQ=∠BAO
（1）点A坐标是 ，BC=
（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．
（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．

【中考赏析】
1.正方形 ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB，DC（或它们的延长线）于点M，N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时（如图1），易证BM+DN=MN ．
（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN 时（如图2），线段BM，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当 ∠MAN绕点 A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

2. 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
(1)操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是_____(填序号即可)
①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．
(2)数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
(3)类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：_____．

3.如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

图甲
图乙
图丙

4.如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

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