圆的方程.doc

(完整word)圆的方程
圆的方程
二、知识要点梳理
知识点一:圆的标准方程
　　，其中为圆心，为半径.
　　要点诠释:
　　（1)如果圆心在坐标原点,这时,圆的方程就是.有关图形特征与方程的转
　 　　化：如:圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；
　 　　与坐标轴相切时：；过原点:
　　（2)圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点.
　　(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要
　 　　a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.
知识点二：点和圆的位置关系
　　如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
　　(1)若点在圆上
　　（2）若点在圆外
　　(3）若点在圆内
知识点三：圆的一般方程
　　当时，方程叫做圆的一般方程.为圆心，为半径。
　　要点诠释：
　　由方程得
　　(1)当时，方程只有实数解。它表示一个点.
　　（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
　　（3）当时，可以看出方程表示以为圆心,为半径的圆。
知识点四：几种特殊位置的圆的方程
条件
方程形式
标准方程
一般方程
圆心在原点

过原点

圆心在x轴上

圆心在y轴上

圆心在x轴上且过原点

圆心在y轴上且过原点

与x轴相切

与y轴相切

三、规律方法指导
1．确定圆的方程的方法和步骤
　　求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：
　　(1）根据题意，选择标准方程或一般方程.
　　(2）根据已知条件，建立关于或的方程组.
　　（3)解方程组，求出或的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.
2．圆的标准方程与一般方程的转化：
　　标准方程一般方程。
经典例题透析
类型一：圆的标准方程
　　1．求过点A(5，2）,B(3，-2)，圆心在直线2x-y=3上的圆的方程.
　　思路点拨：已知圆过两点,所给第三个条件和圆心有关，因此可设圆的标准方程，利用待定系数法解决问题。
　　解析：
　　解法1：设圆的方程为
　　　　　 则
　　　　　 ∴圆的方程为（x—2）2+（y—1)2=10
　　解法2：线段AB的中垂线方程为x+2y—4=0，则与直线2x-y=3的交点（2，1）即为圆心，
　　　　　 圆心与点A(5，2）的距离即为半径。
　　总结升华：圆心或半径的几何意义明显，则可设标准方程。
　　举一反三:
　　【变式1】求满足下列条件的各圆的方程：
　　(1)圆心在原点，半径是3；
　　(2)圆心在点,半径是；
　　（3）经过点，圆心在点
　　解析：(1)
　　　　　（2)
　　　　　(3）解法一:∵圆的半径，圆心在点
　　　　　 　　　　　∴圆的方程是
　　　　　 　解法二：∵圆心在点，故设圆的方程为
　　　　　 　　　　　又∵点在圆上，∴，∴
　　　　　 　　　　　∴所求圆的方程是.
　　总结升华：一般情况下,如果已知圆心或易于求出圆心,可用圆的标准方程来求解,用待定系数法，求出圆心坐标和半径。
类型二：圆的一般方程
　　2．求过三点A（1，12），B（7,10）,C(—9，2)的圆的方程，并求出圆的圆心与半径,作出图形.
　　思路点拨：因为圆过三个定点，故可以设圆的一般方程来求圆的方程。
　　解：设所求的圆的方程为,
　　　　依题意有
　　　　解得D=—2，E=—4，F=-95.
　　　　于是所求圆的方程为x2+y2—2x-4y-95=0.
　　　　将上述方程配方得(x—1)2+（y-2）2=100。
　　　　于是，圆的圆心D的坐标为（1,2)，半径为10，图形如图所示.

　　总结升华：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法来求解.利用圆经过不在同一直线上的三点的条件，由待定系数法求出圆的一般式方程，并由此讨论圆的几何性质，这是解题的捷径.
　　对于由一般式给出的圆的方程，研究其几何性质(圆心与半径等)时，常可用配方法或公式法加以求解.如由公式可得。
　　举一反三：
　　【变式1】根据下列条件分别写出圆的方程:
　　（1）圆过三个点（2，2），（5，3)，(6，0)；
　　(2)圆过三个点。
　　思路点拨：已知圆过三个点，且圆心、半径不明确,故可用一般方程来求解.
　　解析：(1）设圆的方程为:，解得：
　　　　　　 ∴ 所求圆方程为：;
　　　　　（2)设所求的圆的方程为：
　　　　　　 ∵在圆上,所以它们的坐标是方程的解.
　　　　　　 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，
　　　　　　 即
　　　　　　 解此方程组,可得：。
　　　　　　 ∴所求圆的方程为:。
　　　　　　 ;.
　　　　　　 得圆心坐标为（4,-3)。
　　总结升华:
　　（1)圆的一般方程的形式要熟悉，并且能和圆的标准方程的形式区分开；
　　（2)在求解圆的方程时要分析设哪种形式更简单。
　　【变式2】根据下列条件分别写出圆的方程：
　　(1)以A（4，9)、B（6，3）所连线段为直径;
　　（2)圆过点（0，0）和(1，2)，圆心在直线上；
　　(3)圆过三个点(2，2)，（5，3）,(6，0);
　　（4）圆过点P(3，2)，圆心在直线，且与交于Q（3，6）;
　　(5）与圆同圆心,且面积等于圆C面积的一半。
　　思路点拨：[1］充分利用平面几何知识(圆的性质);［2]选择适当形式的圆方程.
　　解析:（1）显然AB中点C（5，6)为圆心。

　　　　　　 ∴ 圆方程为：；
　　　　　(2）设圆心为M(a,b），∴ ［1]，
　　　　　　 又圆过点(0，0)和（1，2），
　　　　　　 ∴ [2]，联立［1］[2］解得，
　　　　　　 所求圆的方程为:；
　　　　　(3）设圆的方程为：，解得：
　　　　　　 ∴ 所求圆方程为：；
　　　　　（4）∵ 圆过点P、Q，∴ 圆心为M(a，b）在PQ的中垂线y=4上，
　　　　　　 ∴ ∴ ∴
　　　　　　 ∴ 所求圆方程;
　　　　　(5）圆心为（1，0），半径为，
　　　　　　 由已知,所求圆半径为所求圆的方程为：.
　　【变式3】求圆心在直线x—y—4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程。
　　解析:设经过两已知圆的交点的圆的方程为

　　　　　整理，得
　　　　　则其圆心坐标为.
　　　　　∵所求圆的圆心在直线上,
　　　　　∴.
　　　　　∴所求圆的方程为.
　　总结升华：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程.
类型三：点与圆的位置关系
　　3．写出以点A(2,-3)为圆心,5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5，-7），N（2，—1)与该圆的位置关系.
　　思路点拨:求点与圆之间的距离是关键.
　　解析：圆的标准方程为
　　　　　，∴点M在圆上；
　　　　　，∴点N在圆内。
　　总结升华：判断点与圆的位置关系就是判断点到圆心的距离与半径的大小关系.
　　举一反三：
　　【变式1】已知圆的方程为，试判断点M(6，9)、N（3,3)、Q(5,3)是在圆上、圆内还是圆外？
　　解析:分别计算点到圆心的距离：

　　　　　所以，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。
类型四：与圆有关的轨迹问题
　　4．设定点M(—3，4），动点N在圆运动,以OM、ON为两边作MONP，求点P的轨迹．
　　思路点拨：本题关键是找出点P与定点M及已知动点N之间的联系，用平行四边形对角线互相平分这一定理即可．
　　解析：如图所示,设,，则线段OP的中点坐标为，
　　　　　线段MN的中点坐标为。

　　　　　因为平行四边形的对角线互相平分,故,,
　　　　　则有，即。
　　　　　又点N在圆上，
　　　　　故。
　　　　　因此，所求轨迹为圆：,但应除去两点和.
　　总结升华：
　　（1)如果动点的轨迹依赖于另一动点的轨迹，而又在已知曲线上，则可先列出
　　　 关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程,
　　　 此法称为相关点法(亦称代入法或转移法或中间量法）．
　　（2）本题容易出现忽视两点和，其原因是求出轨迹方程后没有验证，这两点与点M、
　　　 N共线,不能构成平行四边形．避免出现此类错误的方法是验证满足轨迹方程的点是否都符合条件．
　　举一反三:
　　【变式1】等腰△ABC的底边一个端点B（1，-3)，顶点A(0，6）,求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
　　思路点拨：可以判断出C的轨迹以A为圆心，半径为|AB|的圆。利用直接法求出方程.
　　解析：由题意得|CA｜=｜AB|，则点C到定点A的距离等于定长|AB|，
　　　　　所以C的轨迹是圆.
　　　　　又,
　　　　　C的轨迹方程为[除去点(—1，15）和点(1,—3)]，
　　　　　即C的轨迹形状是以点A(0,6)为圆心，半径为的圆，其中去除点（—1，15）和点(1,—3).
　　【变式2】求动圆的圆心的轨迹方程。
　　解析：由得到:，
　　　　　圆心为，又或，
　　　　　所求圆心的轨迹方程为：或.
直线、圆的位置关系
二、知识要点梳理
知识点一:直线与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系：
　　(1）直线与圆相交,有两个公共点；
　　(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
　　（3)直线与圆相离,没有公共点。
2。直线与圆的位置关系的判定：
　　(1）代数法：
　　　 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解,直线与圆C有公共点。
　　　 有两组实数解时,直线与圆C相交；
　　　 有一组实数解时，直线与圆C相切；
　　　 无实数解时，直线与圆C相离.
　　（2）几何法：
　　　 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断：
　　 　当时，直线与圆C相交；
　　 　当时，直线与圆C相切；
　　 　当时，直线与圆C相离。
　　要点诠释：
　　（1)当直线和圆相切时,求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可
　　　 提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，
　　　 由勾股定理解得.
　　（2)当直线和圆相交时,有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾
　　　 股定理解得,有时还用到垂径定理.
　　（3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决。
知识点二：圆与圆的位置关系
1。圆与圆的位置关系：
　　（1)圆与圆相交，有两个公共点;
　　（2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
　　（3)圆与圆相离(内含或外离),没有公共点.

2。圆与圆的位置关系的判定:
　　（1）代数法：
　　　 判断两圆的方程组成的方程组是否有解。
　　　 有两组不同的实数解时,两圆相交；
　　　 有一组实数解时，两圆相切；
　　　 方程组无解时，两圆相离.
　　(2）几何法：
　　　 设的半径为,的半径为,两圆的圆心距为.
　　　 当时,两圆相交;
　　　 当时，两圆外切；
　　　 当时,两圆外离；
　　　 当时，两圆内切;
　　　 当时，两圆内含。
　　要点诠释：
　　判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定。因此，在处理圆与圆的位置关系时,一般不用代数法.
知识点三、直线与圆的方程的应用
　　直线与圆的方程在解决实际问题和平面几何问题方面的应用，就是运用平面几何知识，先用坐标和方程表示相应的几何元素，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题。
　　要点诠释：
　　坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系。在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在。
三、规律方法指导
　　1。求圆的切线方程的常用方法：
　　(1)直接法:应用常见结论,直接写出切线方程；
　　(2）待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程（组）解得切点坐标或切线斜率，写出点斜
　　　 式，最后将点斜式化为一般式；
　　（3）定义法：根据直线方程的定义求出切线方程。
　　常见圆的切线方程：
　　①过圆上一点的切线方程是；
　　②过圆上一点的切线方程是.
　　2。用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论。这就是用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”。
　　第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，
　　　　　　将平面几何问题转化为代数问题；
　　第二步：通过代数运算，解决代数问题；
　　第三步：把代数运算结果“翻译"成几何结论。
经典例题透析
类型一：直线与圆的位置关系
　　1．已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
　　思路点拨：解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决。
　　解法一：∵x2+y2=4,
　　　　　　∴圆心为（0，0)，半径r=2.
　　　　　　又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为.∴直线与圆相交.
　　解法二:∵ ∴(2x+1)2+x2=4，
　　　　　　即5x2+4x-3=0。
　　　　　　判别式Δ=42-4×5×(-3)=76＞0.
　　　　　　∴直线与圆相交。
　　总结升华：判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.
　　举一反三：
　　【变式1】求实数m的范围，使直线与圆分别满足：
　　（1)相交；（2）相切；(3)相离．
　　解析：圆的方程化为标准为,
　　　　　故圆心(3，0)到直线的距离，圆的半径．
　　　　　（1)若相交，则，即，所以或．
　　　　　（2）若相切，则，即，所以．
　　　　　(3）若相离，则，即，所以．
　　总结升华:一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单．
　　【变式2】圆x2+y2-4x-4y—10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ )
　　A。36 　　　B.18　　　 C. 　　　D.
　　答案：C
　　解析：圆x2+y2-4x—4y—10=0的圆心为（2，2），半径为，
　　　　　圆心到直线x+y-14=0的距离为，
　　　　　圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是。
　　2．从点P（m，3)向⊙C：（x+2）2+(y+2）2=1引切线，则切线长的最小值为（ ）
　　A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.5
　　答案：A
　　解析：利用切线长与圆半径的关系加以求解。设切点为M，则CM⊥MP，
　　　　　于是切线MP的长MP=，
　　　　　显然，当m=-2时,MP有最小值.
　　总结升华：数形结合法是解决直线与圆位置关系问题的绝佳办法.
　　3．过点作圆的切线．求此切线的方程
　　解析：因为，所以A点在圆外．
　　　　　（1）若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k．
　　　　　 　则切线方程为．
　　　　　 　因为圆心C(3,1),到切线的距离等于半径,半径为1，
　　　　　　 所以，
　　　　　　 即,
　　　　　　 所以．
　　　　　　 解得．
　　　　　　 所以切线方程为,
　　　　　　 即．
　　　　　（2）若直线斜率不存在，圆心C(3，1）到直线的距离也为1,这时直线与圆也相切，
　　　　　　 所以另一条切线方程是．
　　　　　综上，所求切线方程为或．
　　总结升华：自一点引圆的切线．
　　（1）若点在圆外,则过此点可以引圆的两条切线；
　　（2)若点在圆上,则过此点只能引圆的一条切线，此点称为圆的切点；
　　(3）若点在圆内，则过此点不可能作圆的切线．
　　举一反三：
　　【变式1】已知点P（，）是圆上一点,求证：过P点的圆O的切线方程是:.
　　解：当时，过P点切线方程为
　　　　当时，可设切线斜率为k。
　　　　［法1]方程组，判别式为0;
　 　　　　　过P切线方程 ∴ 代入
　 　　　　　∴
　 　　　　　由△=0，可解得(较繁琐，过程略)从而可得切线方程：
　 　　　　　即 .
　　　　［法2]；
　 　　　　　∵ ，由 , ∴
　 　　　　　∴ 切线方程为： 即 。
　　　　［法3］平面几何法.点O到切线的距离为半径;
　 　　　　　设过P切线方程 即
　 　　　　　∴
　 　　　　　∴
　 　　　　　∴
　 　　　　　∴
　 　　　　　∴
　 　　　　　∴ 下同法2。
　　　　[法4］向量法——法向量，设直线方程为一般式.
　 　　　　　∵ ,∴ 是的法向量
　 　　　　　∴ 可设直线方程为
　 　　　　　又P,∴ ，∴
　 　　　　　∴ 方程为:。
　　　　综上，无论P在圆上何处,过P点切线方程均为.
　　4．求直线y=x被圆(x—2）2+（y-4)2=10所截得的弦长.
　　思路点拨：讨论直线与圆相交截得弦长,可以求两个交点坐标，利用两点间距离公式求得,也可利用半径、半弦和弦心距组成的直角三角形，利用勾股定理求解.下面我们用两种方法来解决这个问题。
　　解析:
　　解法一：由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离。
　　　　　　于是，弦长为.
　　解法二：联立方程y=x与（x-2）2+（y-4)2=10，得x2—6x+5=0. ①
　　　　　　设两个交点坐标为A（x1,y1)、B(x2，y2),则x1、x2是方程①的两根，
　　　　　　于是由根与系数的关系,得x1+x2=6，x1·x2=5。
　　　　　　.
　　总结升华：求直线被圆所截得的弦长问题多采取半弦、半径、圆心到直线的距离构成直角三角形来处理。
　　举一反三：
　　【变式1】求经过点P(6，-4),且被圆截得的弦长为的直线方程．
　　解析:设所求直线的斜率为k，方程为，
　　　　　即．
　　　　　因为圆心（0,0）到直线的距离,
　　　　　所以，
　　　　　所以或，
　　　　　即直线方程为或，
　　　　　故所求直线方程为或．
　　总结升华：在求直线方程时，若需设直线的斜率，一定要注意斜率是否存在，尤其在解直线与圆的有关系问题时容易漏解．
　　【变式2】已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为，求圆的方程.
　　解析：根据半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，
　　　　　由勾股定理可得弦心距d=。
　　　　　又∵弦心距等于圆心（a，b）到直线x-y=0的距离，
　　　　　∴d=.
　　　　　又已知b=2a,
　　　　　∴可解得a=2，b=4或a=-2，b=-4。
　　　　　∴所求圆的方程为（x—2）2+(y-4)2=10或（x+2）2+(y+4)2=10.
类型二：圆与圆的位置关系
　　5．已知圆，圆，m为何值时，（1）圆与圆相外切；（2）圆与圆内含。
　　解析：对于圆与圆的方程,经配方后
　　　　　，．
　　　　　(1）如果与外切，则有，
　　　　　　 ．
　　　　　　 ，解得,．
　　　　　(2）如果与内含，则有，
　　　　　　 ，，得，
　　　　　 　∴ 当或时，与外切；
　　　　　 　当时，与内含．
　　总结升华：根据两圆位置关系的判定方法进行相应地计算．
　　6．已知圆与圆。
　　（1）求证：圆与圆相交；
　　（2）求两圆公共弦所在直线的方程.
　　解析:（1)因为圆的半径为，圆心为(0，0）,
　 　　　　　圆的半径为4，圆心为,
　　　　　　 所以，
　　　　　　 所以，
　　　　　　 所以两圆相交．
　　　　　(2)设两圆交于点、，
　　　　　　 则A、B坐标均满足圆的方程，
　　　　　　 即
　　　　　　 两式相减,得，
　　　　　　 即．
　　　　　　 同理．
　　　　　　 故、均满足，
　　　　　　 所以过A、B的直线方程为．
　　总结升华：(2)中用到了“设而不求”的思想，把两个相交圆的方程相减即为公共弦所在直线的方程．

　　举一反三：
　　【变式1】过点M(2，4)向圆C：（x—1）2+（y+3）2=1引两条切线，切点为P、Q，求P、Q所在的直线方程。
　　思路点拨:画出如图的示意图，根据对称性知P、Q在以M点为圆心，MP为半径的圆上。直线PQ为两圆的公共弦,两圆方程相减即得公共弦方程。
　　解：因设P为切点，故有CP2+PM2=CM2，解得PM=7，易知P、Q在以M点为圆心,
　　　　MP为半径的圆上，它的方程是(x—2)2+(y—4）2=49,
　　　　即x2+y2-4x—8y-29=0。 ①
　　　　又P、Q为圆C上的点，所以它们满足方程(x—1）2+(y+3)2=1，
　　　　即x2+y2-2x+6y+9=0. ②
　　　　②-①，得2x+14y+38=0，
　　　　即x+7y+19=0.这就是两圆所有公共点都满足的方程，
　　　　且易知其为一直线方程。又因P、Q两点是两圆仅有的两个公共点，
　　　　则它们确定的直线方程也就是两圆的公共弦直线方程,即x+7y+19=0.
　　总结升华：在处理问题时要想到圆的有关性质,这样可以避免繁杂的计算，上述解答回避了求切点问题，思路简洁明了.
　　7．已知圆和圆,求圆,圆的公切线方程．
　　解析：由圆的圆心坐标为，半径,圆的圆心坐标为,半径，
　　　　　则，所以两圆相离，有四条公切线．
　　　　　设公切线方程为,
　　　　　则圆到切线的距离等于．
　　　　　∴ ．①
　　　　　则圆到切线的距离等于．
　　　　　∴ ． ②
　　　　　解①、②所联立的方程组得
　　　　　，，或，，或，．
　　　　　当斜率不存在时,亦与两圆相内切．
　　　　　∴ 所求切线方程为，或,或，或．
　　总结升华：
　　(1)对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数．
　　(2）一般地，两圆的公切线条数为:
　　　 ①相内切时，有一条公切线；
　　　 ②相外切时，有三条公切线；
　　　 ③相交时，有两条公切线；
　　　 ④相离时，有四条公切线．
类型三：最值问题
　　8．已知x，y满足。求的最大值。
　　解析：设，则点（x，y)既在直线上，又在圆上,
　　　　　即直线和圆有公共点，
　　　　　故圆心(1，-2）到的距离小于等于半径，
　　　　　所以，即，
　　　　　所以0≤b≤10，即b 的最大值是10．
　　总结升华：转化为直线与圆位置关系的问题．
　　举一反三:
　　【变式1】已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x2+y2—2x-2y+1=0的两切线，A，B是切点，C是圆心.求四边形PACB面积的最小值。
　　解:由题意可知,CP2=AP2+CA2，而CA为定值，
　　　　所以，当CP最小时，AP最小，四边形的面积最小。
　　　　圆心C(1,1)到直线3x+4y+8=0的距离为，
　　　　∴。
　　　　∴四边形PACB面积的最小值为2S△ACP=.
　　总结升华:此题也可以通过设出点P的坐标，表示出P到圆心的距离，利用函数的最值来求出CP的最小值，进而求解.
类型四：解实际应用题
　　9．某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定,距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间。(精确到分钟)
　　思路点拨：利用坐标法来求解。如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.

　　解:以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系,
　　　　开始时台风中心在B（300，0）处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动,
　　　　其轨迹方程为y=（x—300)(x≤300）。
　　　　该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，
　　　　∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则
　　　　AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，
　　　　∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈1。5(h），
　　　　即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h),
　　　　即台风对该市的影响持续时间为10 h。
　　总结升华:应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系,设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义。
　　构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形。如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f（x，y）=0上动点连线的斜率。
　　举一反三：
　　【变式1】一艘轮船在沿直线返回港口途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航向，那么它是否会受到台风的影响?
　　解：以台风中心为坐标原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的坐标系，取10 km为单位长度.

　　　　这样受台风影响的圆形区域的边界所对应的以O为圆心的圆的方程为x2+y2=9，
　　　　轮船航线所在的直线方程为4x+7y-28=0；而圆心O(0,0)到直线的距离.
　　　　直线与圆无公共点，故轮船不会受台风影响。
空间直角坐标系
二、知识要点梳理
知识点一：空间直角坐标系
1。空间直角坐标系
　　从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz,点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
　　在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
　　空间一点A的坐标可以用有序数组（x，y,z)来表示，有序数组（x，y，z）叫做点A的坐标，记作A（x，y，z）,其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标。
知识点二：空间两点间距离公式
1.空间两点间距离公式
　　空间中有两点，则此两点间的距离
　　。
　　特别地，点与原点间的距离公式为。
2.空间线段中点坐标
　　空间中有两点,则线段AB的中点C的坐标为。
三、规律方法指导
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
　　通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
　　特殊点的坐标：原点;轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为。
2.空间直角坐标系中对称点的坐标的求法
　　在空间直角坐标系中，点,则有
　　点关于原点的对称点是；
　　点关于横轴(x轴）的对称点是；
　　点关于纵轴（y轴）的对称点是；
　　点关于竖轴(z轴）的对称点是；
　　点关于坐标平面的对称点是；
　　点关于坐标平面的对称点是；
　　点关于坐标平面的对称点是.
经典例题透析
类型一：空间直角坐标系
　　1．已知一个长方体的长、宽、高分别为5、4、3，试建立适当的空间直角坐标系,将长方体的各个点表示出来。
　　思路点拨：可以以长方体的一个顶点为原点，建立空间直角坐标系，也可以以长方体的中心作为坐标原点。
　　解析:如图，以A为原点,AB=3所在的直线为x轴，AD=5所在的直线为y轴，AA1=4所在的直线为z轴，
　　　　　建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0，0,0），B（3,0，0），D（0，5，0），A1（0,0,4),
　　　　　C（3，5，0),D1(0，5,4）,B1(3，0，4)，C1(3，5,4）。

　　总结升华：建立适当的坐标系的原则一般是让更多的点落在坐标轴上，进而使得点的坐标表示比较简单。
　　举一反三：
　　【变式1】如图所示，在棱长为1的正方体中，E、F分别为、的中点。求点E、F的坐标。

　　解析:E点在面上射影为B(1，1，0)，且E点的竖坐标为，所以。
　　　　　F点在面上的射影为BD的中点G,F点的竖坐标为1，所以.
　　总结升华:注意射影在求点坐标中的应用．
　　【变式2】如图，棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1，对角线BD1与A1C的交点为Q，求点Q的坐标.

　　解:由已知可得：Q为BD1的中点，Q点在平面xOy内的射影为P（)，
　　　　点Q在y轴上的射影为R（0,0，)。∴点Q的坐标为（,，）。
　　2．求点关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．
　　解析：(1)关于平面的对称点坐标为,
　　　　　　 关于平面的对称点坐标为,
　　　　　　 关于平面的对称点坐标为．
　　　　　(2）关于x轴的对称点坐标为，
　　　　　　 关于y轴的对称点坐标为，
　　　　　　 关于z轴的对称点坐标为．
　　　　　（3)关于原点的对称点坐标为．
　　总结升华：本题可用类比的方法,先考虑平面直角坐标系中点的对称问题，然后再考虑添加平面后的各种情况．
　　3．设z为任意实数,则相应的所有点P(1，2，z)的集合是什么图形?
　　解析：因为,所以P对应的所有点的横、纵坐标相等，竖坐标任意，
　　　　　因此这些点都在一条与面垂直的直线上．
　　总结升华：注意其中的变量与不变量．
类型二：两点间距离公式的应用
　　4．在△ABC中，若A(—1，2，3），B（2，—2，3),，则AB边上的中线CD的长度为_____.
　　思路点拨:利用中点坐标公式求出D点坐标,再由两点间距离公式求解．
　　解析：∵ A(-1，2，3）,B（2，-2,3)，∴ .
　　　　　∴ .
　　　　　故AB边上的中线长为。
　　举一反三：
　　【变式1】在空间直角坐标系中，正方体的顶点A(3，—l,2），其中心M的坐标为(0，l，2），求该正方体的棱长．
　　解析：由于A(3，-l，2），M(0，1，2）,∴ 。
　　　　　∴ .
　　　　　∴ 棱长.
　　5．设点P在x轴上,它到的距离为到点距离的两倍。求点P的坐标。
　　解析:因为点P在x轴上，
　　　　　所以设点P坐标为。
　　　　　根据题意得，
　　　　　所以。
　　　　　解得.
　　　　　所以P点的坐标为(1,0，0）或（—1,0,0)．
　　总结升华：在两点间距离公式的逆用中找到与其相等的量．
　　6．正方形ABCD，ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动,CM=BN=a（0＜a＜）．求MN的长．
　　解析：因为平面ABCD⊥平面ABEF,
　　　　　平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB⊥BE，
　　　　　所以BE⊥平面ABC，
　　　　　所以AB，BC,BE两两垂直，
　　　　　所以以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴，y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

　　　　　，，则

　　　　　　　 .
　　举一反三：
　　【变式1】正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M为AC的中点,点N在DD1上运动，求|MN｜的最小值。
　　解：建立如图所示的空间直角坐标系.由题意可知点M的坐标为(，，0），由于点N在z轴上，
　　　　故设N的坐标为(0,0，z)，由两点间的距离公式可得：|MN|=。
　　　　要使｜MN|最小，只需z=0，∴当点N在原点时，｜MN|有最小值为。
平面解析几何初步单元复习与巩固
一、知识网络

二、目标认知
　　1。通过对数轴的复习,理解实数和数轴上的点的对应关系，理解实数与位移的对应关系.理解实数运算在数轴上的几何意义。掌握数轴上两点间的距离公式,掌握轴上的向量加法的坐标运算.
　　2。理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数的方法探索直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
　　3。根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式及一般式).理解直线与二元一次方程的对应关系.
　　4。会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件。会用两条直线相交或平行的条件判断两条直线相交、平行和重合.会求两直线的交点坐标。
　　5.理解用勾股定理推导两条直线垂直的条件：和.会熟练地运用这两个条件判断两条直线是否垂直.
　　6。掌握两点间距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.体会这些公式与勾股定理之间的内在联系.
　　7。用距离公式和配方法，探索并掌握圆的标准方程和一般方程。
　　8.能熟练地掌握二元联立方程组解法，并通过解方程或方程组，解决有关直线与圆,圆与圆的位置关系问题。根据给定的直线、圆的方程，会判断直线和圆、圆与圆的位置关系.
　　9.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
　　10。通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
　　11.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
三、知识要点梳理
知识点一：直线坐标系
　　基本计算公式：对数轴上任意三点A、B、C有AC=AB+BC;数轴上两点间的距离公式|AB｜=|x2—x1|.
知识点二：平面直角坐标系
1.基本计算公式
　　平面上两点间的距离公式，线段中点公式.
2。直线
　　(1)直线的斜率公式，倾斜角的范围；
　　（2）直线方程的几种形式：点斜式，斜截式，两点式,一般式，截距式;
　　(3）两条直线的位置关系的判断(对于一般式)：相交,垂直，平行且,重合且；
　　（4）点到直线的距离公式:.
3.圆
　　(1)圆的方程的形式：圆的标准方程，
　　 　　　　　　　　　圆的一般方程；
　　（2)直线与圆的位置关系的判断：相离,相切，相交；
　　(3）圆和圆的位置关系的判断：相离,外切,相交，内切，内含.
知识点三：空间直角坐