九年级数学复习专题-------将军饮马专题1.doc

专题一 利用轴对称解决两条线短之和最小值问题
一：问题的背景
古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B。问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？

A

B
M C E N
P

A’

分析：在河边饮马的地点有许多处，把这些地点与A、B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点(P)，再回到B地的路程之和。现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的那个点来。
具体操作：在图上过A点作河边MN的垂线，垂足为C，延长AC到A′，A′是A地对于河边MN的对称点；连结A′B，交河边MN于P，那么P点就是题目所求的饮马地点。
　 原因：为什么饮马的地点选择在P点能使路程最短呢？因为 AC= A′C，AP与 BP的长度之和就是A′P与B′P的长度之和，即是AB的长度；而选择河边的任何其他点，如E，路程AE+EB= A′E+BE＞A′B,故P点就是符合要求的点。

二：基本模型(K型)

(等腰三角形) (正方形)

（菱形） (等腰梯形)

(抛物线) (圆)

基础训练
1、如图，正方形边长为8，M在CD上，且DM=2，N是AC上一动点，则ND+NM的最小值为多少？

2、如图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB长是3,则PM+PB的最小值为多少？

3、如图,已知点P是边长为2的正三角形ABC的中线AD上的动点,E是AC边的中点,则PC+PE的最小值是多少？

4、如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是多少？

5、如图，正三角形ABC的边长为2，M为BC中点，P为AC上一动点，则PB+PM的最小值为多少？

6、等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为______。

7、在 三角形 ABC中，点D,E分别为AB,AC边上的中点，BC=6，BC边上的高为4，若点P为BC边上一个动点，则三角形PDE周长的最小值是多少？

8、 如图，在矩形ABCD中，AD=3，∠CAB=30°、点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+PQ 的最小值是多少？

提高训练
1、如图，在直角三角形ABC中、∠ACB=90°，AC=6,BC=8，AD为∠BAC的平分线。若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值为________ (2个动点)

2、如图，在锐角△ABC中，AB=42，∠BAC=45°.∠BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是________．(2个动点)
A
B
C
D
N
M

3、如图，△ABC中，AB=4，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，则这个最小值为 ______ ．

4、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，点Q,R分别是OA,OB上的动点（均不同于点O），则三角形PQR周长的最小值为________(2个动点)

5、如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°,点P是底边AC上一动点，M,N为AB,BC中点，若PM+PN的最小值为2，则三角形ABC的腰长为________

6、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF=1。若M,N分别是线段AD,AE上的动点，则MN+MF的最小值为_______ (2个动点)

7、如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD,垂足为E，ED=3BE，点P,Q分别在BD,AD上，则AP+PQ的最小值为_______ (2个动点)

8、如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为_______。(2个动点)

9、如图，AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8,CD=6,MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于F,点P为EF上任意一点，则PA+PC的最小值为_______

10、如图，MN是半径为1的⊙O直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为_______

经验总结：在求两条线段之和的最小值时，我们经常“转化”河同侧的一个点到河的另一侧，从而使一条线段同时“移”到了河的异侧，我们称之为“转点移线”，再利用两点之间线段最短解决问题。上面的练习中，主要包括了四类大的具体操作类型：1、原图中直接转化点的。2、需要补成特殊图形转化点的。3、做一个点关于“河”的对称点。4、利用角平分线构造全等转化点的。在这里，我们用到的知识点有如下几个：①、两点之间线段最短。②、垂线段最短。③、勾股定理。④、相似三角形。⑤、三角函数。

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