资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．所有等边三角形都相似 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似 D．所有矩形都相似
2．已知，，那么ab的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝2，则cosA＝（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
5．在同一直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B．某种彩票的中奖率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖
C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．“概率为1的事件”是必然事件
7．下列图案中是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A．300（1+x）2＝1500 B．300（1+2x）＝1500
C．300（1+x2）＝1500 D．300+2x＝1500
10．在半径为6cm的圆中,长为6cm的弦所对的圆周角的度数为（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
11．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
12．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=( )
A．120° B．110° C．105° D．100°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4.某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为____.
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=，则线段AC的长为 ．
15．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．
16．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.
17．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为_______．
18．若关于的方程和的解完全相同，则的值为________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图①，矩形中，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止.
（1）特殊情形：如图②，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由；
（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示；
①在旋转过程中，若时，求对应的的面积；
②在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值.
20．（8分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
21．（8分）已知：如图，在矩形中，点为上一点，连接，过点作于点，与相似吗？请说明理由．
22．（10分）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
(1)求证：；
(2)若，，求的度数.
23．（10分）数学兴趣小组对矩形面积为9，其周长m的范围进行了探究．兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法解决，以下是他们从“图形”的角度进行探究的部分过程，请把过程补充完整．
（1）建立函数模型．
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得xy＝9，即y＝；由周长为m，得2（x+y）＝m，即y＝﹣x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象．
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一直角坐标系中画出直线y＝﹣x．
（3）平移直线y＝﹣x，观察函数图象．
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，周长m的值为 ；
②在直线平移过程中，直线与函数y＝（x＞0）的图象交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为 ．
24．（10分）如图所示的是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图．AC，BC表示铁夹的两个面，O点是轴，OD⊥AC于点D，且AD＝15mm，DC＝24mm，OD＝10mm．已知文件夹是轴对称图形，试利用图②，求图①中A，B两点间的距离．
25．（12分）已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
26．定义：在平面直角坐标系中，抛物线（）与直线交于点、（点在点右边），将抛物线沿直线翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点、，我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形称为惊喜四边形，对角线与之比称为惊喜度（Degree of surprise），记作.
（1）如图（1）抛物线沿直线翻折后得到惊喜线.则点坐标 ，点坐标 ，惊喜四边形属于所学过的哪种特殊平行四边形？ ，为 .
（2）如果抛物线（）沿直线翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求的值.
（3）如果抛物线沿直线翻折后所得的惊喜线在时，其最高点的纵坐标为16，求的值并直接写出惊喜度.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．
【详解】解：A、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
B、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
C、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
D、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形各内角为60°，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关键．
2、C
【分析】利用平方差公式进行计算，即可得到答案.
【详解】解：∵，，
∴；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算.
3、D
【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算得到答案．
【详解】由勾股定理得，AC＝＝＝，
则cosA＝＝＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．
4、D
【解析】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C．当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选D．
考点：相似三角形的判定．
5、D
【分析】先根据一次函数图象经过的象限得出a、b的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，故A选项错误，
∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，故B选项错误；
∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，故C选项错误；
∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经经过一、三象限，故D选项正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6、D
【解析】试题解析：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B. 某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误；
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为.故C错误；
D. “概率为1的事件”是必然事件,正确.
故选D.
7、B
【解析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：第一个不是中心对称图形；
第二个是中心对称图形；
第三个不是中心对称图形；
第四个是中心对称图形；
故中心对称图形的有2个．
故选B．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
8、A
【分析】根据平行四边形得出，再根据相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】四边形ABCD为平行四边形
故选A.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
9、A
【详解】解：设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意得2018年年收入为：300（1+x）2，
列出方程为：300（1+x）2=1．
故选A．
10、C
【解析】试题解析：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，
连接OA、OB，
因为AB=OA=OB=6，
所以，∠AOB=60°，
根据圆周角定理知，∠C=∠AOB=30°，
根据圆内接四边形的性质可知，∠D=180°-∠C=150°，
所以，弦AB所对的圆周角的度数30°或150°．
故选C．
11、C
【解析】试题分析：由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得：，然后由圆周角定理可得∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．
故选C．
考点：圆周角定理；垂径定理．
12、D
【分析】根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圆周角定理即可得出．
【详解】解：∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=1．
【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=OA=1．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=1，
∴AB=AD=1．
即该船航行的距离（即AB的长）为1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
14、1．
【分析】连结CD如图，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B，则sinD=sinB=，然后在Rt△ACD中利用∠D的正弦可计算出AC的长．
【详解】解：连结CD，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠D=∠B，
∴sinD=sinB=，
在Rt△ACD中，
∵sinD==，
∴AC=AD=×8=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．
15、
【解析】设AB=a，AD=b，则ab=32，构建方程组求出a、b值即可解决问题.
【详解】设AB=a，AD=b，则ab=32，
由∽可得：，
∴，
∴，
∴，，
设PA交BD于O，
在中，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.
16、7
【解析】设树的高度为m，由相似可得，解得，所以树的高度为7m
17、5.
【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：BE==5.
考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．
18、1
【分析】先分解因式，根据两方程的解相同即可得出答案．
【详解】解：，
，
∵关于x的方程和的解完全相同，
∴a=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能正确用因式分解法解方程是解此题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）相似；（2）定值，；（3）①2，②.
【分析】（1）根据“两角相等的两个三角形相似”即可得出答案；
（2）由得出，又为定值，即可得出答案；
（3）先设结合得出
①将t=1代入中求解即可得出答案；
②将s=4.2代入中求解即可得出答案.
【详解】（1）相似
理由：∵，，
∴，
又∵，
∴；
（2）
在旋转过程中的值为定值，
理由如下：过点作于点，∵，
，∴，∴，
∵四边形为矩形，∴四边形为矩形，
∴
∴
即在旋转过程中，的值为定值，；
（3）由（2）知：，∴，
又∵，
∴，，
∴
即：；
①当时，的面积，
②当时，∴
解得：，（舍去）
∴当的面积为4.2时，；
【点睛】
本题考查的是几何综合，难度系数较高，涉及到了相似以及矩形等相关知识点，第三问解题关键在于求出面积与AE的函数关系式.
20、（1）；（2）游戏规则对甲、乙双方不公平．
【解析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率．
（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．
【详解】解：（1）列表如下：
∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，
∴．
（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，
∴．
∵，即P(甲获胜)≠P（乙获胜），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
21、相似，见解析
【分析】先得出，，再根据两角对应相等两个三角形相似即可判断．
【详解】解：相似，理由如下：
在矩形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查矩形的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，属于中考常考题型．
22、 (1)证明见解析；(2)78°.
【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；
（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC
【详解】(1)
(2)
【点睛】
本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键
23、（1）一；（2）见解析；（3）①1；②0个交点时，m＜1；1个交点时，m＝1； 2个交点时，m＞1；（4）m≥1．
【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y＝和y＝﹣x+整理得：﹣mx+9＝0，即可求解；
（4）由（3）可得．
【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点（x，y）在第一象限，
故答案为：一；
（2）图象如下所示：
（3）①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（3，3）时，
由y＝﹣x+得：3＝﹣3+m，解得：m＝1，
故答案为1；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立y＝和y＝﹣x+并整理得：x²﹣mx+9＝0，
∵△＝m²﹣4×9，
∴0个交点时，m＜1；1个交点时，m＝1； 2个交点时，m＞1；
（4）由（3）得：m≥1，
故答案为：m≥1．
【点睛】
本题是反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解即可．
24、AB＝30(mm)
【解析】解：如图所示，连接AB，与CO的延长线交于点E．
∵夹子是轴对称图形，对称轴是CE，且A，B为一组对称点，
∴CE⊥AB，AE＝EB．
在Rt△AEC和Rt△ODC中，∵∠ACE＝∠OCD，
∴Rt△AEC∽Rt△ODC，
∴．∵(mm)，
∴(mm)．
∴AB＝2AE＝15×2＝30(mm)．
25、见解析.
【分析】连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，求出OD⊥BC，根据垂径定理求出即可．
【详解】证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和垂径定理，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．
26、（1）；；菱形；2；（2）；（3），或，.
【分析】（1）当y=0时可求出点A坐标为，B坐标为，AB=4，根据四边形四边相等可知该四边形为菱形，由可知抛物线顶点坐标为（1，-4），所以B，AB=8，即可得到为2；
（2）惊喜度为1即，利用抛物线解析式分别求出各点坐标，从而得到AC和BD的长，计算即可求出m；
（3）先求出顶点坐标，对称轴为直线，讨论对称轴直线是否在这个范围内，分3中情况分别求出最大值为16是m的值.
【详解】解：（1）在抛物线上，
当y=0时，，
解得，，，
∵点在点右边，
∴A点的坐标为，B点的坐标为；
∴AB=4，
∵
∴顶点B的坐标为，
由于BD关于x轴对称，
∴D的坐标为，
∴BD=8，
通过抛物线的对称性得到AB=BC，
又由于翻折，得到AB=BC=AD=CD，
∴惊喜四边形为菱形；
；
（2）由题意得：
的顶点坐标，
解得：，∴
∴，
（3）抛物线的顶点为，对称轴为直线：
①即时，，得
∴
②即时，时，对应惊喜线上最高点的函数值
，∴（舍去）；
∴
③即时形成不了惊喜线，故不存在
综上所述，，或，
【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合问题，需要熟练掌握二次函数的基础内容：顶点坐标、对称轴以及各交点的坐标求法.
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