资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），C（－5，y 1），D（5，y 2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．不能确定
2．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
3．已知反比例函数的图象经过点（1，2），则k的值为（ ）
A．0.5 B．1 C．2 D．4
4．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．任意两个圆
B．任意两个等腰三角形
C．任意两个菱形
D．任意两个矩形
5．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如果 ，两点都在反比例函数的图象上，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，那么抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
8．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（ ）
A．b＝c•cosB B．b＝a•tanB C．b＝c•sinB D．a＝b•tanA
9．如图，⊙C过原点，与x轴、y轴分别交于A、D两点．已知∠OBA=30°，点D的坐标为（0，2），则⊙C半径是（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，CD与BE交于点O，则S△DOE:S△BOC的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA＝1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB＝_____m．
12．如图，已知A（，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是_____．
13．化简：________．
14．二次函数y=－2x2+3的开口方向是_________．
15．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A，B，C，D 都在这些小正方形的格点上，AB、CD 相交于点E，则sin∠AEC的值为_____．
16．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为____．
17．某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元. 设平均每次下调的百分率为，则可列方程为____________________.
18．从长度为2cm、4cm、6cm、8cm的4根木棒中随机抽取一根，能与长度为3cm和5cm的木棒围成三角形的概率为_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、，P（a，b）是△ABC的边AC上一点：
（1）将绕原点逆时针旋转90°得到,请在网格中画出，旋转过程中点A所走的路径长为 .
（2）将△ABC沿一定的方向平移后，点P的对应点为P2（a+6，b+2），请在网格画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2、的坐标:A2（ ）.
（3）若以点O为位似中心，作△A3B3C3与△ABC成2:1的位似，则与点P对应的点P3位似坐标为 （直接写出结果).
20．（6分）如图所示,是的直径，其半径为 ，扇形的面积为 .
（1）求的度数；
（2）求的长度.
21．（6分）如图，反比例函数y1＝与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（﹣2，5）和点B（n，l）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）请结合图象直接写出当y1≥y2时自变量x的取值范围；
（3）点P是y轴上的一个动点，若S△APB＝8，求点P的坐标．
22．（8分）如图，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象相交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于C，D两点，tan∠DCO=，过点A作AE⊥x轴于点E，若点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1．，
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接ED，求△ADE的面积．
23．（8分）如图，已知A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．
24．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是线段AC、AB的延长线上的点，并且EF与⊙O相切于点D．
（1）求证：∠A＝2∠BDF；
（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．
25．（10分）郑州市长跑协会为庆祝协会成立十周年，计划在元且期间进行文艺会演，陈老师按拟报项目歌曲舞蹈、语言、综艺进行统计，将统计结果绘成如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)请补全条形统计图；
(2)语言类所占百分比为______，综艺类所在扇形的圆心角度数为______；
(3)在前期彩排中，经过各位评委认真审核，最终各项目均有一队员得分最高，若从这四名队员(两男两女)中选择两人发表感言，求恰好选中一男一女的概率.
26．（10分）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径，高，求这个圆锥形漏斗的侧面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向，可得C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，进而即可得到答案．
【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a<0）过A（－3，0），B（1，0），
∴抛物线的对称轴是：直线x=-1，且开口向下，
∵C（－5，y 1）距对称轴的距离比D（5，y 2）距对称轴的距离小，
∴y1>y2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小，是解题的关键．
2、B
【分析】根据点（1，3）在反比例函数图象下方，点（3，2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答案.
【详解】∵点（1，3）在反比例函数图象下方，
∴k>3，
∵点（3，2）在反比例函数图象上方，
∴<2，即k<6，
∴3<k<6，
故选：B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.
3、C
【解析】将（1，1）代入解析式中即可.
【详解】解：将点（1，1）代入解析式得，
，
k＝1．
故选：C．
【点睛】
此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键.
4、A
【分析】根据相似图形的性质，对各选项分析判断即可得出答案.
【详解】A、任意两个圆，一个圆放大或缩小后能够与另外一个圆重合，所以任意两个圆一定是相似图形，故选A.
B、任意两个等腰三角形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.
C、任意两个菱形，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.
D、任意两个矩形，对应边不一定成比例，对应角都是直角，一定相等，所以也不一定相似，故本选项错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了相似图形的概念，灵活运用相似图形的性质是解题的关键.
5、D
【解析】过点A作，垂足为D，在中可求出AD，CD的长，在中，利用勾股定理可求出AB的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示．
在中，，
；
在中，，
，
．
故选：D．
【点睛】
考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
6、C
【分析】直接把点A（1，y1），B（3，y1）两点代入反比例函数中，求出y1与y1的值，再比较其大小即可．
【详解】解：∵A（1，y1），B（3，y1）两点都在反比例函数的图象上；
∴y1＞y1．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7、B
【分析】根据方程的两根即可得出抛物线与x轴的两个交点坐标，再利用抛物线的对称性即可得出抛物线的对称轴．
【详解】∵方程x2+bx+c=0的两个根分别为x1=-1，x2=2，
∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为(-1，0)、(2，0)，
∴抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线与x轴的交点横坐标找出抛物线的对称轴是解答本题的关键．
8、A
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则tanA＝，tanB＝，cosB＝，sinB＝；
因而b＝c•sinB＝a•tanB，a＝b•tanA，
错误的是b＝c•cosB．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角函数的定义,熟记定义是解题的关键.
9、B
【解析】连接AD
∵∠AOD=90°，∴AD是圆的直径．
在直角三角形AOD中，∠D=∠B=30°，OD=2，
∴AD= ,则圆的半径是 ．
故选B．
点睛：连接AD．根据90°的圆周角所对的弦是直径，得AD是直径，根据等弧所对的圆周角相等，得∠D=∠B=30°，运用解直角三角形的知识即可求解．
10、C
【分析】DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE＝BC，再证明△ODE∽△OCB，由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠ODE＝∠OCB，∠OED＝∠OBC，
∴△ODE∽△OCB，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.21，将A（0，1.21）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B坐标，从而可得CB的长．
【详解】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）2+2.21
∵点A（0，1.21）在抛物线上
∴1.21＝a（0﹣1）2+2.21
解得：a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2.21
令y＝0得：0＝﹣（x﹣1）2+2.21
解得：x＝2.1或x＝﹣0.1（舍去）
∴点B坐标为（﹣2.1，0）
∴OB＝OC＝2.1
∴CB＝1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．
12、
【解析】试题解析：∵把A（，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=得：y1=2，y2=，
∴A（，2），B（2，）．
在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=ax+b（a≠0）
把A、B的坐标代入得：，
解得：，
∴直线AB的解析式是y=-x+，
当y=0时，x=，即P（，0）；
故答案为（，0）．
13、
【分析】根据平面向量的加法法则计算即可
【详解】.
故答案为
【点睛】
本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．
14、向下．
【解析】试题分析：根据二次项系数的符号，直接判断抛物线开口方向．
试题解析：因为a=-2＜0，所以抛物线开口向下．
考点：二次函数的性质．
15、
【分析】通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD的长，从而求出CE，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．
【详解】过点C作CF⊥AE，垂足为F，
在Rt△ACD中，CD＝，
由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC•sin45°＝，
由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，
∴，
∴CE＝CD＝，
在Rt△ECF中，sin∠AEC＝，
故答案为：．
【点睛】
考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．
16、1
【分析】利用角角定理证明△BAD∽△BCA，然后利用相似三角形的性质得到，求得BC的长，从而使问题得解.
【详解】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴．
∵AB=6，BD=4，
∴，
∴BC=9，
∴CD=BC-BD=9-4=1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，熟记判定方法准确找到相似三角形对应边是本题的解题关键.．
17、
【分析】根据连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元，可得出一元二次方程.
【详解】根据题意可得，楼盘原价为每平方米6500元，每次下调的百分率为，经过两次下调即为，最终价格为每平方米5265元.
故得：
【点睛】
本题主要考察了一元二次方程的应用，熟练掌握解平均变化率的相关方程题时解题的关键.
18、
【分析】根据三角形的三边关系得出第三根木棒长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】∵两根木棒的长分别是3cm和5cm，
∴第三根木棒的长度大于2cm且小于8cm，
∴能围成三角形的是：4cm、6cm的木棒，
∴能围成三角形的概率是：，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查三角形的三边关系和概率公式，求出三角形的第三边长的取值范围，是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）画图见解析，π ；（2）画图见解析，（4,4）；（3）P3 （2a，2b）或P3 （-2a，-2b）
【解析】（1）分别得出△ABC绕点O逆时针旋转90º后的对应点得到的位置，进而得到旋转后的得到，而点A所走的路径长为以O为圆心，以OA长为半径且圆心角为90°的扇形弧长；
（2）由点P的对应点为P2（a+6，b+2）可知△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到的△A2B2C2；
（3）以位似比2：1作图即可，注意有两个图形，与点P对应的点P3的坐标是由P的横、纵坐标都乘以2或－2得到的.
【详解】解：（1）如图所示，
∵
∴点A所走的路径长为：
故答案为π
（2）∵由点P的对应点为P2（a+6，b+2）
∴△A2B2C2是△ABC向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到的，
∴点A对应点A2坐标为（4,4）
△A2B2C2如图所示，
（3）∵P（a，b）且以点O为位似中心，△A3B3C3与△ABC的位似比为2:1
∴P3 （2a，2b）或P3 （-2a，-2b）
△A3B3C3如图所示，
20、（1）60°；（2）
【分析】（1）根据扇形面积公式求圆心角的度数即可；（2）由第一问，求得∠BOC
的度数，然后利用弧长公式求解.
【详解】由扇形面积公式得：
∴的长度为：
【点睛】
本题考查扇形面积和弧长的求法，熟练掌握公式正确进行计算是本题的解题关键.
21、（1）y1＝﹣，y2＝x+6；（2）x≤﹣10或﹣2≤x＜0；（3）点P的坐标为（0，4）或（0，1）．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝中求出k得到反比例函数解析式为y＝﹣，再利用反比例函数解析式确定B（﹣10，1），然后利用待定系数法求一次解析式；
（2）根据图象即可求得；
（3）设一次函数图象与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），利用三角形面积公式，利用S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ得到|m﹣6|×（10﹣2）＝1，然后解方程求出m即可得到点P的坐标．
【详解】解：（1）把A（﹣2，5）代入反比例函数y1＝得k＝﹣2×5＝﹣10，
∴反比例函数解析式为y1＝﹣，
把B（n，1）代入y1＝﹣得n＝﹣10，则B（﹣10，1），
把A（﹣2，5）、B（﹣10，1）代入y2＝ax+b得，解得，
∴一次函数解析式为y2＝x+6；
（2）由图象可知，y1≥y2时自变量x的取值范围是x≤﹣10或﹣2≤x＜0；
（3）设y＝x+6与y轴的交点为Q，易得Q（0，6），设P（0，m），
∴S△APB＝S△BPQ﹣S△APQ＝1，
|m﹣6|×（10﹣2）＝1，解得m1＝4，m2＝1．
∴点P的坐标为（0，4）或（0，1）．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
22、（1）y=﹣x﹣3，y=﹣；（2）S△ADE= 2．
【分析】
（1）根据题意求得OE=1，OC=2，Rt△COD中，tan∠DCO= ，OD=3，即可得到A（-1，3），D（0，-3），C（-2，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求得两个三角形的面积，然后根据S△ADE=S△ACE+S△DCE即可求得．
【详解】
（1）∵AE⊥x轴于点E，点C是OE的中点，且点A的横坐标为﹣1，
∴OE=1，OC=2，
∵Rt△COD中，tan∠DCO=，
∴OD=3，
∴A（﹣1，3），
∴D（0，﹣3），C（﹣2，0），
∵直线y=ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣3，
把点A的坐标（﹣1，3）代入，可得3= ，解得k=﹣12，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
（2）S△ADE=S△ACE+S△DCE=EC•AE+EC•OD=×2×3+=2．
23、（1）见解析；（2）+
【分析】（1）利用题中的边的关系可求出△OAC是正三角形，然后利用角边关系又可求出∠CAB=30°，从而求出∠OAB=90°，所以判断出直线AB与⊙O相切；
（2）作AE⊥CD于点E，由已知条件得出AC=2，再求出AE=CE，根据直角三角形的性质就可以得到AD．
【详解】（1）直线AB是⊙O的切线，理由如下：
连接OA．
∵OC=BC，AC=OB，
∴OC=BC=AC=OA，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠O=∠OCA=60°，
又∵∠B=∠CAB，
∴∠B=30°，
∴∠OAB=90°．
∴AB是⊙O的切线．
（2）作AE⊥CD于点E．
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=；
∵∠D=30°，
∴AD=2．
【点睛】
本题考查了切线的判定、直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质以及圆周角定理、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
24、（1）见解析：（2）CE＝1．
【分析】（1）连接AD，如图，先证明得到∠1＝∠2，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到OD⊥EF，然后证明∠1＝∠4得到结论；
（2）连接BC交OD于F，如图，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据垂径定理，由得到OD⊥BC，则CF＝BF，所以OF＝AC＝，从而得到DF＝1，然后证明四边形CEDF为矩形得CE＝1．
【详解】（1）证明：连接AD，如图，
∵CD＝BD，
∴，
∴∠1＝∠2，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠1+∠ABD＝90°，
∵EF为切线，
∴OD⊥EF，
∴∠3+∠4＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠3＝∠OBD，
∴∠1＝∠4，
∴∠A＝2∠BDF；
（2）解：连接BC交OD于F，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵，
∴OD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴OF＝AC＝，
∴DF＝﹣＝1，
∵∠ACB＝90°，OD⊥BC，OD⊥EF，
∴四边形CEDF为矩形，
∴CE＝DF＝1．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和勾股定理．
25、 (1)补全条形统计图，见解析； (2) ，；(3) (恰好选中一男一女)
【分析】（1）先用歌曲类的人数除以所占百分比，求出总人数，即可求出舞蹈类的人数，不全条形图即可；
（2）用语言类的人数除以总人数，即可得到答案；综艺类的人数除以总人数，然后乘以360°，即可得到圆心角；
（3）利用列表法得到所有可能和恰好选中一男一女的可能，然后求出概率即可.
【详解】解：(1) 总人数为：人，
∴按报“舞蹈”的人数为：人，
∴补全条形统计图，如图：
(2) 语言类所占的百分比为：；
综艺类所在扇形的圆心角度数为：；
故答案为：，；
(3)设两名男队员分别为，两名女队员分别为，由题意列表如下:
由上表可知，一共有种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有种，
∴(恰好选中一男一女).
【点睛】
本题考查了扇形统计图与条形统计图，以及利用列表法求概率，明确统计图表中的各个数据之间的关系是解决问题的关键．
26、
【解析】首先根据底面半径OB=3cm，高OC=4cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】解：根据题意，由勾股定理可知．
,
圆锥形漏斗的侧面积．
【点睛】
此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
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