汇编《由面积产生的函数关系问题》含答案.doc

由面积产生的函数关系问题例1 如图1，在RtABC中，ACB90，AC4，cosA，点P是边AB上的动点，以PA为半径作P （1）若P与AC边的另一个交点为D，设APx，PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若C的半径等于1，且P与C的公共弦长为，求AP的长图1 备用图例1 如图1，在RtABC中，ACB90，AC4，cosA，点P是边AB上的动点，以PA为半径作P （1）若P与AC边的另一个交点为D，设APx，PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若C的半径等于1，且P与C的公共弦长为，求AP的长图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15徐汇25”，拖动点P在AB上运动，观察MN的度量值，可以体验到，MN1.41的时刻只有一个，MN与圆心距CP相交思路点拨1PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距2若P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等3C的半径等于1，公共弦MN，那么CMN是等腰直角三角形在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（P的半径）的方程满分解答（1）如图2，在RtABC中， AC4，cosA，所以AB16，BC设弦AD对应的弦心距为PE，那么AEAPx，PEAPx所以ySPCD定义域是0x8（2）若P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PFPE因此四边形AEPF是正方形（如图3），设正方形的边长为m由SABCSACPSBCP，得ACBCm(ACBC)所以m此时AE，AP4AE图2 图3（3）如图4，设C与P的公共弦为MN，MN与CP交于点G由于CMCN1，MN，所以CMN是等腰直角三角形，CGNG如图5，作CHAB于H，由AC4，那么AH1，CH215所以CP因此PG（如图4）如图4，在RtPNG中，由勾股定理，得整理，得2x264x2570解得，（舍去）图4 图5考点伸展第（2）题也可以这样计算：由于PFBP，由PEPF，得解得例2 如图1，在四边形OABC中，AB/OC，BCx轴于点C，A(1,1)，B(3,1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q设点P移动的时间为t秒（0t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式图1例2 如图1，在四边形OABC中，AB/OC，BCx轴于点C，A(1,1)，B(3,1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q设点P移动的时间为t秒（0t2），OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90，是否存在t，使得OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式图1动感体验请打开几何画板文件名“14黄冈25”，拖动点P从O开始向右运动，可以体验到，重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形点O和点Q各有一次机会落在抛物线上思路点拨1OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状2试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论满分解答（1）由A(1,1)、B(3,1)，可知抛物线的对称轴为直线x1，点O关于直线x1的对称点为(4,0)于是可设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点A(1,1)，得3a1解得所以顶点M的坐标为（2）OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,t)（3）旋转后，点O的坐标为(2t,2t)，点Q的坐标为(3t,t)将O(2t,2t)代入，得解得将Q(3t,t)代入，得解得t1因此，当时，点O落在抛物线上（如图2）；当t1时，点Q落在抛物线上（如图3）图2 图3（4）如图4，当0t1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ此时St2如图5，当1t1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA此时AF2t2此时S图4 图5如图6，当1.5t2时，重叠部分是五边形OCEFA此时CECP2t3所以BEBF1(2t3)42t所以S图6考点伸展在本题情景下，重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系？如图4，如图5，如图6，例3 如图1， ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，由PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1 例3 如图1， ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：当P运动到何处时，由PQAC？当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1 动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点请打开超级画板文件名“13菏泽21”，拖动点P由A向D运动，观察S随P变化的图像，可以体验到，当S最小时，点Q恰好是AC的中点思路点拨1求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由ADBC可以得到2设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来3四边形PDCQ的面积最小，就是APQ的面积最大满分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)由于B、C关于OA对称，所以B(4,0)，BC8因为AD/BC，ADBC，所以D(8,3)将B(4,0)、D(8,3)分别代入，得解得，c3所以该二次函数的解析式为（2）设点P、Q运动的时间为t如图2，在APQ中，APt，AQACCQ5t，cosPAQcosACO当PQAC时，所以解得图2 图3如图3，过点Q作QHAD，垂足为H由于SAPQ，SACD，所以S四边形PDCQSACDSAPQ所以当AP时，四边形PDCQ的最小值是考点伸展如果把第（2）题改为“当P运动到何处时，APQ是直角三角形？”除了PQAC这种情况，还有QPAD的情况这时，所以解得（如图4所示）图4例4 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）图1例4 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”，拖动点E由A向B运动，观察图象，可以体验到，ADE的面积随m的增大而增大，CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，E在AB的中点时，CDE的面积最大思路点拨1ADE与ACB相似，面积比等于对应边的比的平方2CDE与ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比满分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如图2，因为DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范围是0m9图2 图3（3）如图2，因为DE/CB，所以因为CDE与ADE是同高三角形，所以所以当时，CDE的面积最大，最大值为此时E是AB的中点，如图3，作EHCB，垂足为H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，当E与BC相切时，所以考点伸展在本题中，CDE与BEC能否相似？如图2，虽然CEDBCE，但是BBCAECD，所以CDE与BEC不能相似例5 如图1，图2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如图1，AHBC于点H，则AH_，AC_，ABC的面积SABC_拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F设BDx，AEm，CFn（当点D与点A重合时，我们认为SABD0）（1）用含x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)与x的函数关系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值图1 图2例5 如图1，图2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如图1，AHBC于点H，则AH_，AC_，ABC的面积SABC_拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F设BDx，AEm，CFn（当点D与点A重合时，我们认为SABD0）（1）用含x，m或n的代数式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)与x的函数关系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”，拖动点D由A向C运动，观察(mn)随x变化的图象，可以体验到，D到达G之前，(mn)的值越来越大；D经过G之后，(mn)的值越来越小观察圆与线段AC的交点情况，可以体验到，当D运动到G时（如图3），或者点A在圆的内部时（如图4），圆与线段AC只有唯一的交点D图3 图4答案 探究 AH12，AC15，SABC84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC边上的高，所以x的取值范围是x14所以(mn)的最大值为15，最小值为12（3） x的取值范围是x或13x14（4） 发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为例6 如图1，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧设E、F运动的时间为t秒(t0)，正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为S （1）当t1时，正方形EFGH的边长是_；当t3时，正方形EFGH的边长是_；（2）当1t2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段请打开超级画板文件名“11淮安28”，拖动点F由P向B运动，可以体验到，点E在向A运动时，正方形EFGH越来越大，重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形；点E折返以后，正方形EFGH的边长为定值4，重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形在整个运动过程中，S的最大值在六边形这个时段例6 如图1，在RtABC中，C90，AC8，BC6，点P在AB上，AP2点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧设E、F运动的时间为t秒(t0)，正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为S （1）当t1时，正方形EFGH的边长是_；当t3时，正方形EFGH的边长是_；（2）当1t2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1思路点拨1全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工2这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择满分解答（1）当t1时，EF2；当t3时，EF4（2）如图1，当时，所以如图2，当时，于是，所以如图3，当时，所以图2 图3 图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时图5 图6 图7考点伸展第（2）题中t的临界时刻是这样求的：如图8，当H落在AC上时，由，得如图9，当G落在AC上时，由，得图8 图917