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2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究15经历数学“再发现”发展逻辑推理素养 以张景中院士“三共定理”的拓展教学为例浙江省衢州市衢江锦绣中学(324022)余正龙浙江省衢州市衢江区第一初级中学(324022)徐建兵摘要逻辑推理是数学发展的主要依赖,是数学思维的重要内容.义务教育阶段数学思维主要表现为运算和推理能力.把具有逻辑联系的问题进行整合设计,让学生经历数学“再发现”的过程,有利于发展学生的逻辑推理素养,形成更好的理性思维品质.关键词 探究活动;逻辑推理;数学思维;核心素养义务教育数学课程标准(2022 年版)(以下简称 课标 2022)提出初中阶段数学核心素养由三个方面构成:会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界1.史宁中教授把这“三会”具体化为数学眼光即数学抽象,数学思维即逻辑推理,数学语言即数学模型,他认为数学教育的根本就是培养学生的数学直观,而数学直观是在长期进行的数学思维活动中养成的一种思维习惯,思维习惯的养成离不开数学“再发现”的过程2.张景中院士提出学习推理要从简单开始,由浅入深,先学习用一个条件推理,再进一步学习用两个条件和三个条件推理.在三角形的面积问题中,他提出共高定理、共边定理和共角定理,从一个条件推出一个结论的命题,证起来容易,用起来简单3.在浙教版八年级上册第一章节“1.1 认识三角形”中,数学教学参考书 给出让学生会用三角形的角平分线、中线和高线的概念,解决有关角度、面积计算等问题,教材在例题中设有角度计算问题,把与面积相关的问题放在了探究活动中(如图 1),还特别强调的这一问题的重要性.三角形中线平分面积是三角形中“等底同高”的应用,三角形的高线分面积是“不等底同高”的问题,而角平分线分面积是“不等底等高”的问题.笔者尝试以三角形的中线平分面积为起点,图 1通过方案设计、原理追溯、归纳探究和拓展应用,在让学生经历三共定理数学“再发现”的过程中,发展学生的逻辑推理素养,逐步形成理性精神4.1 教学设计与意图1.1 在方案设计的发散与收敛中发展学生逻辑推理活动 1:方案设计现有一块三角形的草皮,要对其进行改造,把它分成四块面积相等的三角形,在每块三角形上种植不同类型的花,形成一个美丽的花坛.请以小组形式汇报讲解设计图并说明理由.图 2设计.作业题目应尽可能多的去展现在考试中出现几率多的典型题.6 结语总之,在如今双减的大环境下,教学策略势必要做出转变,初中数学教师可以从作业作为切入点,践行减轻学生作业负担的要求,并通过作业的布置达到巩固知识与提升的目的,这会是一个需要教师深入挖掘的事情,保证学生能够在轻松完成作业的同时获得一定程度的收获.参考文献1 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2022 年版)M.北京师范大学出版社,2022.2 韩锦平.“双减”背景下初中数学差异化作业设计探索 J.数学之友,2021(06):57-58.3 何正花.双减背景下中学数学前置作业的量与设计的研究 J.新课程,2021(49):89.4 陈明明.优化课后作业设计提高学生学习效率 J.新课程 2021(30):189.16中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)设计意图 发散思维是指根据已有信息,从不同角度、不同方向进行思考,寻求多样性答案的一种思考方式,是创造性思维的最主要的特点,是培养学生创新意识和应用能力的表现之一.发散思维后的收敛思维,使思维条理化、简明化、逻辑化和规律化,是逻辑推理素养发展重要路径.活动 1 采用小组合作形式进行三角形面积四等分的方案设计,调动学生的积极性,培养学生的发散思维.图 2 的多种设计方案让学生把问题的解决聚焦到“中线平分面积”这一个数学的本质上,在交流与合作中体会归纳不同取点的分割方法,在经历数学“再发现”的过程中发展学生的逻辑推理.1.2 在追本溯源的理性研究中发展学生逻辑推理活动 2:推理论证求证:三角形的中线平分这个三角形的面积.已知:如图 3,在 ABC 中,CD 是 AB 边上的中线.求证:SADC=SBDC证明:过 C 点作 CEAB,SADC=12AD CE,SBDC=12BD CE,因为 AD=BD,所以 SADC=SBDC.变式 1:如图 4,在 ABC 中,CD 是 AB 边上的中线.AECD,BFCD.求证:AE=BF.证明:因为 CD 是 AB 边上的中线,所以 SACD=SBCD,所以12CD AE=12CD BF,所以 AE=BF.变式 2:如图 5,在 ABC 中,CD 是 AB 边上的中线,DEBC,DFAC.求证:ACBC=DEDF证明:因为 CD 是 AB 边上的中线.所以 SACD=SBCD,所以12AC DF=12BC DE,所以ACBC=DEDF.图 3图 4图 5设计意图学起于思,思源于疑,教学中要善于诱发学生在“是什么”的基础上追问“为什么”,以问题引领新问题,在追本溯源的推理论证中发展学生的逻辑推理素养,逐步形成理性精神4.活动 2 利用同高等底证明三角形中线平分面积的性质,是其“共高定理”中面积相等的特殊形式.变式 1让学生经历等底同高到同底等高的变化过程,学会多角度思考问题.变式 2 则从两个等面积的“共高三角形”中,不同底和不同高的视角思考问题,通过本环节问题的解决,揭示张景中院士提出的“共高定理”:若 D 在 AB 边上一点,则有SADCSBDC=ADBD.通过三个不同的视角下高与底的变化的推理与证明让学生建立数学对象之间、数学与现实世界的逻辑联系,在发展学生逻辑推理中构建从“共高定理”延伸到“共角定理”和“共边定理”的逻辑体系,为后续的教学做好铺垫.1.3 在归纳探究的小组活动中发展学生逻辑推理活动 3:数学归纳已知 ABC 的面积是 1.(1)如图 6,D 是 AB 边的中点,E 是 BD 的中点.则BE BCAB BC=,阴影部分的面积 S=.(2)如图 7,E 是 AB 边的一个四等分点,G 是 BC 边的一个三等分点.则BE BGAB BC=,阴影部分的面积S=.(3)如图 8,D 是 AB 边的一个四等分点,G 是 BC 边的三等分点.则BD BGAB BC=,阴影部分的面积 S=.(4)如图 9,D、E 是 AB 边的两个四等分点,H、I 分别是BC、AC 边的三等分点.请你用前面问题解决中归纳猜想的结论求 S 的值.图 6图 7答 案:(1).14,14;(2).16,16;(3).12,12;(4).S=1 1 24 32 14 31 23 3=49.图 8图 9设计意图 归纳研究是指一种由一系列的特殊性的前提概括出一般性结论的研究方法,有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯,形成实事求是的科学态度与理性精神.其作用是对人们在实践中认识了的一个个具体事例或个别判断加以总结、概括,得出一般性的结论,从而获取知识,发现真理.活动 3 是在活动 2 的认知基础上出现的一类特殊“共角”三角形,是“共高”到“共边”的过渡.通过这一类等分点的计算,让学生在连线分割构造运用“共高定理”的方法中计算,猜想发现张景中院士提出的“共角定理”:如图 7,若ABC=EBG,则有SEBGSABC=AB BCBE BG.用这种方法在解决问题(4)的时候可以起到事半功倍的作用.通过活动3 学生在经历计算、观察、归纳、猜想发现结论的过程中,培养学生数学归纳的能力.在问题串的设计中采用等分点的面积2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究17问题计算,让学生易懂易学,化繁为简,让学生在经历规律探索中发展逻辑推理能力.1.4 在拓展应用的问题解决中发展学生逻辑推理活动 4:拓展应用如图 10,D、E 是 AB 边的两个四等分点,H、I 分别是BC、AC 边的三等分点.若 ABC 的面积为 1.DH 与 EI交于点 O,阴影部分的面积为 S,则 S=.解:因为SODESIDO=SOHESIHO=OEOI.SIDO=16 S,SOHE=112 S,SHO=S四边形DEHI SODESOHE=736+S,所以S16 S=112 S736+S,解得 S=132.变式:如图 11,AD 与 CE 相交于点 F,若 S1=1,S2=2,S3=3,阴影部分的面积为 S4,则 S4=.图 10图 11解法 1:如图 12,连接 DE,S1S2=SDEFS3=DFAF,所 以 SDEF=32,设 SDEB=x,因 为SADESBDE=SACESBCE=AEBE,所以3+32x=2+31+32+x,解得 x=452,所以 S4=32+452=24.图 12图 13解法 2:如图 13,连接 BF,设 SBEF=x,SBDF=y,由SAECSBCE=SAEFSBEF=AEBE,得2+31+x+y=3x,去分母得2x 3y 3=01由SACDSABD=SCFDSBFD=CDBD,得1+23+x+y=1y,去分母得2y x 3=0.2由12得x=15,y=9,所以 S4=15+9=24.设计意图 课标 2022 指出运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力1.在利用“共角定理”出现之前,运用“共高定理”解决活动 3 中问题(4)时,会引出IE 和 DH 相交于点 O 点的结构图形.当学生发现 ODE、IDO、IHO 和 OHE 不再是等分点上的三角形,自然地从等分点问题过渡到一般的面积问题.因为 ODE、IDO、IHO 和 OHE 是两两共高的三角形,根据“共高定理”,当高相等时,面积比等于底的比,当底相同时,面积比等于高的比,这是研究同底不等高和不等底同高三角形面积的有效方法,通过问题的解决发现“共边定理”:如图 10 中具有“共边定理”的基本图形,IE 和 DH 相交于点 O 点,则有SIDESIHE=ODOH.在变式中,通过连接 DE 或 BF 都能构造出两个“共高定理”的模型,获得SADESBDE=SACESBCE=AEBE和SAECSBCE=SAEFSBEF=AEBE,三角形面积问题的本质就是高与底的问题,活动 4 中两个问题的图形是“共边定理”的两种基本图形,通过对问题的研究和解决,引导学生推理“共边定理”,在问题解决过程中让方法和原理更加结构化和系统化,培养逻辑推理,形成理性精神.2 教学反思与建议史宁中教授说过要改变教学设计的思路,不能像传统的数学教学那样,按照每一节课或每一个知识点进行教学设计,而应当把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整合设计2.本节课以教材探究活动为起点,从方案设计、原理追溯、归纳推理和拓展应用等环节展开,整堂课围绕着数学“再发现”的教学策略,利用数学知识的内在逻辑关联为学生构建一层层深入的认知链,引导学生通过归纳、类比、推广、特殊化等方式开展思维活动,通过逻辑推理达到对问题本质的深刻认识,这是思维深刻性品质的培养的过程,也是逻辑推理素养得到发展的过程.通过本节课实践与研究,让笔者对发展逻辑推理素养的教学有了清晰的认识,在教学设计时,一定要了解学生认知水平,选择内容要体现数学知识的本质,无论是新授课教学还是专题复习课都要让学生拥有一个数学“再发现”的过程;要创设合适的教学情境,提出“关联性”的数学问题,让学生在问题解决中明白知识之间的逻辑关系;要启发学生思考、鼓励学生与他人交流,让思维的火花在观点的碰撞中形成;要让学生在掌握知识技能的同时,理解数学知识的本质,学会用数学的思维思考问题;要让学生在问题解决的过程中感悟数学的思想、形成和发展数学核心素养,培养学生拥有“数学家的思维”5.参考文献1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022 年版)M.北京:北京师范大学出版社,2022(4).2 史宁中,林玉慈,陶剑,郭民.关于高中数学教育中的数学核心素养史宁中教授访谈之七 J.课程教材教法,2017(4):8-14.3 张景中,彭翕成.一线串通的初等数学 J.数学通报,2010(4):1-5.4 章建跃.数学思维品质的培养与逻辑推理素养的发展 J.中学数学教学参考(上旬),2020(8):11-16.5 吴仁芳,陈珍妮,赵凝.数学思维品质的教育价值 J.教学与管理(理论版),2022(9):16-20.