资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标为( )
A． B． C． D．
3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t
anC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．如图，是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作轴分别交这两个图象与点A和点B，P和Q在x轴上，且四边形ABPQ为平行四边形，则四边形ABPQ的面积等于（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
5．由二次函数可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大
6．在一个不透明的盒子中有大小均匀的黄球与白球共12个，若从盒子中随机取出一个球，若取出的球是白球的概率是，则盒子中白球的个数是（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．8
7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
8．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
9．下列图形的主视图与左视图不相同的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是( )
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，正方形中，点为射线上一点，，交的延长线于点，若，则______
12．如图，已知圆锥的高为，高所在直线与母线的夹角为30°，圆锥的侧面积为_____．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝1．现分别以点A、点B为圆心，以大于AB相同的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若将△BDE沿直线MN翻折得△B′DE，使△B′DE与△ABC落在同一平面内，连接B′E、B′C，则△B′CE的周长为_____．
14．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，所列方程是______．
15．如图，将绕点逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．
16．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝_____．
17．对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：，，，，…，则ab= ．
18．分解因式：__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知抛物线的图象经过点（﹣1，0），点（3，0）；
（1）求抛物线函数解析式；（2）求函数的顶点坐标.
20．（6分）如图，在四边形中, , ．点在上, ．
(1)求证: ；
(2)若，，，求的长．
21．（6分）如图，在直角坐标系中，为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，的面积为．
（1）求和的值；
（2）若点在反比例函数的图象上运动，观察图象，当点的纵坐标是，则对应的的取值范围是 ．
22．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋bx＋2 的图象与 x 轴交于 A（﹣3，0），B（1，0）两点，与 y 轴交于点C．
（1）求这个二次函数的关系解析式 ，x 满足什么值时 y﹤0 ?
（2）点 p 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
（3）点 M 为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q，使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
23．（8分）如图，四边形内接于⊙，是⊙的直径，，垂足为，平分．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）,，求的长．
24．（8分）如图1，在平面直角坐标系中，函数（为常数，，）的图象经过点和，直线与轴，轴分别交于，两点.
（1）求的度数；
（2）如图2，连接、，当时，求此时的值：
（3）如图3，点，点分别在轴和轴正半轴上的动点.再以、为邻边作矩形.若点恰好在函数（为常数，，）的图象上，且四边形为平行四边形，求此时、的长度.
25．（10分）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当时，的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
（2）类比探究
如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．
（3）解决问题
当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．
26．（10分）为了“城市更美好、人民更幸福”，我市开展“三城联创”活动，环卫部门要求垃圾按三类分别装袋、投放，其中类指废电池，过期药品等有毒垃圾，类指剩余食品等厨余垃圾，类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙两人各投放一袋垃圾．
（1）甲投放的垃圾恰好是类的概率是 ；
（2）用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，
故第三个选项错误；
∵c＜0，
∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
故第一个选项错误；
∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
故第四个选项错误．
故选B．
2、D
【解析】根据抛物线顶点式的性质进行求解即可得答案.
【详解】∵解析式为
∴顶点为
故答案为：D.
【点睛】
本题考查了已知二次函数顶点式求顶点坐标，注意点坐标符号有正负.
3、B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：
在RtACD中，tanC．
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
4、C
【解析】分别过A、B作AD、BE垂直x轴，易证，则平行四边形ABPQ的面积等于矩形ADEB的面积，根据反比例函数比例系数k的几何意义分别求得矩形ADOC和矩形BEOC的面积，相加即可求得结果．
【详解】解：如图，分别过A、B作AD、BE垂直x轴于点D、点E，则四边形ADEB是矩形，
易证，
∴S矩形ABED，
∵点A在反比例函数上，
由反比例函数比例系数k的几何意义可得：
S矩形ADOC=|k|=3，
同理可得：S矩形BEOC=7，
∴S矩形ABED= S矩形ADOC+S矩形BEOC=3+7=10，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，熟练运用比例系数k的几何意义是解决本题的关键．
5、B
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】A：a=3，所以开口向上，故A错误；
B：对称轴=4，故B正确；
C：顶点坐标为(4，-2)，故C错误；
D：当x<4时，y随x的增大而减小，故D错误；
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质.
6、B
【分析】根据白、黄球共有的个数乘以白球的概率即可解答.
【详解】由题意得：12×=4，即白球的个数是4.
故选：B.
【点睛】
本题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
7、C
【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，
∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，
2BE=CE，
∴CE=2x，
∴2x=3﹣x，
解得：x=1，
∴CE=2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2=EC2，
BC===，
又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，
则菱形的面积是：AEBC=2．
故选C．
【点睛】
本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
8、D
【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．
【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF=10°, ∵OA=OF, ∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=1.
所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．
故选D．
【点睛】
本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.
9、D
【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题.
【详解】A选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意；
B选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意；
C选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意；
D选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键.
10、D
【详解】由题意知：△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，证出△BFG是等腰直角三角形，得出BG=FG=BF=，由三角形的外角性质得出∠AED=30°，由直角三角形的性质得出OE=OA，求出∠FEG=60°，∠EFG=30°,进而求出OA的值，即可得出答案.
【详解】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，如图所示
则∠BGF=∠EGF=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ADB=∠CBG=45°
∴△BFG是等腰直角三角形
∴BG=FG=BF=
∵∠ADB=∠EAD+∠AED，∠EAD=15°
∴∠AED=30°
∴OE=OA
∵EF⊥AE
∴∠FEG=60°
∴∠EFG=30°
∴EG=FG=
∴BE=BG+EG=
∵OA+AO=
解得：OA=
∴AB=OA=
故答案为
【点睛】
本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，综合性较强，需要熟练掌握相关性质.
12、2π
【解析】试题分析：如图，
∠BAO=30°，AO=，
在Rt△ABO中，∵tan∠BAO=，
∴BO=tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为1，
∴AB=，即圆锥的母线长为2，
∴圆锥的侧面积=．
考点：圆锥的计算．
13、3
【分析】根据线段垂直平分线的性质和折叠的性质得点B′与点A重合，BE＝AE，进而可以求解．
【详解】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝1．
根据勾股定理，得：BC＝2．
连接AE，
由作图可知：MN是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，BD＝AD，
由翻折可知：
点B′与点A重合，
∴△B′CE的周长＝AC+CE+AE
＝AC+CE+BE
＝AC+BC
＝6+2
＝3
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理和折叠的性质，通过等量代换把△B′CE的周长化为AC+BC的值，是解题的关键.
14、
【分析】根据降价后的价格=降价前的价格×（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1-x），第二次降价后的价格是560（1-x）2，据此列方程即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，
由题意得：560（1-x）2=1，
故答案为560（1-x）2=1．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
15、20°
【解析】先判断出∠BAD=140°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
∴∠BAD=140°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为140°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= (180°−∠BAD)=20°，
故答案为：20°
【点睛】
此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于判断出△BAD是等腰三角形
16、1．
【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，则DM=DE=2，在Rt△OEF中，利用三角形内角和定理可求出∠DFM=30°，在Rt△DMF中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF的长，此题得解．
【详解】过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．
∵OC是∠AOB的平分线，
∴DM＝DE＝2．
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，
∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．
在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，
∴DF＝2DM＝1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形，利用角平分线的性质及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出DF的长是解题的关键．
17、
【解析】试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案：
∵，，，，…，
∴。
18、
【解析】试题分析：本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．先把式子写成a2-32，符合平方差公式的特点，再利用平方差公式分解因式．
a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
考点：因式分解-运用公式法．
三、解答题(共66分)
19、 (1)y=x2﹣2x﹣3；(2)(1，－4)
【分析】（1）将两点代入列出关于b和c的二元一次方程组，然后进行求解；
（2）根据二次函数的顶点坐标的求法进行求解．
【详解】解：（1）把（﹣1，0），（3，0）代入y=x2+bx+c（a≠0）得
，解得
∴所求函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
（2）抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，
∴=﹣=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）
考点：待定系数法求函数解析式、二次函数顶点坐标的求法．
20、 (1)见解析；(2)．
【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC，
∴△ADE∽△BEC；
（2）解：∵△ADE∽△BEC，
∴，
即，
∴BE=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE的长度．
21、（1），；（2）
【分析】（1）利用三角形的面积可求出m的值，得出点A的坐标，再代入反比例函数即可得出K的值；
（2）利用（1）中得出的反比例函数的解析式求出当y=0时x的值，再根据反比例函数图象的增减性求解即可．
【详解】解：（1）∵，∴，.
∴，
∴，
∴点的坐标为代入，得；
（2）由（1）得，反比例函数的解析式为：
∵当时，
∵当时，y随x的增大而减小
∴的取值范围是．
【点睛】
本题考查的知识点是求反比例函数解析式以及反比例函数的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
22、（1）， 或；（2）P；（3）
【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）带入y＝ax2＋bx＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y﹤0；
（2）设出P点坐标，利用割补法将△ACP 面积转化为，带入各个三角形面积算法可得出与m之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；
（3）分两种情况讨论，一种是CM平行于x轴，另一种是CM不平行于x轴，画出点Q大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q坐标的方程，解出即可得到Q点坐标.
【详解】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）两点带入y＝ax2＋bx＋2可得：
解得：
∴二次函数解析式为.
由图像可知，当或时y﹤0；
综上：二次函数解析式为，当或时y﹤0；
（2）设点P坐标为，如图连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM=，PN=，AO=3.
当时，，所以OC=2
，
∵
∴函数有最大值，
当时，有最大值，
此时；
所以存在点，使△ACP 面积最大.
（3）存在，
假设存在点Q使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形
①若CM平行于x轴，如下图，有符合要求的两个点此时=
∵CM∥x轴，
∴点M、点C（0,2）关于对称轴对称，
∴M（﹣2,2），
∴CM=2.
由=；
②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，
易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即.
设M（x，﹣2），则有，解得：.
又QG=3,∴，
∴
综上所述，存在点P使以 A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
Q点坐标为：
.
【点睛】
本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OA, 根据角平分线的定义及等腰三角形的性质得出，从而有 ，再通过得出，即，则结论可证；
（2）根据 得，再利用角平分线的定义和直角三角形两锐角互余得出，然后利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出AE的长度．
【详解】（1）证明：连接 ，
平分，
．
，
，
，
，
，
,
，
，
∴AE是⊙O的切线；
（2）是直径，
．
又，
，
．
∵DA平分 ，
，
．
在中，
，
．
在中，，
,
．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
24、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据点P、Q的坐标求出直线PQ的解析式，得到点C、D的坐标，根据线段长度得到的度数；
（2）根据已知条件求出∠QOP=45，再由即可求出m的值；
（3）根据平行四边形及矩形的性质得到，，设设，得到点M的坐标，又由两者共同求出n，得到结果.
【详解】（1）由，，得，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（2）∵，
∴，
∴
易得，
∴，
∴（舍负）；
（3）∵四边形为平行四边形，
∴，
又，∴，
∴.
设.
则为代入，∴，∴，
又，∴，
由，得（舍负），
∴当时，符合题意.
【点睛】
此题是反比例函数与一次函数的综合题，考查反比例函数的性质，一次函数的性质，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质.
25、（1）1，（2）45°（3），
【解析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．
②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．
，
，
，，
，
，，
，
，
，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，
故答案为1，．
（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．
，
，
，
，
，，
，
，
直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．
（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
A，D，C，B四点共圆，
，，
，
，设，则，，
c．
如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，
，
．
【点睛】
本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26、（1）；（2）．
【分析】（1）一共有3种等可能的结果，恰为类的概率是
（2）根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解.
【详解】（1）
（2）
甲
乙
A
B
C
A
（A,A）
（A,B）
（A,C）
B
（B,A）
（B,B）
（B,C）
C
（C,A）
（C,B）
（C,C）
由表格可知，甲、乙两人投放的垃圾共有9 种结果，每种结果出现的可能性相同，
其中甲、乙投放的垃圾恰是不同类别的有6 种，即（A,B），（A,C），（B,A），（B,C），（C,A），（C,B）,
∴（甲、乙投放的垃圾是不同类别）．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图以及概率的求法.
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