数值分析-6.ppt

课程内容课程内容第一章第一章 数值数值计算中的误差计算中的误差第二章第二章 方程（组）的迭代解法方程（组）的迭代解法第三章第三章 解线性方程组的直接解法解线性方程组的直接解法第四章第四章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法第五章第五章 插值法插值法第六章第六章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分第2页第六章第六章 数值微分和数值积分数值微分和数值积分第六章第六章 数值积分和数值微分数值积分和数值微分第3页本章内容本章内容1数值积分数值积分2 数值微分数值微分41 1 数值积分数值积分数值积分数值积分1 数值积分数值积分问题的提出问题的提出被积函数的原函数不能用初等函数表示；被积函数的原函数不能用初等函数表示；被积函数的原函数过于复杂；被积函数的原函数过于复杂；原函数以表格形式给出；原函数以表格形式给出；基本思想：基本思想：用简单函数近似代替被积函数，用简单函数近似代替被积函数，然后建立如下求积公式然后建立如下求积公式1 数值积分数值积分 1 数值积分数值积分 n可以从以下不同角度建可以从以下不同角度建立求积公式立求积公式求积公式具有最高的求积公式具有最高的代数精确度；代数精确度；求积公式的余式具有求积公式的余式具有最小的绝对值；最小的绝对值；求积公式的系数绝对求积公式的系数绝对值之和为最小；值之和为最小；系数相等以便于计算系数相等以便于计算f(x)abx1xn-1f(xn-1)71.1 对称的求积公式对称的求积公式1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式1.3 复化求积公式复化求积公式1.4 龙贝格法龙贝格法1.5 用差分表达的求积公式用差分表达的求积公式1.6 切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式1.7 高斯求积公式高斯求积公式1.8 重积分的求积公式重积分的求积公式 1 数值积分数值积分 f(x)Pn(x)8Ci:只与节点有只与节点有关，与被积函关，与被积函数的形式无关数的形式无关等距情况下的等距情况下的xi=a+ih,h=(b-a)/n1 数值积分数值积分 1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式称为牛顿称为牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式根据等距节点下的拉格朗日插值公式根据等距节点下的拉格朗日插值公式9x=a+thh=(b-a)/nCi(n)牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)系数系数1 数值积分数值积分 1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式10n阶阶Newton-Cotes公式公式nCk(n)11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/2886 41/8409/359/280 34/105 9/2809/35 41/84078Ck=Cn-k柯特斯系数具有对称性柯特斯系数具有对称性1 数值积分数值积分 1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式返回返回计算计算11111 数值积分数值积分 1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式取取f(x)=C系数表系数表12当当n=1=1时，时，C0(1)=C1(1)=1/2物理意义：以过点物理意义：以过点(a,f(a),(b,f(b)的直线代替曲线的直线代替曲线y=f(x),以梯形面积近似曲边梯形面积。又称为以梯形面积近似曲边梯形面积。又称为梯形公式梯形公式。当当n=2时时物理意义：以过三点物理意义：以过三点(a,f(a),(a+b)/2,f(a+b)/2),(b,f(b)的抛物线代替曲线的抛物线代替曲线y=f(x),求求曲边梯形面积的近似值。又称为曲边梯形面积的近似值。又称为辛普生公式辛普生公式（Simpson）。1 数值积分数值积分 1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式例例6.1:用用n=6牛顿牛顿柯特斯公式计算下列定积分值柯特斯公式计算下列定积分值13n解：解：h=(b-a)/n=(1-0)/6=1/6xi=0+i/6=0.04881+0.22041+0.02411+0.21587+0.01929+0.14026+0.02440=0.693151 数值积分数值积分 1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式系数表系数表141.1 对称的求积公式对称的求积公式1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式1.3 复化求积公式复化求积公式1.4 龙贝格法龙贝格法1.5 用差分表达的求积公式用差分表达的求积公式1.6 切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式1.7 高斯求积公式高斯求积公式1.8 重积分的求积公式重积分的求积公式 1 数值积分数值积分 15M个小段个小段hh=(b-a)/Mabn小段小段(m=M/n)个大段个大段1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式111.复化梯形公式复化梯形公式1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式 复化梯形公式复化梯形公式复化梯形公式复化梯形公式2.复化辛普森公式复化辛普森公式17M个小段个小段abn小段小段M=2m1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式 复化辛普森公式复化辛普森公式复化复化辛普森公式：辛普森公式：f0+4f1+f2f2+4f3+f4f4+4f5+f6f6+4f7+f818Mh=(b-a)h=(b-a)/2m1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式 复化辛普森公式复化辛普森公式例例6.2 对定积分对定积分19分别用复化梯形公分别用复化梯形公式或复化辛卜生公式计算时，需要式或复化辛卜生公式计算时，需要M=?n解：先确定解：先确定m2,m4,m21/3,m41/5复化梯形公式复化梯形公式=167复化辛卜生公式复化辛卜生公式M=2m=6可见，为达到可见，为达到相同精度，复相同精度，复化梯形公式需化梯形公式需要的计算量比要的计算量比复化辛卜生公复化辛卜生公式计算量大式计算量大1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式 复化辛普森公式复化辛普森公式20M个小段个小段abn=3小段小段M=3m1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式 复化复化3/8公式公式21m=M/3Mh=b-ah=(b-a)/M1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式 复化复化3/8公式公式复化复化3/8公式：公式：22M个小段个小段abn=4小段小段M=4m*M/41 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式 复化柯特斯公式复化柯特斯公式复化柯特斯公式：复化柯特斯公式：例例:利用利用M=10复化辛卜生公式计算积分并估算误差复化辛卜生公式计算积分并估算误差23解：解：M=10，m=5，h=(b-a)/M=(1-0)/10=0.1=0.03333*(1+0.5)+4(0.90909+0.76923+0.66667+0.58824+0.52632)+2(0.83333+0.71429+0.62500+0.55556)=0.03333*20.79456=0.693081 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式估计舍入误差，估计舍入误差，fi的舍入误差的舍入误差 i 0.5*10-5.中括号内的舍入误差中括号内的舍入误差(0+10)+4(1+3+5+7+9)+2(2+4+6+8)(4 5+2 3)0.5 10-5=1.3 10-6=0.03333 1.3 10-6+20.79456 0.5*10-5=0.43 10-5+0.1 10-3=0.1 10-3 例例6.3 利用利用M=10复化辛卜生公式计算积分并估算误差复化辛卜生公式计算积分并估算误差24估计截断误差估计截断误差1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式=1.3*10-5+0.1*10-3 =0.5*10-3 I 0.693使用复化求积公式，当需要加密分点时，已算出的函数使用复化求积公式，当需要加密分点时，已算出的函数值及积分值仍有效值及积分值仍有效25ababT1abT21 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式当区间当区间a,b分为分为2k等分，步长等分，步长h=(b-a)/2k,复化梯形递推公式为复化梯形递推公式为26n确定满足误差限要求的分段数确定满足误差限要求的分段数M根据余式作估算根据余式作估算事后估计误差法事后估计误差法TMT2M1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式同样复化辛卜生公式有同样复化辛卜生公式有27n复化柯特斯公式有复化柯特斯公式有1 数值积分数值积分 1.3复化求积公式复化求积公式281.1 对称的求积公式对称的求积公式1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式1.3 复化求积公式复化求积公式1.4 龙贝格法龙贝格法1.5 用差分表达的求积公式用差分表达的求积公式1.6 切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式1.7 高斯求积公式高斯求积公式1.8 重积分的求积公式重积分的求积公式 1 数值积分数值积分 29=S11 数值积分数值积分 1.4龙贝格法龙贝格法30复化梯形递推公式构成的序列复化梯形递推公式构成的序列T1 T2 T4辛卜生序列辛卜生序列S1 S2 S4C1=柯特斯序列柯特斯序列C1 C2 C4龙贝格序列龙贝格序列R1 R2 R4龙贝格求积法龙贝格求积法1 数值积分数值积分 1.4龙贝格法龙贝格法31T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R21 数值积分数值积分 1.4龙贝格法龙贝格法例例6.4 求求32 的近似值，要求稳定到小数后的近似值，要求稳定到小数后5位位解：解：=3.13118=3.14157=3.14212T8=3.13899S4=3.14159C2=3.141591 数值积分数值积分 1.4龙贝格法龙贝格法331.1 对称的求积公式对称的求积公式1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式1.3 复化求积公式复化求积公式1.4 龙贝格法龙贝格法1.5 用差分表达的求积公式用差分表达的求积公式1.6 切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式1.7 高斯求积公式高斯求积公式1.8 重积分的求积公式重积分的求积公式 1 数值积分数值积分 如果一个求积公式对任意如果一个求积公式对任意n次多项式精确成立，次多项式精确成立，而对大于而对大于n的多项式不精确成立，称该求积公式的多项式不精确成立，称该求积公式具有具有n次代数精确度次代数精确度。高斯求积公式的高斯求积公式的方法原则方法原则是使求积公式是使求积公式34对次数尽可能高的多项式精确成立。对次数尽可能高的多项式精确成立。(tt1)(ttn)ci1 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式1 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式增加增加m个新节点个新节点,tn+1 tn+2 tn+m35Qm-1(t)36Qm-1(t)1 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式取取 作为作为 ，并取，并取m=n。勒让德多项式勒让德多项式勒让德多项式性质：勒让德多项式性质：(1)勒让德多项式是勒让德多项式是-1,1区间上的正交函数组，即区间上的正交函数组，即37(2)对一切对一切kn，有有(3)n次勒让德多项式有次勒让德多项式有n个不同的零点。个不同的零点。1 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式令令m=n,取取n次勒让德多项式的次勒让德多项式的n个零点个零点t1,t2,tn作为插值节点作为插值节点38高斯求积公式高斯求积公式1 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式39-110tabx1 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式例例6.10 利用高斯求积公式利用高斯求积公式(n=3)求下列积分求下列积分40n 解：按照公式解：按照公式求解以下节点值求解以下节点值+0.88889*1.41421+0.55556*1.66571)=1.398701 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式41I=1.39870 1.3991 数值积分数值积分 1.7 高斯求积公式高斯求积公式421.1 对称的求积公式对称的求积公式1.2牛顿牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式1.3 复化求积公式复化求积公式1.4 龙贝格法龙贝格法1.5 用差分表达的求积公式用差分表达的求积公式1.6 切比雪夫求积公式切比雪夫求积公式1.7 高斯求积公式高斯求积公式1.8 重积分的求积公式重积分的求积公式 1 数值积分数值积分 431 数值积分数值积分 1.8 重积分的求积公式重积分的求积公式440 x0=ax1x2=by0=cy1y2=d11114444161 数值积分数值积分 1.8 重积分的求积公式重积分的求积公式