问题2709的简证与推广.pdf

2024 年第 1 期(上半月刊)中学数学研究45问题 2709 的简证与推广上海市奉贤区四团镇景秀高级中学(201499)张 超王志和摘要本文先用平面几何方法,寥寥几笔就证明了一道难度较大的平面解析几何题目的推广,然后再证明这个结论在双曲线和抛物线情形下也有相应结论.关键词 椭圆征解题;平几简证;类比推广数学通报 2023 年 3 期数学问题与解答 2709:如图 1,A,B 是椭圆x2a2+y2b2=1(a b 0)的长轴的端点,P 是椭圆外一点,不在 x 轴上,线段 PA,PB 分别交椭圆于点 D,C,线段 AC 与 BD 交于 Q,线段 PQ 交椭圆于 E,延长 PQ 交AB 于 F,求证|PE|=|EF|的充要条件是|EQ|=|QF|.简证及推广见结论 1.结论 1 如图 1,A,B 是椭圆x2a2+y2b2=1,(a b 0),的长轴的端点,P 是椭圆外一点,不在 x 轴上,线段 PA,PB分别交椭圆于点 D,C,线段 AC 与 BD 交于 Q,线段 PQ 交椭圆于 E,延长 PQ 交 AB 于 F,则|PE|EF|=|EQ|QF|.证明在椭圆x2a2+y2b2=1 中,令x=x,y=bay,则椭圆变换成圆:(x)2+(y)2=a2,如图 2,由直径所对的角是直角,可知 Q 点是 PAB 的垂心.由此得 PQAB,且点P,E,Q,F 都在与 AB 垂直的同一条直线上,因而,这四点形成的比例关系在圆中与椭圆中是不变的.图 1图 2在图 2 中,AQF v PFB,得QFFB=AFPF,变为 AF FB=QF PF,而 AF FB=EF2,所以,QF PF=EF2,即PFEF=EFQF,就是PE+EFEF=EQ+QFQF,进而得到:PEEF=EQQF.根据压缩变换纵向比值不变,因而对于椭圆,在图 1 中也有|PE|EF|=|EQ|QF|.显然|PE|=|EF|的充要条件是|EQ|=|QF|.结论 7已知抛物线 :y2=2px(p 0),过 内定点P(s,0)的直线 l 交 于 A,B 两点,交直线 x=n(n b 0)的右焦点 F(c,0),过点 F的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A,B 两点,P 是线段 AB 的中点.(1)求点 P 的轨迹 H 的方程.解析设椭圆 Q:x2a2+y2b2=1 上的点 A(x1,y1),B(x2,y2),又设 P 点坐标为 P(x,y),则b2x21+a2y21=a2b2,1b2x22+a2y22=a2b2.21当 AB 不垂直 x 轴,由(1)(2):b2(x1x2)2x+a2(y1y2)2y=0,所以y1 y2x1 x2=b2xa2y=yx c,所以b2x2+a2y2 b2cx=0.32当 AB 垂直 x 轴时,点 P 即为点 F,满足方程(3),故 H的轨迹方程为:b2x2+a2y2 b2cx=0.参考文献1 王东海.深度探究善解题 追根溯源探本质 J.理科考试研究,2023(03):28-31.2 王东海.一道联考试题的解法探究、背景分析及拓展推广 J.数学通讯,2023(04):41-44.3 王东海.对一道解析几何夹角问题的深入探究 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023(04 上):33-35.46中学数学研究2024 年第 1 期(上半月刊)结论 2A,B 是双曲线x2a2y2b2=1(a 0,b 0)的左右顶点,P 点位于双曲线右支上侧的一点,使直线PA 与双曲线右支交于 C,过 P 作垂直于 x 轴的直线,图 3垂足是 F,直线 PF 与双曲线交于 E(E 在 x 轴上方),直线PF 与直线 BC 交于 Q 点,则|PE|EF|=|EQ|QF|.证 明设 C(asec,btan),E(asec,btan),直 线BC:y=btanasec a(x a),则|QF|=yQ=btanasec a(asec a),即|QF|=bcos sin 1 cos1 cos.1|EQ|=|EF|QF|=btan (bcos sin 1 cos1 cos)=bcos(sin sin(1 cos)1 cos)=bcossin sin+sin()1 cos=bcos2cos+2 sin2+2sin2cos21 cos=bcos2sin 2(cos+2 cos 2)1 cos=bcos4sin 2 sin2 sin21 cos,即|EQ|=bcos4sin 2 sin2 sin21 cos.2把1式变为|QF|=bcos4sin2 cos2 sin221 cos.3由2式与3式得|EQ|QF|=sin 2cos2sin2.4直线 AC:y=btanasec+a(x+a),则|PF|=yP=btanasec+a(asec+a),即|PF|=bcos sin 1+cos1+cos.|PE|=|PF|EF|=bcos sin 1+cos1+cos btan=bcos(sin(1+cos)1+cos sin)=bcossin sin+sin()1+cos=bcos2cos+2sin2+2sin2cos21+cos=bcos2sin 2(cos+2+cos 2)1+cos=bcos4sin 2 cos2 cos21+cos.即|PE|=bcos4sin 2 cos2 cos21+cos,又|EF|=btan=bcos sin,则|PE|EF|=4sin 2 cos2 cos2(1+cos)sin=4sin 2 cos2 cos22cos22 2sin2cos2=sin 2cos2sin2.即|PE|EF|=sin 2cos2sin2,5由4式与5式得:|PE|EF|=|EQ|QF|.结论 3点 P 在第一象限且位于抛物线 y2=2px(p 0)的图像外侧,过P 作 x 轴的平行线与抛物线交于 C 点,再过 P 作 x 轴的垂线,垂足是 F,直线 PF 交图 4抛物线于 E(E 在 x 上方),交直线 OC 于 Q(其中 O 是坐标原点),则|PE|EF|=|EQ|QF|.证明设 C(x0,y0),E(x1,y1),|PE|=|PF|EF|=y0 y1,所以,|PE|EF|=y0 y1y1,直线 OC:y=y0 x0 x,则|QF|=yQ=y0 x0 x1=y0y20/(2p)y212p,化为|QF|=y21y0.|EQ|=|EF|QF|=y1y21y0=y1(y0 y1)y0,得到|EQ|QF|=y0 y1y1,于是,|PE|EF|=|EQ|QF|.结论 3 的发现途径:把抛物线看成是长轴无限长的椭圆,椭圆的左端点是原点 O,椭圆的右端点是无穷远点,由椭圆的结论发现了抛物线的结论.