扭矩的符号规定.ppt

3 扭扭转转 3-1 扭扭转转概念和工程概念和工程实实例例3-2 扭矩及扭矩扭矩及扭矩图图3-3 薄壁薄壁圆圆筒的扭筒的扭转转3-4 等直等直圆圆杆扭杆扭转时转时的的应应力力 强强度条件度条件3-5 等直等直圆圆杆扭杆扭转时转时的的变变形形 刚刚度条件度条件3-6 等直非等直非圆圆杆自由扭杆自由扭转时转时的的应应力和力和变变形形9.3.1.1 扭扭转转的工程的工程实实例例3.1 扭扭转转概念和工程概念和工程实实例例螺螺丝丝刀杆工作刀杆工作时时受扭受扭。Me主主动动力偶力偶阻抗力偶阻抗力偶10.传动轴传动轴工作工作时时受扭受扭。汽汽车车方向方向盘盘的的转动轴转动轴工作工作时时受扭。受扭。11.3.1.2 扭扭转转的概念的概念（2 2）变变形特点形特点：杆任意两截面杆任意两截面绕轴线发绕轴线发生相生相对转动对转动。任意两横截面。任意两横截面间间相相 对转动对转动 角，称角，称为为相相对对扭扭转转角角。纵纵向直向直线变线变成螺旋成螺旋线线。（1 1）受力特点受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力偶作用面垂直于杆的垂直于杆的轴线轴线。扭扭转转是四种是四种基本基本变变形形中的一种中的一种变变形形式。形形式。主要主要发发生扭生扭转变转变形的杆，称形的杆，称为为轴轴。ABOMeMeOBA 12.3-2 扭矩及扭矩扭矩及扭矩图图3.2.1 传动轴传动轴的外力偶矩的外力偶矩已知：已知：传动轴转传动轴转速速 n r/min，输输出功率出功率P kW,求：力偶矩求：力偶矩Me电电机每秒机每秒输输入功：入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：当当 P 为马为马力力时时，外力偶矩外力偶矩:13.3.2.2 扭矩扭矩圆轴圆轴受扭受扭时时其横截面上的内力偶矩称其横截面上的内力偶矩称为为扭矩扭矩，用符号，用符号T 表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。MeMe TMeMeT取右段取右段为为研究研究对对象：象：取左段取左段为为研究研究对对象：象：14.扭矩的符号扭矩的符号规规定定：同一截面位置同一截面位置处处左、右左、右侧侧截面上扭矩必截面上扭矩必须须具有相同的正具有相同的正负负号。号。右手螺旋法右手螺旋法则则判断。判断。右手的四指代表扭矩的旋右手的四指代表扭矩的旋转转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向与截面的外法向与截面的外法线线方向相同，方向相同，则则扭矩扭矩规规定定为为正正值值，反之，反之为负值为负值。T+-TTT15.用平行于杆用平行于杆轴线轴线的坐的坐标标表示横截面的位置，用垂直于杆表示横截面的位置，用垂直于杆轴线轴线的坐的坐标标表表示横截面上的扭矩，示横截面上的扭矩，绘绘制出表示制出表示扭矩扭矩与与截面位置截面位置关系的关系的图线图线，称，称为为扭矩扭矩图图。3.2.3 扭矩扭矩图图扭矩扭矩图图作法：同作法：同轴轴力力图图：例例3-1 图图示示传动轴传动轴，转转速速 n=300r/min ，主，主动轮输动轮输入的功率入的功率为为 P1 =500kW。从从动轮输动轮输出功率分出功率分别为别为P2=150kW 、P3=150kW、P4 =200kW。作扭矩。作扭矩图图。ABCDP1P2P3P4n16.ABCDP1P2P3P4nM2M3M1M41 1、计计算外力偶矩算外力偶矩解：解：17.BC 段段计计算算简图简图ABCDM2M3M1M41232 2、计计算各段的扭矩算各段的扭矩BCM2T1xCA 段段T2xAM1M4DDM4AD 段段xT318.ABCDM2M3M1M49.56 kNmT 图图4.78 kNm6.37 kNm+Tmax=9.56 kNm 在在 CA 段内段内n 注意：受力注意：受力图图上扭矩均按正上扭矩均按正值值假假设设3 3、画扭矩、画扭矩图图19.T 图图例例3-2 画画图图示杆的扭矩示杆的扭矩图图。6 kNm4 kNm6 kNm8 kNmABCDTAB=4 kNmTBC=-2 kNmTCD=6 kNm4 kNm6 kNm2 kNm20.（m轴单位位长度内的扭力偶矩）度内的扭力偶矩）例例3-3 试试分析分析图图示示轴轴的扭矩的扭矩解：解：1 1、求、求约约束反力束反力2 2、截面法求扭矩、截面法求扭矩3 3、作扭矩、作扭矩图图21.作作业业：习题习题 3-122.3.3 薄壁薄壁圆圆筒的扭筒的扭转转1 1、实验实验：3.3.1 薄壁薄壁圆圆筒横截面上的筒横截面上的应应力力薄壁薄壁圆圆筒筒：壁厚：壁厚（r0：为平均半径）平均半径）实验实验前：前：绘纵绘纵向向线线，圆圆周周线线；两端施加一两端施加一对对外力偶外力偶 Me。23.实验实验后：后：圆圆周周线线不不变变；各各纵纵向向线长线长度不度不变变，但均，但均倾倾斜了同一微小角度斜了同一微小角度 。纵纵向向线变线变成螺旋成螺旋线线。结论结论：圆圆筒表面的各筒表面的各圆圆周周线线的形状、大小和的形状、大小和间间距均未改距均未改变变，只是，只是绕轴线绕轴线作了作了相相对转动对转动。表明。表明横截面仍保持平面，且大小、形状不横截面仍保持平面，且大小、形状不变变（平面假平面假平面假平面假设设设设）。所有矩形网格均歪斜成同所有矩形网格均歪斜成同样样大小的平行四大小的平行四边边形。形。24.A0 为为平均半径所作平均半径所作圆圆的面的面积积。薄壁筒扭薄壁筒扭转时转时，因，因长长度不度不变变，故横截面上，故横截面上没有正没有正应应力力，只有切只有切应应力力。因筒。因筒壁很薄，假壁很薄，假设设切切应应力沿壁厚均匀分布力沿壁厚均匀分布，切，切应应力沿力沿圆圆周切周切线线方向，方向，与扭矩与扭矩转转向相向相同同。T T25.3.3.2 切切应应力的若干重要性力的若干重要性质质1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律做薄壁做薄壁圆圆筒的扭筒的扭转试验转试验可得可得TT26.剪切虎克定律剪切虎克定律 在在弹弹性性范范围围内内切切应应力力与与切切应变应变成成正比正比关系。关系。27.从受扭的薄壁从受扭的薄壁圆圆筒表面筒表面处处截取一微小的正六面体截取一微小的正六面体单单元体元体自自动满动满足足得得2 2、切、切应应力互等定理力互等定理acddxbdytz 自自动满动满足足28.切切应应力互等定理力互等定理 单单元体在其两元体在其两对对互相垂直的平面上只互相垂直的平面上只有切有切应应力力而而无正无正应应力力的状的状态态称称为为纯纯剪切剪切应应力状力状态态。在相互在相互垂直垂直的两个面上，切的两个面上，切应应力力总总是是成成对对出出现现，并且，并且大小相等大小相等，方向同，方向同时时指向指向或同或同时时背离背离两个面的两个面的交交线线。acddxbdydzz dabc 29.实验实验：3.4.1 横截面上的横截面上的应应力力3.4 等直等直圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力力强强度条件度条件1 1、几何关系几何关系：实验实验变变形形规规律律应变应变的的变变化化规规律律30.变变形形规规律：律：圆圆周周线线形状、大小、形状、大小、间间距不距不变变，各，各圆圆周周线线只是只是绕轴线转动绕轴线转动了一个不同的角度了一个不同的角度纵纵向向线线倾倾斜了同一个角度，小方格斜了同一个角度，小方格变变成了平行四成了平行四边边形形平面假平面假设设：变变形前的横截面，形前的横截面，变变形后仍形后仍为为平面，且形状平面，且形状 、大小以及、大小以及间间距不距不变变，半，半 径仍径仍为为直直线线。定性分析定性分析横截面上的横截面上的应应力力（1）（2）因因为为同一同一圆圆周上切周上切应变应变相同，所以同一相同，所以同一圆圆周上切周上切应应力大小相等，并且方向垂力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。直于其半径方向。31.切切应变应变的的变变化化规规律律：取楔形体取楔形体O1O2ABCD 为为研究研究对对象象微段扭微段扭转变转变形形 d DCd d /d/dx扭扭转角角变化率化率,即沿半径按直即沿半径按直线规线规律律变变化。化。32.方向垂直于半径。方向垂直于半径。弹弹性范性范围围内内2 2、物理关系、物理关系：由由应变应变的的变变化化规规律律应应力的分布力的分布规规律律 2)2)当当,也就是也就是说说切切1 1)应应力沿半径直力沿半径直线线分布。分布。当当，r r取最大取最大值值 max。33.3 3、静力关系、静力关系：由横截面上的扭矩与：由横截面上的扭矩与应应力的关系力的关系应应力的力的计计算公式算公式令代入物理关系式得：代入物理关系式得：圆轴圆轴扭扭转时转时横截面上任一点的切横截面上任一点的切应应力力计计算式。算式。扭扭转变形形计算式算式34.横截面上横截面上 抗扭截面系数抗扭截面系数，整个整个圆轴圆轴上上等直杆：等直杆：4 4、适用条件：、适用条件：1 1）等直的）等直的圆轴圆轴，2 2）弹弹性性范范围围内工作。内工作。I IP P截面的截面的极极惯惯性矩性矩，单单位：位：5 5、圆轴圆轴中中 max 的确定的确定单单位位：35.d6 6、极、极惯惯性矩性矩实实心心圆圆截面：截面：Odr rr r36.DOd空心空心圆圆截面：截面：d dr rr r37.例例3-4已知空心已知空心圆圆截面截面轴轴的扭矩的扭矩T=1kNm，D=40mm，d=20mm，求最大、最小，求最大、最小切切应应力。力。dDT max min解：解：38.思考思考题题：在：在图图示受扭示受扭圆轴圆轴横截面上的切横截面上的切应应力分布力分布图图中中T(a)T(b)T(c)T(d)d d d d 正确答案是正确答案是39.efbabcd3.4.2 斜截面上的斜截面上的应应力力 在在圆圆杆的表面杆的表面处处用横截面，径向截面及与表面平行的面取一个微小的正六用横截面，径向截面及与表面平行的面取一个微小的正六面体面体单单元体。元体。xyd yd zabdzdxcfnxe 截面的外法截面的外法线线 n与与 x 轴间轴间的的夹夹角角为为 ，并，并规规定定 x 轴轴逆逆时针转时针转至截面的外法至截面的外法线线 n 的的 为为正，反之正，反之为负为负40.efb假假设设 ef 的面的面积为积为 dA，则则 eb、bf 的面的面积积分分别为别为d Acos 、d Asin ，由平衡得，由平衡得斜截面上斜截面上应应力的力的计计算公式算公式41.3.4.3 强强度条件度条件1 1、强强度条件度条件：2 2、强强度条件度条件应应用用：2 2）设计设计截面尺寸截面尺寸:3 3）确定外荷）确定外荷载载:等截面等截面圆轴圆轴:变变截面截面圆轴圆轴:1 1）校核）校核强强度度:42.例例 3-5 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm。扭转力偶矩 MA=22 kNm，MB=36 kNm，MC=14 kNm。材料的许用切应力 =80MPa，试校核该轴的强度。解：解：1 1、求内力，作出、求内力，作出轴轴的扭矩的扭矩图图2214T图（kNm）MA MBMC ACB43.BC段段AB段段2 2、计计算最大切算最大切应应力并校核力并校核强强度度即即该轴满该轴满足足强强度条件。度条件。2214T图（kNm）44.例例 3-6 已知：已知：P=7.5 kW,n=100 r/min,=40 MPa,空心空心圆轴圆轴的内外直径之比的内外直径之比 =0.5。二。二轴长度相同。度相同。求求:实实心心轴轴的直径的直径 d1 和空心和空心轴轴的外直径的外直径 D2；确定二；确定二轴轴的重量之比。的重量之比。解：解：计计算扭矩算扭矩实实心心轴轴45.空心空心轴轴d20.5D2=23 mm 长长度相同的情形下，二度相同的情形下，二轴轴的重量之比即的重量之比即为为横截面面横截面面积积之比：之比：46.作作业业：习题习题 3-447.3.5 等直等直圆圆杆扭杆扭转时转时的的变变形形 刚刚度条件度条件3.5.1 扭扭转变转变形形 扭扭扭扭转变转变转变转变形是用两个横截面形是用两个横截面形是用两个横截面形是用两个横截面绕轴线绕轴线绕轴线绕轴线的的的的相相相相对对对对扭扭扭扭转转转转角角角角 来表示来表示来表示来表示 作杆的作杆的刚刚度度计计算算 解扭解扭转转超静定超静定问题问题l 研究等直研究等直圆圆杆扭杆扭转时转时的的变变形的目的形的目的相距相距相距相距 d d d dx x 两横截面的相两横截面的相两横截面的相两横截面的相对对对对扭扭扭扭转转转转角：角：角：角：相距相距相距相距 l l 的两横截面的相的两横截面的相的两横截面的相的两横截面的相对对对对扭扭扭扭转转转转角：角：角：角：（rad)rad)48.GIP扭扭转刚转刚度度。单单位位长长度的扭度的扭转转角角l 扭矩不扭矩不变变的等直的等直轴轴l 各段扭矩各段扭矩为为不同不同值值的的阶阶梯梯轴轴49.3.5.2 刚刚度条件度条件l 刚刚度条件：度条件：l 刚刚度条件度条件应应用：用：3)3)、确定外荷、确定外荷载载:2)2)、设计设计截面尺寸截面尺寸:1)1)、校核、校核刚刚度度；50.BCA例例3-7 图图示示传动轴传动轴系系钢钢制制实实心心圆圆截面截面轴轴。已知：已知：m1=1592 Nm，m2=955 Nm，m3=637 Nm。截面截面 A与截面与截面 B、C之之间间的距离分的距离分别为别为lAB=300 mm和和lAC=500 mm。轴轴的直径的直径d=70 mm，钢钢的剪的剪变变模量模量为为 G=80 GPa。试试求：截面求：截面 C 对对截面截面B 的的对对扭扭转转角。角。解法解法1：假：假设设A截面不截面不动动，先，先分分别计别计算截面算截面B、C对对截面截面A的相的相对对扭扭转转角角 AB 和和 AC。与与 m2 转转向相同向相同51.与与 m3 转转向相同向相同BCA计计算截面算截面 C 对对截面截面 B 的相的相对对扭扭转转角角 BC转转向与向与 m3 相同相同52.解法解法 2：设设截面截面B固定不固定不动动，先分，先分别计别计算算m1、m3 单单独作用下截面独作用下截面 C 对对截面截面 B 的相的相对对扭扭转转角角 BC1 和和 BC2，然后叠加，即采用，然后叠加，即采用叠加法叠加法。m1单单独独作用下截面作用下截面 C 对对截面截面 B 的相的相对对扭扭转转角角 BC1 ABCABC转转向与向与m3相同相同 m3单单独独作用下截面作用下截面 C 对对截面截面 B 的相的相对对扭扭转转角角 BC2C截面截面对对截面截面 B 的相的相对对扭扭转转角角m353.例例3-8 已已知知：MA=180 N.m，MB=320 N.m，MC=140 N.m，Ip=3105 mm4，l=2 m，G=80 GPa，=0.5 ()/m。试试校核校核轴的的刚度。度。解：解：BCAllMAMBMC轴的的刚度足度足够54.例例3-9 一一电电机的机的传动轴传动轴直径直径 d=40 mm，轴传递轴传递的功率的功率P=30 kW，转转速速 n=1400 r/min。轴轴由由45号号钢钢制成，其制成，其许许用剪用剪应应力力 =40 MPa，剪剪变变模量模量为为 G=80 GPa，许许可可单单位位长长度扭度扭转转角角 =2 /m。试试校核校核该轴该轴的的强强度和度和刚刚度。度。解解:计计算外力偶矩算外力偶矩计计算算抗扭截面系数抗扭截面系数 WP计计算算 max55.计计算算 单单位位长长度扭度扭转转角角 计计算算 极极惯惯性矩性矩 IP所以，此所以，此轴轴同同时满时满足足强强度条件和度条件和刚刚度条件。度条件。56.例例 3-10 圆轴圆轴如如图图所示。已知所示。已知 d1=75mm，d2=110 mm。材料的。材料的许许用剪用剪应应力力 =40 MPa，轴轴的的许许用用单单位扭位扭转转角角 =0.8/m，剪切剪切弹弹性模量性模量G=80 GPa。试试校核校核该轴该轴的的强强度和度和刚刚度。度。d2d1ABC8 kNm5 kNm3 kNm+8 kNm3 kNm解：作扭矩解：作扭矩图图满满足足强强度和度和刚刚度要求度要求57.例例3-11 传动轴传动轴的的转转速速为为 n=500 r/min，主，主动轮动轮A 输输入功率入功率P1=400 kW，从，从动轮动轮B，C 分分别输别输出功率出功率P2=160 kW，P3=240 kW。已知。已知 =70 MPa，=1/m，G=80 GPa。(1)试试确定确定AB 段的直径段的直径 d1 和和BC 段的直径段的直径 d2；(2)若若AB和和BC 两段两段选选同一直径，同一直径，试试确定直径确定直径 d；(3)主主动轮动轮和从和从动轮应动轮应如何安排才比如何安排才比较较合理合理?解：解：1.1.计计算外力偶矩算外力偶矩 ABCd2d1M1M2M3一一2.2.作扭矩作扭矩图图 58.按按刚刚度度条件条件 3.3.直径直径 d d1 1 的的选选取取 按按强强度度条件条件 ABCd2d1M1M2M3一一59.按按刚刚度度条件条件 4.4.直径直径 d2 2 的的选选取取 按按强强度度条件条件 5.5.选选同一直径同一直径时时ABCd2d1M1M2M3一一60.6.6.将主将主动轮动轮装在两从装在两从动轮动轮之之间间受力合理受力合理ABCd2d1M1M2M3一一ABCd2d1M1M2M3一一61.作作业业：习题习题 3-3习题习题 3-6习题习题 3-10习题习题 3-1262.3.6 等直非等直非圆圆杆自由扭杆自由扭转时转时的的应应力和力和变变形形3.6.1 矩形截面杆的自由扭矩形截面杆的自由扭转转常常见见的非的非圆圆截面受扭杆截面受扭杆为为矩形截面杆和薄壁杆件矩形截面杆和薄壁杆件圆圆杆扭杆扭转时转时 横截面保持横截面保持为为平面；平面；非非圆圆杆扭杆扭转时转时横截面由平面横截面由平面变为变为曲面（曲面（发发生生翘翘曲）。曲）。63.观测观测表明：表明：矩形截面杆扭矩形截面杆扭转时转时，其横截面不再保持，其横截面不再保持为为平面而平面而发发生生翘翘曲，因此曲，因此圆圆周扭周扭转时转时的平面假的平面假设设在此不再成立，在此不再成立，圆轴圆轴扭扭转时转时的的应应力、力、变变形公式也不再适用形公式也不再适用。非非圆圆截面杆扭截面杆扭转转的研究方法：的研究方法：弹弹性力学方法性力学方法非非圆圆截面杆扭截面杆扭转转的分的分类类：1 1、自由扭自由扭转转（纯纯扭扭转转），），2 2、约约束扭束扭转转。自由扭自由扭转转：各横截面：各横截面翘翘曲程度不受任何曲程度不受任何约约束（可自由凹凸），任意两相束（可自由凹凸），任意两相邻邻截截 面面翘翘曲程度相同。横截面上，只有切曲程度相同。横截面上，只有切应应力没有正力没有正应应力。力。约约束扭束扭转转：由于：由于约约束条件或受力限制，造成杆各横截面束条件或受力限制，造成杆各横截面翘翘曲程度不同。曲程度不同。横截横截 面上引起附加正面上引起附加正应应力，其力，其值值在一般在一般实实体截面杆中很小，可不体截面杆中很小，可不计计；但在薄壁杆件中，不能忽略。但在薄壁杆件中，不能忽略。64.1、横截面上角点横截面上角点处处，切，切应应力力为为零零2、横截面横截面边缘边缘各点各点处处，切，切应应力力/截面周截面周边边3、横截面周横截面周边长边边长边中点中点处处，切，切应应力最大力最大矩形截面杆自由扭矩形截面杆自由扭转时转时应应力分布特点力分布特点bhT（弹弹性力学解）性力学解）系数系数 a,b,与与 h/b 有关。有关。长边长边中点中点 t 最大最大矩形截面杆自由扭矩形截面杆自由扭转时应转时应力力计计算算65.本章小本章小结结1 1、受扭物体的受力和、受扭物体的受力和变变形特点形特点2 2、扭矩、扭矩计计算，扭矩算，扭矩图绘图绘制制3 3、圆轴圆轴扭扭转时转时横截面上的横截面上的应应力力计计算及算及强强度度计计算算4 4、圆轴圆轴扭扭转时转时的的变变形及形及刚刚度度计计算算66.67.