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一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布

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方程根的分布专题讲义
一．知识要点
二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标,所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究．
若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况．
若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定．
1．二次方程有且只有一个实根属于的充要条件
若其中一个是方程的根,则由韦达定理可求出另一根．
若不是二次方程的根，二次函数的图象有以下几种可能：
（1) 　　　 (2）

（3） （4）

由图象可以看出，在处的值与在处的值符号总是相反，即；反之，若，的图象的相对位置只能是图中四种情况之一．所以得出结论：
若都不是方程的根，记，则有且只有一个实根属于的充要条件是．
2．二次方程两个根都属于的充要条件
方程的两个实根都属于,则二次函数的图象与轴有两个交点或相切于点，且两个交点或切点的横坐标都大于小于，它的图象有以下几种情形：
（1） （2）

（3） （4）

由此可得出结论：
方程的两个实根都属于区间的充要条件是：

这里 ．
3．二次方程的两个实根分别在区间的两侧（一根小于，另一根大于）的充要条件是:

这里．
4．二次方程的两个实根都在的右侧的充要条件是:

二次方程的两个实根都在的左侧(两根都小于）的充要条件是：

这里．
二．例题选讲
例１．设关于的方程R），
(1)若方程有实数解，求实数b的取值范围；
(2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.
例２．已知二次函数f（x)=ax2+bx+c（a≠0)。若方程f(x)=x无实根,求证：方程f［f(x）]=x也无实根．
例３．设，，若，求实数的取值范围．
变式:已知方程x2 + （3m—1）x + （3m—2）=0的两个根都属于( -3, 3），且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围．
例４．已知方程有两个负根，求的取值范围．
例５．求实数的范围，使关于的方程．
（１）有两个实根,且一个比２大,一个比２小．
（２)有两个实根，且满足．
（３）至少有一个正根．
例６． 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.
（1） 若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.
（2） 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.
变式：已知方程2x2 – 2（2a—1）x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围．
例７．已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围．
变式：如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围.
例８．已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用．下面再举两个例子:
例９．求函数y = (1<x<2）的值域．
例10．已知抛物线y = 2x2—mx+m与直角坐标平面上两点（0，0), (1，1）为端点的线段（除去两个端点)有公共点,求m的取值范围．
三．巩固练习
1．已知二次方程有且只有一个实根属于( —1, 1）,求m的取值范围．
2．已知方程在上有两个根,求的取值范围．
3．已知二次方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围．
4．已知二次方程的两个根都属于（–1，1），求的取值范围．
5．若关于x的方程x2+(a-1）x+1=0有两相异实根，且两根均在区间［0,2］上，求实数a的取值范围．
6．二次函数f（x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足=0, 其中m〉0,求证
（1） pf(）〈0；
(2） 方程f(x)=0在(0,1）内恒有解。
参考答案
例１．分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程,但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解．另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是:若关于的方程有解，则的值域．
解：（1）原方程为,
，
时方程有实数解；
（2）①当时，，∴方程有唯一解;
②当时，.
的解为；
令
的解为;
综合①、②，得
1)当时原方程有两解:；
2）当时,原方程有唯一解;
3)当时,原方程无解。
例２．证明：方程f(x)=x即f（x）—x=ax2+(b-1）x+c=0无实根,f(x）—x仍是二次函数，f（x）—x=0仍是二次方程，它无实根即Δ=（b-1)2—4ac＜0
　　①若a＞0，则函数y=f(x）-x的图象在x轴上方，
　　∴y＞0,即f(x）-x＞0恒成立，即：f（x)＞x对任意实数x恒成立。
　　∴对f（x)，有f（f(x）)＞f（x）＞x恒成立
　　∴f(f（x）)=x无实根
　　②若a＜0，函数y=f(x）-x的图象在x轴下方
　　∴y＜0，即f（x）—x＜0恒成立
　　∴对任意实数x,f（x） ＜0恒成立
　　∴对实数f(x），有：f(f（x））＜f（x)＜x恒成立
　　∴f（f(x））=x无实根
　　综上可知，当f(x）=x无实根时,方程f（f（x))=x也无实根．
例３．分析：观察到方程有两个实根，故此题不妨用求根公式来解决．
解：因有两个实根
，，
故等价于且，即
且，
解之得．
变式:解：原方程即为 （x + 1）(x + 3m—2)=0,所以方程两根分别为-1, 2-3m，而—1在(-3，1)上，则由题意，另一根满足 —3<2—3m〈3 Û — 〈m< 。
例４．解:依题意有
　　　．
例５．解:设．
（１） 依题意有,即,得．
（２） 依题意有
　　　　　　　　解得：．
　　(３）方程至少有一个正根，则有三种可能：
　　　　　①有两个正根，此时可得，即．
　　　　　②有一个正根,一个负根，此时可得，得．
　　　　　③有一个正根,另一根为０,此时可得　　．
　　　综上所述，得．
例６．解：(1）条件说明抛物线f(x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（－1,0)和（1,2)内，则
Û ，
∴实数m的范围是.
（2）据抛物线与x轴交点落在区间 (0,1) 内，列不等式组
Û - <m≤1—,
∴ 实数m的范围是。
变式：解：设f（x） = 2x2 – 2（2a-1）x + a+2,则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为
Û
Û - 〈m≤或≤m<.
故a的取值范围是 (- , ] ∪[ , ）．
例７．解一:二次方程两个根都小于1，其充要条件为

(1）即为，它的解集是．
（2)即为，它的解集是．
（3）的解集是．
所以，的取值范围是．
解二:二次方程有两个根的充要条件是．
设两根为，由于都小于1，即,其充要条件为：

即

因此,方程两个根都小于1的充要条件是：

以下同解法一（略)．
解三：令,原方程转化为，即
（＊)
因为原方程两根都小于1，所以方程（＊）的两个实根都小于0，其充要条件是：

同样可求出的取值范围（略）．
变式：解：∵f(0）=1>0
(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.
(2）当m〉0时,则解得0＜m≤1
综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0｝。
例８．解析1：函数在区间[—1，1］上有零点，即方程=0在[-1,1］上有解，
a=0时，不符合题意,所以a≠0,方程f(x)=0在［-1，1］上有解〈=〉或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1。
解析2:a=0时，不符合题意，所以a≠0，又
∴=0在[—1,1］上有解，在[—1,1］上有解在［-1，1］上有解,问题转化为求函数［—1，1］上的值域；设t=3-2x,x∈［—1，1］，则，t∈[1,5]，，
设,时，，此函数g（t）单调递减，时,>0，此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是,∴=0在［—1,1］上有解ó∈或.
例９．解：原函数即为 y （x2—3x+2)=x+1,
yx2—(3y+1）x+2y—1=0, ①
由题意，关于的方程①在（1，2)上有实根．
易知y〈0, 令f(x）= yx2-(3y+1）x+2y-1，则f（1)= —2〈0， f(2）= -3<0，所以方程①在(1，2）上有实根当且仅当 ，解得y≤—5-2。
∴ 原函数的值域为 （-¥, —5-2］.
例10．解:以（0,0）， (1，1）为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得：
x = 2x2-mx+m 即 2x2—（m+1）x+m=0, ①
由题意，方程①在区间(0， 1)上有实根，令f（x） = 2x2-(m+1）x+m，则当且仅当
f(0)·f（1）〈0或 Û m<0或 Û m≤3-2且m≠0．
故m的取值范围为 （—¥， 0）∪（0, 3—2].
巩固练习
1．解：易知x1 = -1是方程的一个根,则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1）当且仅当 —1< 〈1，即 Û Û m〈 - 或m〉 ，∴ m的取值范围为 (-¥,— ）∪( , +¥).
2．解：令,当时，．
由于是一一映射的函数,所以在上有两个值，则在上有两个对应的值．因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为

由（1）得: ，
由（2)得： ，
由（3）得： 或，
由（4）得： ．
，即的取值范围为．
3．解：设f(x) = ，由于f（x)是二次函数,所以2m+1 ≠ 0，即m ≠ - .
f（x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f（1)·f（2）<0 Û （5m+3）（m-2）〈0 Û — 〈m<2。
综上得：m的取值范围是（— , — )∪（- , 2)．
4．令二次函数f(x) = (m—1）x2+（3m+4)x+m+1，则m-1 ≠ 0,即m ≠ 1．
f（x）=0的两个实根均在（—1，1)上,当且仅当
Û
∴ m的取值范围为．
5．解：令f（x) = x2+（a-1）x+1，则满足题意当且仅当
解得 - ≤a〈—1.
∴ a的取值范围是 ［ - ， —1）．
6．证明 （1）

,
由于f（x)是二次函数，故p≠0, 又m〉0, 所以，pf（）＜0．
(2)由题意，得f(0)=r， f(1）=p+q+r，
①当p>0时，由（1)知f（）＜0，
若r〉0,则f（0）〉0，又f()＜0,所以f(x）=0在（0，)内有解；
若r≤0,则f（1)=p+q+r=p+(m+1)(－)+r=>0，
又f（)＜0,所以f（x)=0在（，1）内有解
②当p＜0时同理可证
故方程f（x）=0在(0，1）内恒有解．