资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是( )
A．4 B．﹣4 C．2 D．±2
2．举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米.55000这个数用科学记数法可表示为( )
A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104
3．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．−2 B．2 C．−4 D．4
4．若将抛物线y＝2（x+4）2﹣1平移后其顶点落y在轴上，则下面平移正确的是（ ）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
5．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（ ）
A．点O B．点P C．点M D．点N
7．下列实数中，介于与之间的是( )
A． B． C． D．
8．某天的体育课上，老师测量了班级同学的身高，恰巧小明今日请假没来，经过计算得知，除了小明外，该班其他同学身高的平均数为172，方差为，第二天，小明来到学校，老师帮他补测了身高，发现他的身高也是172，此时全班同学身高的方差为，那么与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
9．二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（ ）
A．﹣8 B．﹣2 C．0 D．6
10．把二次函数化为的形式是
A． B．
C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．由4m＝7n，可得比例式＝____________.
12．一只小狗自由自在地在如图所示的某个正方形场地跑动，然后随意停在图中阴影部分的概率是__．
13．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数中，任取一个数是奇数的概率是 ．
14．已知抛物线与轴交点的横坐标分别为3，1；与轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是____．
15．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，从盒子里随机摸出一个乒乓球，摸到白色乒乓球的概率为，那么盒子内白色乒乓球的个数为_____．
16．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接 CP，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．
17．如图，点，，都在上，连接，，，，，，则的大小是______．
18．在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
20．（6分）如图以的一边为直径作⊙，⊙与边的交点恰好为的中点，过点作⊙的切线交边于点.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
21．（6分）如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．
22．（8分）投资1万元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为x m
（1）设垂直于墙的一边长为y m，直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若菜园面积为384m2，求x的值；
（3）求菜园的最大面积．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
24．（8分）如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）在图中画一个以为一边的菱形，且菱形的面积等于1．
（2）在图中画一个以为对角线的正方形，并直接写出正方形的面积．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是， ，．
（1）请画出关于轴对称的；
（2）以点为位似中心，相似比为1:2，在轴右侧，画出放大后的；
26．（10分）（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在中，,是外一点，且,求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，则、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=________.
（2）（问题解决）如图2，在四边形中，,,求的度数.
（3）（问题拓展）如图3，是正方形的边上两个动点，满足.连接交于点，连接交于点,连接交于点,若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是_______.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:,然后解方程即可求解.
【详解】因为点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上,可得:
,
,
解得:,
故选D.
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象的上点的特征,解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象上点的特征.
2、D
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】55000的小数点向左移动4位得到5.5，
所以55000用科学记数法表示为5.5×104，
故选D.
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3、B
【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．
详解：把x=1代入方程得1+k-3=0，
解得k=1．
故选B．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4、B
【分析】抛物线y＝2（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则原抛物线向右平移4个单位即可．
【详解】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（﹣4，﹣1），平移后抛物线顶点坐标为（0，t）（t为常数），则原抛物线向右平移4个单位即可．
故选：B．
【点睛】
此题考察抛物线的平移规律，根据规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案.
5、A
【解析】考点：旋转的性质．
分析：已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．
解：依题意旋转角∠A′CA=40°，
由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，
由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．
6、B
【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心(如图)在M、N所在的直线上，点P在直线MN上，所以点P为位似中心．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．
7、A
【解析】估算无理数的大小问题可解．
【详解】解：由已知0.67,1.5,
∵因为,,,>3
∴介于与之间
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数大小的估算，解题关键是对无理数大小进行估算．
8、B
【分析】设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm，然后根据方差公式比较大小即可．
【详解】解：设该班的人数有n人，除小明外，其他人的身高为x1，x2……xn-1，
根据平均数的定义可知：算上小明后，平均身高仍为172cm
根据方差公式：
∵
∴即
故选B．
【点睛】
此题考查的是比较方差的大小，掌握方差公式是解决此题的关键．
9、A
【分析】将函数的解析式化成顶点式，再根据二次函数的图象与性质即可得．
【详解】
因此，二次函数的图象特点为：开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大
则当时，二次函数取得最小值，最小值为．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟记函数的图象特征与性质是解题关键．
10、B
【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】原式＝（x2＋4x−4）
＝（x2＋4x＋4−8）
＝（x＋2）2−2
故选：B．
【点睛】
此题考查了二次函数一般式与顶点式的转换，解答此类问题时只要把函数式直接配方即可求解．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据比例的基本性质，将原式进行变形，即等积式化比例式后即可得.
【详解】解：∵4m＝7n，
∴.
故答案为：
【点睛】
本题考查比例的基本性质，将比例进行变形是解答此题的关键.
12、.
【分析】根据概率公式求概率即可.
【详解】图上共有16个方格，黑色方格为7个，
小狗最终停在黑色方格上的概率是．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键.
13、．
【解析】试题分析：∵从1到9这九个自然数中一共有5个奇数，
∴任取一个数是奇数的概率是：．
故答案是．
考点：概率公式．
14、．
【分析】先设所求抛物线是，根据题意可知此线通过，，，把此三组数代入解析式，得到关于、、的方程组，求解即可．
【详解】解：设所求抛物线是，根据抛物线与轴交点的横坐标分别为3，1；与轴交点的纵坐标为6，
得：，
解得，
∴函数解析式是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求函数解析式，方程组的解法，熟悉相关解法是解题的关键．
15、1．
【分析】设盒子内白色乒乓球的个数为x，根据摸到白色乒乓球的概率为列出关于x的方程，解之可得．
【详解】解：设盒子内白色乒乓球的个数为，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴盒子内白色乒乓球的个数为1，
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数．
16、
【分析】如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相似三角形的性质可求AE的长，即可求解．
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵△ABC，△PQC是等边三角形，
∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，
∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，
∴△ACQ≌△BCP（SAS）
∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，
∵AC＝6，AD＝2，
∴CD＝4，
∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，
∴∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝2，DF＝CF÷tan30°=CF＝2，
∴BF＝4，
∴BD＝==2，
∵△CPQ是等边三角形，
∴S△CPQ＝CP2，
∴当CP⊥BD时，△CPQ面积最小，
∴cos∠CBD＝，
∴，
∴BP＝，
∴AQ＝BP＝，
∵∠CAQ＝∠CBP，∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴，
∴，
∴AE＝，
∴QE＝AQ−AE＝．
故答案为；．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出BP的长是本题的关键．
17、
【分析】根据题意可知△ABC是等腰三角形，∠BAO=20°，可得出∠AOB的度数，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得出答案．
【详解】解：∵AO=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵∠BAO=20°
∴∠OBA=20°，∠AOB=140°
∵∠AOB=2∠ACB
∴∠ACB=70°
故答案为：70°
【点睛】
本题主要考查的是同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及圆的基本性质，掌握这两个知识点是解题的关键．
18、
【解析】根据概率的概念，由符合条件的人数除以样本容量，可得P（在日常生活中进行垃圾分类）==.
故答案为.
三、解答题(共66分)
19、（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元
【分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
【详解】（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
【点睛】
本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
20、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理结合切线的性质得出DE⊥BC；
（2）过O点作OF⊥AB，分别用AO表示出FO，BF的长进而得出答案．
【详解】（1）连接
∵为⊙的切线, ∴
∵为中点, 为的中点
∴
∴
(2)过作,则
在中，
∴,
∵, ，
∴
在中，.
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及垂径定理、解直角三角形，正确表示出BF的长是解题关键．
21、（1）y=x2﹣2x﹣1；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（1）（，4）或（，4）或（1，﹣4）．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，那么可以得到方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S△PAB=2，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（1，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=1，
∴﹣1+1=﹣b，
﹣1×1=c，
∴b=﹣2，c=﹣1，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣1．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（1）设P的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=2，
∴AB•|yP|=2，
∵AB=1+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣1，
解得，x=1±2，
把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣1，
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=2．
【点睛】
考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；1.二次函数图象上点的坐标特征．
22、（1）见详解；(2)x=18；(3) 416 m2.
【解析】（1）根据“垂直于墙的长度=可得函数解析式；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；
（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．
【详解】(1)根据题意知，y＝＝－x＋；
(2)根据题意，得(－x＋)x＝384，
解得x＝18或x＝32.
∵墙的长度为24 m，∴x＝18.
(3)设菜园的面积是S，则S＝(－x＋)x＝－x2＋x＝－ (x－25)2＋.
∵－＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大.
∵x≤24，
∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416.
答：菜园的最大面积为416 m2.
【点睛】
本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是将实际问题转化为一元二次方程和二次函数的问题．
23、（1）；（2）或．
【分析】（1）把已知的两点代入解析式即可求出二次函数的解析式；（2）由抛物线的对称性与图形即可得出时的取值范围．
【详解】解：（1）∵抛物线 与轴、轴的交点分别为和，
∴．
解得： ．
∴抛物线的表达式为：．
（2）二次函数图像如下，由图像可知，当时，的取值范围是或．
【点睛】
此题主要考察二次函数的应用.
24、（1）图见解析；（2）图见解析，2．
【分析】（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D即可．
（2）作线段EF的中线与网格交于G、H，且，依次连接E、G、F、H即可，利用正方形面积公式即可求得正方形的面积．
【详解】解：（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D.如图所示.
（2）作线段EF的中线与网格交于G、H，且，依次连接E、G、F、H即可，如图所示.
正方形面积为2.
【点睛】
本题考查了网格作图的问题，掌握菱形的性质以及面积公式、正方形的性质以及面积公式、勾股定理是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）利用关于轴对称点的性质:横坐标相等,纵坐标互为相反数可以求出.
（2）利用位似图像的性质得出对应点位置.
【详解】如图所示：画出轴对称的．
画出放大后的位似．
【点睛】
本题考查了关于对称轴对称的点的性质以及位似的性质.
26、（1）45；（2）25°；（3）
【解析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°；
（3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1＋∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°−90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝，
根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD−OH＝−1．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
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