资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定
2．下列各式计算正确的是（ ）
A．2x•3x=6x B．3x-2x=x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x
3．要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O、B的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点C的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，﹣1） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
5．方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．任何实数． B．m≠0 C．m≠2 D．m≠﹣2
6．如图，与是位似图形，相似比为，已知，则的长（ ）
A． B． C． D．
7．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（ ）
A． B．2 C．1.5 D．
8．反比例函数图象上的两点为，且，则下列表达式成立的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在反比例函数的图象上，并且x10x2x3，则下列各式中正确的是（ ）
A．y1y2y3 B．y3y2y1 C．y2y3y1 D．y1y3y2
10．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB为20m时，水面与桥拱顶的高度DO等于（ ）
A．2m B．4m C．10m D．16m
11．在中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．的半径为，、是的两条弦，．，，则和之间的距离为______
14．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于_____厘米．
15．为了解早高峰期间A，B两邻近地铁站乘客的乘车等待时间（指乘客从进站到乘上车的时间），某部门在同一上班高峰时段对A、B两地铁站各随机抽取了500名乘客，收集了其乘车等待时间（单位：分钟）的数据，统计如表：
等待时的频数间
乘车等待时间
地铁站
5≤t≤10
10＜t≤15
15＜t≤20
20＜t≤25
25＜t≤30
合计
A
50
50
152
148
100
500
B
45
215
167
43
30
500
据此估计，早高峰期间，在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为_____；夏老师家正好位于A，B两地铁站之间，她希望每天上班的乘车等待时间不超过20分钟，则她应尽量选择从_____地铁站上车．（填“A”或“B”）
16．如图，在Rt△ABC中，，CD是AB边上的高，已知AB＝25，BC＝15，则BD＝__________．
17．在一个不透明的袋子中，装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同。搅匀后从中随机一次摸出两个球，则摸到的两个球都是白球的概率是____．
18．正方形的边长为，点是正方形的中心，将此正方形沿直线滚动（无滑动），且每一次滚动的角度都等于90°.例如：点不动，滚动正方形，当点上方相邻的点落在直线上时为第1次滚动.如果将正方形滚动2020次，那么点经过的路程等于__________．（结果不取近似值）
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面，竹标顶端离地面，小明到竹杆的距离，竹杆到塔底的距离，求这座古塔的高度．
20．（8分）如图，在中，是边上的高，且．
（1）求的度数；
（2）在（1）的条件下，若，求的长．
21．（8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．
（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方 向 以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时， 动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/ 秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为（每个方格的边长均为个单位长度）.
（1）将以点为旋转中心，逆时针旋转度得到，请画出；
（2）请以点为位似中心，画出的位似三角形，使相似比为.
23．（10分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90º后得到△A1OB1．
（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为 ；
（3）点A1的坐标为 ；
（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为 ．
24．（10分）请阅读下面材料：
问题：已知方程x1+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．
解：设所求方程的根为y，y=，所以x＝1y
把x＝1y代入已知方程，得(1y)1+1y-3＝0
化简，得4y1+1y-3＝0
故所求方程为4y1+1y-3＝0
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”解决下列问题：
（1）已知方程1x1-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________．
（1）已知方程ax1+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，使它的根比已知方程根的相反数的一半多1．
25．（12分）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
10
8
9
8
10
9
乙
10
10
10
9
8
（1）根据表格中的数据，可计算出甲的平均成绩是 环（直接写出结果）；
（2）已知乙的平均成绩是9环，试计算其第二次测试成绩的环数；
（3）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差，根据计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.
（计算方差的公式：）
26．如图, 是半圆的直径, 是半圆上的一点, 切半圆于点，于为点，与半圆交于点．
(1)求证: 平分；
(2)若,求圆的直径．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据根的判别式即可求解判断.
【详解】∵△=b2-4ac=m2+4＞0，故方程有两个不相等的实数根，
故选A.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟知判别式的性质.
2、B
【解析】计算得到结果，即可作出判断
【详解】A、原式=6x2，不符合题意；
B、原式=x，符合题意；
C、原式=4x2，不符合题意；
D、原式=3，不符合题意，
故选B
【点睛】
考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3、D
【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义：分母不为零，可得出x的取值．
【详解】解：要使二次根式有意义，则，且，
故的取值范围是：且.
故选：D.
【点睛】
此题考查了二次根式及分式有意义的条件，属于基础题，解答本题的关键是掌握：二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义：分母不为零，难度一般．
4、C
【详解】解:由图可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．
故选C．
5、C
【分析】根据二次项系数不为0列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】∵方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
解得，m≠2，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用问题，掌握一元一次方程的性质以及应用是解题的关键．
6、B
【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，
∴ ，即，
解得，DE=
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解题的关键．
7、B
【详解】解：∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∠B=90°，
∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，
∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90°，
∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，
∴∠CAB=30°，∴∠ACB=60°，
∴∠BCE=∠ACB=30°，
∴BE=CE，
∵AB∥CD，∴∠OAE=∠FCO，
在△AOE和△COF中，∵∠OAE=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∴EF与AC互相垂直平分，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
∴BE=AE，
∴=2，
故选B．
【点睛】
本题考查翻折变换（折叠问题）．
8、D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，然后分类讨论：0＜ ＜得到；当＜0＜得到＜；当＜＜0得到．
【详解】∵反比例函数图象上的两点为，，
∴，
∴，，
当0＜ ＜，；
当＜0＜，＜；
当＜＜0，；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
9、D
【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标是解题的关键．
10、B
【分析】根据题意，水面宽度AB为20则B点的横坐标为10，利用B点是函数为图象上的点即可求解y的值即DO
【详解】根据题意B的横坐标为10，
把x＝10代入，
得y＝﹣4，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
即水面与桥拱顶的高度DO等于4m．
故选B．
【点睛】
本题考查了点的坐标及二次函数的实际应用．
11、C
【分析】作出图形，设BC=2k，AB=5k，利用勾股定理列式求出AC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解．
【详解】解：如图，
∴设BC=2k，AB=5k，
∴由勾股定理得
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便．
12、B
【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故选B．
【点睛】
考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、7cm或17cm
【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE＝12，CF＝5，然后根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE＝5，在Rt△OCF中计算出OF＝12，再分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE．
【详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∴AE＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，
在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，
∴OE＝，
在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，
∴OF＝，
当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE＝12＋5＝17；
当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE＝12−5＝7；
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．
故答案为：7cm或17cm．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和分类讨论的数学思想．
14、1
【解析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．
【详解】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，
∴d＝R﹣r＝5﹣2＝1cm，
故答案为1．
【点睛】
此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
15、 B
【分析】用“用时不超过15分钟”的人数除以总人数即可求得概率；
先分别求出A线路不超过20分钟的人数和B线路不超过20分钟的人数，再进行比较即可得出答案．
【详解】∵在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟有50+50＝100人，
∴在A地铁站“乘车等待时间不超过15分钟”的概率为＝，
∵A线路不超过20分钟的有50+50+152＝252人，
B线路不超过20分钟的有45+215+167＝427人，
∴选择B线路，
故答案为：，B．
【点睛】
此题考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16、9
【分析】利用两角对应相等两三角形相似证△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例得比例式，代入数值求解即可.
【详解】解：∵，,
∴∠ACB=∠CDB=90°,
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴ ,
∴,
∴BD=9.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查利用相似三角形的性质求线段长，证明两三角形相似注意题中隐含条件，如公共角，对顶角等，利用相似的性质得出比例式求解是解答此题的关键.
17、.
【分析】用列表法或画树状图法分析所有等可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下：
∵一共有6种情况，两个球都是白球有2种，
∴P（两个球都是白球），
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18、
【分析】根据题意，画出图形，求出每次滚动点O的运动路程乘滚动次数即可求出结论．
【详解】解：如下图所示，
∵正方形的边长为
∴AB=AD，BO=
∴BD=cm
∴BO=cm
∵每一次滚动的角度都等于90°
∴每一次滚动，点O的运动轨迹为以90°为圆心角，半径为cm的弧长
∴点经过的路程为=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求一个点在运动过程中经过的路程，掌握正方形的性质和弧长公式是解决此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、古塔的高度是．
【分析】根据题意即可求出EG、GH和CG，再证出，列出比例式，即可求解．
【详解】解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，
∴
∵小明眼睛离地面，竹杆顶端离地面
∴
∵
∴，
∴
即
解得：
∴
答：古塔的高度是．
【点睛】
此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键．
20、（1）；（2）
【分析】(1) 是边上的高，且，就可以得出，可得∠A=∠BCD，由直角三角形的性质可求解；
(2证明，可得，再把代入可得答案．
【详解】（1）证明：在中，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知是直角三角形，在中，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键．
21、（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，直线AB的解析式为y=﹣x+3；（2）t=或；（3）存在面积最大，最大值是，此时点P（，）．
【分析】（1）将A（3，0），B（0，3）两点代入y=﹣x2+bx+c，求出b及c即可得到抛物线的解析式，设直线AB的解析式为y=kx+n，将A、B两点坐标代入即可求出解析式；
（2）由题意得OE=t，AF=t，AE=OA﹣OE=3﹣t，分两种情况：①若∠AEF=∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AEF得到=，求出t值；②若∠AFE∠AOB=90°时，证明△AOB∽△AFE，得到=求出t的值；
（3）如图，存在，连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），根据，得到，由此得到当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，并求出点P的坐标.
【详解】（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，
设直线AB的解析式为y=kx+n，
∴ ，解得，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+3；
（2）由题意得，OE=t，AF=t，
∴AE=OA﹣OE=3﹣t，
∵△AEF为直角三角形，
∴①若∠AEF=∠AOB=90°时，
∵∠BAO=∠EAF，
∴△AOB∽△AEF
∴=，
∴，
∴t=．
②若∠AFE∠AOB=90°时，
∵∠BAO=∠EAF，
∴△AOB∽△AFE，
∴=，
∴，
∴t=；
综上所述，t=或；
（3）如图，存在，
连接OP，设点P的坐标为（x，﹣x2+2x+3），
∵,
∴
=
=
=，
∵<0，
∴当x=时△ABP的面积有最大值，最大值是，
此时点P（，）．
【点睛】
此题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，函数与动点问题，函数图象与几何图形面积问题.
22、（1）见详解；（2）见详解.
【分析】（1）根据旋转的规律，将点A、B围绕O逆时针旋转90°，得到A1、B1，连接O、A1、B1即可；
（2）连接OA并延长到A2，使OA2=2OA，连接OB并延长到B2，使OB2=2OB，然后顺次连接O、A2、B2即可；
【详解】解：（1）如图，△OA1B1即为所求作三角形；
（2）如图，△OA2B2即为所求作三角形；
【点睛】
本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键．
23、（1）见解析；（2）（-3，-2）；（3）（-2，3）；（4）
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据关于O点中心对称的点的坐标的特点直接写出答案即可；
（3）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；
（4）利用勾股定理列式求出OB，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】（1）△A1OB1如图所示；
（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（-3，-2）；
（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；
（4）由勾股定理得，OB=，弧BB1的长为：．
考点：1．作图-旋转变换；2．弧长的计算．
24、（1）1y1+y-15＝0；（1）．
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入已知方程整理后即可得到结果；
（1）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=4-1y（y≠0），代入方程ax1+bx+c=0整理即可得．
【详解】解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，
所以x=-y，
把x=-y代入1x1-x-15＝0，
整理得，1y1+y-15＝0，
故答案为：1y1+y-15＝0；
（1）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），
所以，x=4-1y（y≠0），
把x=4-1y代入方程ax1+bx+c=0，
整理得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
25、（1） 9 ；（2） 7 ；（3），，选甲，理由见解析.
【分析】（1）根据图表中的甲每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；
（2）根据图表中的乙每次数据和平均数的计算公式列式计算即可；
（3）分别从平均数和方差进行分析，即可得出答案．
【详解】（1）甲的平均成绩是：；
（2）设第二次的成绩为，
则乙的平均成绩是：，
解得： ；
（3），
，
推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
【点睛】
此题主要考查了平均数的求法、方差的求法以及运用方差做决策，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
26、 (1)见解析；(2)．
【分析】（1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CD，则OC∥BD，所以∠1=∠3，加上∠1=∠2，从而得到∠2=∠3；
（2）连结AE交OC于G，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再证明四边形CDEG为矩形得到GE=CD=8，然后利用勾股定理计算AB的长即可．
【详解】解：（1）证明：连结OC，如图，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥DF，
∴OC∥BD，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BC平分∠ABD；
（2）解：连结AE交OC于G，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵OC∥BD，
∴OC⊥CD，
∴AG=EG，
易得四边形CDEG为矩形，
∴GE=CD=8，
∴AE=2EG=16，
在Rt△ABE中，AB==，
即圆的直径为.
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
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