资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图所示几何体的左视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P对应点的坐标为（ ）
A．（2，﹣4） B．（2，﹣4）或（﹣2，4）
C．（，﹣1） D．（，﹣1）或（﹣，1）
4．将二次函数化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
5．若y=(2-m)是二次函数,则m等于( )
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
6．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，则BC等于（ ）
A． B．4 C．36 D．
7．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则此斜坡的水平距离AC为（ ）
A．75m B．50m C．30m D．12m
8．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1： D．：1
9．下列事件中，属于不确定事件的有（ ）
①太阳从西边升起；②任意摸一张体育彩票会中奖；③掷一枚硬币，有国徽的一面朝下；④小明长大后成为一名宇航员．
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
10．一元二次方程的常数项是（ ）
A．﹣4 B．﹣3 C．1 D．2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若抛物线与轴的交点为与，则抛物线的对称轴为直线___________.
12．如图所示平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴和y轴上，点B在第一象限，BC＝BA，∠ABC＝90°，反比例函数y＝．（x＞0）的图象经过点B，若OB＝2，则k的值为_____．
13．图形之间的变换关系包括平移、______、轴对称以及它们的组合变换．
14．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为________.
15．某车间生产的零件不合格的概率为．如果每天从他们生产的零件中任取10个做试验，那么在大量的重复试验中，平均来说， 天会查出1个次品．
16．圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____.
17．在中，若、满足，则为________三角形．
18．如图，在平面直角坐标系中，，则经过三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为__________；点坐标为，连接，直线与的位置关系是___________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a-c=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是正三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．（6分）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点， 点是线段上方抛物线上的一个动点，
(1)求抛物线解析式:
(2)当点运动到什么位置时，的面积最大?
21．（6分）问题提出
（1）如图①，在中，，求的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆的直径，是半圆的中点，点在上，且，点是上的动点，试求的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形的半径为在选点，在边上选点，在边上选点，求的长度的最小值．
22．（8分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用4800元购进A、B两种粽子共1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．
（1）求A，B两种粽子的单价；
（2）若计划用不超过8000元的资金再次购进A，B两种粽子共1800个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
23．（8分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，他过A、B两点画两条相交于点的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．
24．（8分）如图，在四边形中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，交于点．请回答：
（1）直线与线段的关系是_______________．
（2）若，，求的长．
25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD．求证：四边形ABCD为菱形．
26．（10分）数学不仅是一门学科，也是一种文化，即数学文化.数学文化包括数学史、数学美和数学应用等多方面.古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，国王从此迷上了下棋，为了对聪明的大臣表示感谢，国王答应满足这位大臣的一个要求.大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧.第格放粒米，第格放粒米，第格放粒米，然后是粒、粒、粒······一只到第格.”“你真傻！就要这么一点米粒？”国王哈哈大笑.大臣说：“就怕您的国库里没有这么多米！”国王的国库里真没有这么多米吗？题中问题就是求是多少？请同学们阅读以下解答过程就知道答案了.
设,
则
即：
事实上，按照这位大臣的要求，放满一个棋盘上的个格子需要粒米.那么到底多大呢?借助计算机中的计算器进行计算，可知答案是一个位数: ，这是一个非常大的数，所以国王是不能满足大臣的要求.请用你学到的方法解决以下问题:
我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是:一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的顶层共有多少盏灯?
计算:
某中学“数学社团”开发了一款应用软件，推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知一列数：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，以此类推，求满足如下条件的所有正整数，且这一数列前项和为的正整数幂.请直接写出所有满足条件的软件激活码正整数的值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可．
【详解】该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．
故选A．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图
2、C
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴DE＝1×＝，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE＝∠B′AE，从而求出∠DAE＝30°是解题的关键，也是本题的难点．
3、B
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】点P（1，﹣2）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（1×2，﹣2×2）或（1×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即（2，﹣4）或（﹣2，4），
故选：B．
【点睛】
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
4、C
【分析】利用配方法即可将二次函数转化为顶点式．
【详解】
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键．
5、C
【解析】分析：根据二次函数的定义，自变量指数为2，且二次项系数不为0，列出方程与不等式求解则可．
解答：解：根据二次函数的定义，得：m2-2=2
解得m=2或m=-2
又∵2-m≠0
∴m≠2
∴当m=-2时，这个函数是二次函数．
故选C．
6、B
【分析】根据正弦的定义列式计算即可．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴＝，
解得BC＝4，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了三角函数正弦的定义，熟练掌握定义是解题的关键.
7、A
【分析】根据BC的长度和的值计算出AC的长度即可解答.
【详解】解：因为，又BC＝30，所以，，解得：AC＝75m，所以，故选A.
【点睛】
本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
8、A
【解析】根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度．
【详解】水平距离==4，
则坡度为：1：4=1：1．
故选A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
9、C
【解析】因为不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生,也可能不发生的事件,确定事件包括必然事件和不可能事件,所以①太阳从西边升起,是不可能发生的事件,是确定事件, ②任意摸一张体育彩票会中奖,是不确定事件, ③掷一枚硬币,有国徽的一面朝下,是不确定事件, ④小明长大后成为一名宇航员,是不确定事件,故选C.
点睛:本题考查确定事件和不确定事件的定义,解决本题的关键是要熟练掌握确定事件和不确定事件的定义.
10、A
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
【详解】解：一元二次方程的常数项是﹣4，
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3
【分析】函数的图象与轴的交点的横坐标就是方程的根，再根据两根之和公式与对称轴公式即可求解．
【详解】根据两根之和公式可得，即
则抛物线的对称轴：
故填：3.
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式与对称轴公式，熟练掌握公式是关键．
12、1
【分析】作BD⊥x轴于D，BE⊥y轴于E，则四边形ODBE是矩形，利用AAS证得△ABD≌△CBE，即可证得BD=BE，然后根据勾股定理求得B的坐标，代入y＝．（x＞0）即可求得k的值．
【详解】如图，作BD⊥x轴于D，BE⊥y轴于E，
∴四边形ODBE是矩形，
∴∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD和△CBE中
∴△ABD≌△CBE（AAS），
∴BE＝BD，
∴四边形ODBE是正方形，
∵OB＝2，
根据勾股定理求得OD＝BD＝2，
∴B（2，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，
∴k＝2×2＝1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，求得B的坐标是解题的关键．
13、旋转
【分析】图形变换的形式包括平移、旋转和轴对称．
【详解】图形变换的形式，分别为平移、旋转和轴对称
故答案为：旋转．
【点睛】
本题考查了图形变换的几种形式，分别为平移、旋转和轴对称，以及他们的组合变换．
14、
【分析】连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.由锐角三角函数的知识可知PC=PE，然后通过证明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.
当x=0时，y=3,
∴C(0,3).
当y=0时，
0=-x2+2x+3，
∴x1=3，x2=-1，
∴A（-1，0）、B（3，0），
∴OA=1，OC=3，
∴AC=，
∵二次函数y=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,
∴D(1,0),
∴点A与点D关于y轴对称，
∴sin∠ACO=，
由对称性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD= AC=，
∴sin∠OCD=，
∵sin∠OCD=，
∴PC=PE，
∵PA=PD，
∴PC+PD=PE+PA，
∵∠CDO=∠ADE, ∠COD=AED,
∴△CDO∽△AED,
∴,
∴,
∴；
故答案为.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的知识，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，难度较大，属中考压轴题.
15、1．
【解析】试题分析：根据题意首先得出抽取10个零件需要1天，进而得出答案．
解：∵某车间生产的零件不合格的概率为，每天从他们生产的零件中任取10个做试验，
∴抽取10个零件需要1天，
则1天会查出1个次品．
故答案为1．
考点：概率的意义．
16、216°.
【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),
设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π,
解得n=216.
故答案为216°.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17、直角
【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得∠A和∠B，即可作出判断．
【详解】∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，是解题的关键．
18、（2，0） 相切
【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；由于C在⊙M上，如果CD与⊙M相切，那么C点必为切点；因此可连接MC，证MC是否与CD垂直即可．可根据C、M、D三点坐标，分别表示出△CMD三边的长，然后用勾股定理来判断∠MCD是否为直角．
【详解】解：如图，作线段AB，CD的垂直平分线交点即为M，由图可知经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．
连接MC，MD，
∵MC2=42+22=20，CD2=42+22=20，MD2=62+22=40，
∴MD2=MC2+CD2，∴∠MCD=90°，
又∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
故答案为：（2，0）；相切．
【点睛】
本题考查的直线与圆的位置关系，圆的切线的判定等知识，在网格和坐标系中巧妙地与圆的几何证明有机结合，较新颖．
三、解答题(共66分)
19、（1）直角三角形；（2）．x1=-1，x2=0
【解析】试题分析：（1）根据方程有两个相等的实数根得出△=0，即可得出a2=b2+c2，根据勾股定理的逆定理判断即可；
（2）根据等边进行得出a=b=c，代入方程化简，即可求出方程的解．
解：（1）△ABC是直角三角形，
理由是：∵关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
即（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）=0可整理为2ax2﹣2ax=0，
∴x2﹣x=0，
解得：x1=0，x2=1．
考点：根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理．
20、（1）；（2）点运动到坐标为，面积最大.
【分析】（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．
（2）设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长．把△PAB分成△PAF与△PBF求面积和，即得到△PAB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，△PAB面积最大，进而求得此时点P坐标．
【详解】解: (1) 抛物线过点,
,
解这个方程组，得,
抛物线解析式为.
(2)如图1，过点作轴于点,交于点.
时，,
.
直线解析式为.
点在线段上方抛物线上，
设.
.
.
=
点运动到坐标为，面积最大.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，利用二次函数求三角形面积的最大值，关键在于把原三角形分割成有一边平行于y轴的两个三角形面积之和.
21、（1）12；（2）；（3）．
【分析】（1）如图1中，过点作，交延长线于点，通过构造直角三角形，求出BD利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接、、，过点作，交延长线于点，确定点P的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ的长度即为答案.
（3）解图3所示，在上这一点作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN的长.
【详解】（1）如解图1所示，过点作，交延长线于点，
，
，
，交延长线于点，
为等腰直角三角形，且，
，
在中，，
，即，
，
，解得：，
，
．
（2）如解图2所示，作点关于的对称点，交于点，连接，交于点，连接、、，过点作，交延长线于点，
关于的对称点，交于点，
，
，
点为上的动点，
，
当点处于解图2中的位置，取最小值，且最小值为的长度，
点为半圆的中点，
，
，
，
，
，
在中，由作图知，，且，
，
，
由作图知，四边形为矩形，
，
，
，
的最小值为．
（3）如解图3所示，在上这一点作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，
点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于点，交于点，
，，，
，
．，
，
为上的点，为上的点
，
当点处于解图3的位置时，的长度取最小值，最小值为的长度，
，
，
．
扇形的半径为，
，
在中，，
的长度的最小值为．
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
22、（1）A种粽子单价为4元/个，B种粽子单价为4.1元/个；（2）A种粽子最多能购进100个
【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用4100元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（1100﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过1000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，
根据题意，得：＝1100，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝4.1．
答：A种粽子单价为4元/个，B种粽子单价为4.1元/个．
（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（1100﹣m）个，
依题意，得：4m+4.1（1100﹣m）≤1000，
解得：m≤100．
答：A种粽子最多能购进100个．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23、24.8米．
【分析】首先判定△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质可得，再代入DE=37.2米计算即可．
【详解】∵，∠DOE=∠BOA，
∴△DOE∽△BOA，
∴，
∴，
∴AB=24.8(米)．
答：A、B之间的距离为24.8米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的对应边的比相等．
24、（1）AE垂直平分BD；（2）
【分析】（1）根据基本作图，可得AE垂直平分BD；
（2）连接FB，由垂直平分线的性质得出FD=FB．再根据AAS证明△AOB≌△FOD，那么AB=FD=3，利用线段的和差关系求出FC，然后在直角△FBC中利用勾股定理求出BC的长．
【详解】（1）根据作图方法可知：AE垂直平分BD；
（2）如图，连接BF，
∵AE垂直平分BD，
∴OB=OD，∠AOB=∠FOD=90°，FD=FB，
又∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OFD，
在△AOB和△FOD中，
，
∴△AOB≌△FOD（AAS），
∴AB=FD=3，
∴，
在Rt△BCF中，．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与FD是解题的关键．
25、详见解析．
【分析】先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，证出四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB，即可得出结论．
【详解】证明：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC平分∠BAD．
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，能够了解菱形的几种判定方法是解答本题的关键，难度不大．
26、（1）3；（2）；（3）
【分析】设塔的顶层共有盏灯，根据题意列出方程，进行解答即可.
参照题目中的解题方法进行计算即可.
由题意求得数列的每一项，及前n项和Sn=2n+1-2-n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将-2-n消去即可，分别分别即可求得N的值
【详解】设塔的顶层共有盏灯，由题意得
.
解得，
顶层共有盏灯.
设,
,
即：
.
即
由题意可知：20第一项,20,21第二项,20,21,22第三项,…20,21,22…,2n−1第n项，
根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为：
每项含有的项数为：1，2，3，…，n，
总共的项数为
所有项数的和为
由题意可知：为2的整数幂，只需将−2−n消去即可，
则①1+2+(−2−n)=0,解得：n=1,总共有，不满足N>10，
②1+2+4+(−2−n)=0,解得：n=5,总共有 满足，
③1+2+4+8+(−2−n)=0,解得：n=13,总共有 满足，
④1+2+4+8+16+(−2−n)=0,解得：n=29,总共有 不满足，
∴
【点睛】
考查归纳推理，读懂题目中等比数列的求和方法是解题的关键.
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