欧拉线与两边所围成三角形的性质.pdf

引用格式：严君啸.欧拉线与两边所围成三角形的性质J.中等数学，2 0 2 3（4）：39-41.初等数学研究392023年第4期欧拉线与两边所围成三角形的性质严君啸（清华大学法学院法9 3班，10 0 0 8 4）摘要：揭示原ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新AB,C,的一种对称关系.既有文献已经证明A B,C,外心与ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明ABC外心与AB,C,欧拉线的逆斯坦纳点连线有同样的性质.亦给出ABC,的欧拉线平行于边BC的新证明.列出可能的三个新AB,CI、B C,A、CA,B,与ABC四者的一些关联性质.关键词：欧拉线；逆斯坦纳点；Gossard定理；位似；外心中图分类号：0 12 3文献标识码：A文章编号：10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 4-0 0 39-0 3文1 证明了如下命题：命题1设设ABC的欧拉线分别交边BC、CA、A B 于点A、B、Ci,O、O,、0,分别为AB,C、B C,A、CA,B,的外心,则AO,、BO2、CO,三线共点于ABC欧拉线的逆斯坦纳点E.其中,欧拉线的逆斯坦纳点是指欧拉线关于三角形三边的对称直线三线所共之点.此点位于三角形的外接圆上。为了研究方便，本文仅关注欧拉线与选定的两边所围成三角形（下文以AB,C,为例）的性质,探索其与ABC的关系.命题1揭示出两个三角形公共顶点与ABC欧拉线的逆斯坦纳点E的连线过AB,C,的外心Of.那么，两个三角形公共顶点与ABC,欧拉线收稿日期：2 0 2 2-0 6-13作者简介：严君啸（2 0 0 1一），男，浙江宁波人，清华大学学生。2元idx-e=d,(x)1dn(d,n)=1因为()在Zx)下不可约,所以导出矛盾，命题得证.4总结结合以上探索，得到了：(1)定义G,()=T,(x)-2,存在对应的首一整系数的“分角多项式()使得G,()=I1e,();dIn(2）n 3时,存在首一整系数多项式H,()使得H,(x)=9,();(3)n3时,H,()在Zx下不可约.这是与分圆多项式形式极其相似的一套分解.以上结果也能带来一些小收获，比如对“n(n3)分本原角”,有2 cos的极小多项Q(n)式为H,(),次数为类比单位根，也得到2了一套对余弦函数值的处理方法.在探究的过程中，也体会到了数学内在的结构美.参考文献：1顾滨.分圆多项式与西格蒙德定理J.中等数学，2019(2):2-7.40中等数学的逆斯坦纳点E，的连线是否过ABC的外心0？如图1（对称的命题同样成立）.下文将对此展开证明.为方便叙述，文中反复以相同含义出现的字母不再重复定义，引理1如图2,E、B、O、C,四点共圆.A1-11C10B111-11BC1-一1-1111E图2证明以d(P,I)表示点P到直线1的距离.由逆斯坦纳点的定义可知直线BC,与EC,关于直线AC,对称.则 d(A,B,C)=d(A,EC,).类似地,d(A,B,C)=d(A,EB,).于是,d(A,EC,)=d(A,EB).又点A在ZC,EB,内部，故点A在ZC,EB的内角平分线上。因此,ZC,EO,=ZO,EB.结合0,C,=0,B,易得E、B、O、C,四点共圆.【注】点A也可能在ZC,EB,的外部，此时点A在ZC,EB,的外角平分线上，ZC,EO,=180-0,EB,类似可证E、B、0 f、C,四点共圆.引理2 女如图3,在ABC中，O、H 分别为外心、垂心，E为AO延长线与BOC外接AC0EYBCE图1圆的交点，F为点A关于边BC的对称点，则EF/OH.CHBE图3证明由熟知性质,O、H 是ABC的一对等角共轭点.故 ZBAO=ZHAC.又 OA=OB,CA=CF,则A O B S A C F AO.AF=AB.AC.而ZAEB=ZOCB=ZACH,故A EB S A C HAH.AE=AB.AC.A0AH因此，EF/OH.AEAF命题2A B,C,的欧拉线平行于BC.证明如图4,设H,为AB,C,的垂心，F为AH,延长线与ABC外接圆的交点.A11HC0B1-BC1-1-EF图4由引理1和命题1可知E为AO延长线与B,O,C,外接圆的交点。下面证明本文的核心命题：A B,C i2023年第4期41由AF工B,Ci,B,C,过ABC的外心O,结合垂径定理得F为点A关于B,C,的对称点.故由引理2 知EF/0,H又由熟知性质,OI、H,是AB,C,的一对等角共轭点，故ZC,AO,=ZH,AB,=EF/BC.于是，O,H,/BC,即AB,C,的欧拉线平行于BC.【注】命题2 可以推广至如下命题：命题3在完全四边形中，若一条边平行于另外三条边围成三角形的欧拉线，则每条边都有同样的性质，2 命题4(Zeeman-Gossard定理）B C,A、CA,B,的三条欧拉线所围成三角形与ABC位似，位似中心在ABC的欧拉线上.3命题5设ABC的欧拉线分别交边CA、A B 于点B、Ci，O 为ABC的外心,E,为ABC,欧拉线的逆斯坦纳点,则A、O、E三点共线.证明如图5，设AB,C,的欧拉线分别交边C,A、A B,于点B、C2,O,为AB,C,的外心.AB2CC0HBEYBC图5由命题2 知B,C2/BC，故AB,C与A B C关于点A位似.因此,A、0,、0 三点共线.又由命题1知A、O 2、E,三点共线.故A、0、E,三点共线.本文研究的是欧拉线及选定的两边所围成三角形与原三角形的关联性质.事实上，欧拉线与两边所围成三角形可有三个，这三个三角形与原三角形共同形成一些关联性质.本文最后仅给出四个相关的命题，不再进一步展开，感兴趣的读者可自行探索。设ABC的欧拉线分别交边BC、CA、A B于点A、B、Ci,O、O 1、0 2、0,分别为ABC、A B,Ci、B C,A、CA B,的外心,E、E,、E2、E,分别为ABC、A B,Ci、B C,A、CA,B欧拉线的逆斯坦纳点，则：(1)0、0 f、0 2、0、E、E,、E2、E,八点共圆厂；(2)0,O,0,的垂心H在ABC的欧拉线上；（3）E,E,E,的内心I在ABC的欧拉线上；（4)的圆心L在HI的中垂线上；(5)H在O,O,O,与ABC的透视轴d上,且d工LH;(6)E在E,E,E,与ABC的透视轴l上,且1工LI;（7）I 与ABC欧拉线的交点在圆上参考文献：1】严君啸.欧拉线的逆斯坦纳点性质初探.中等数学,2 0 2 1(3):19-2 1.2Dao Thanh Oai.A generalization of the Zeeman-Gossardperspector theorem J.International Journal of ComputerDiscovered Mathematics,2016(1):76-79.3O.D.Kellogg.The Ninth Regular Meeting of the South-western SectionJ.Bull.Amer.Math.Soc.,1916:215-219.