鸡爪定理的两个应用实例.doc

鸡爪定理的两个应用实例鸡爪定理在用来确定三角形内心的位置时十分有用，能收到事半功倍的效果。我看到很多对曼海姆定理的证明，都比较繁琐，而如果利用鸡爪定理来证明，就相对比较简洁。还有一个有趣的问题，就是问能否在两个内含的圆之间找一个三角形，使得它同时外接于大圆而内切于小圆。这个问题用鸡爪定理来处理，也很简单。再者，鸡爪定理本身也很简单，一眼就能看明白。鸡爪定理：如图1所示，设ABC的内心为I，A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于P，则PI=PJ=PB=PC。其中PI、PJ、PB、PC组成的图形形似鸡爪，故称为鸡爪定理。鸡爪定理的逆定理也是成立的，就是说，如果A的平分线交外接圆于P，另A的平分线上有两点I（三角形内部）和J（三角形外部），如PI=PB，则I为三角形的内心；如PJ=PB，则J为三角形的旁心。它们的证明非常简单，这里略去。曼海姆定理：三角形的内（旁）心与伪内（旁）切圆切三角形两边的两个切点三点共线。所谓伪内（旁）切圆，就是与三角形的两条边相切，并与三角形的外接圆相内（外）切的圆。如图2所示，有一圆与ABC的外接圆相切于N，和AB相切于E，和AC相切于F，则EF的中点为ABC的内心或旁心。当两圆内切时，中点I为内心；当两圆外切时，中点P为旁心。证明：设外接圆的圆心为X，半径为R；伪内（旁）切圆的圆心为Y，半径为r。XY交外接圆于M和N，AY交外接圆于D。根据鸡爪定理的逆定理，我们只需要证明DI=DB，则I即为ABC的内心；只需要证明DP=DB，则P即为ABC的旁心。在RtYFA中，有YA=YF/sin=r/sin；在RtYIF中，有YI=YF*sin=r*sin；在RtYPF中，有YP=YF*sin=r*sin；根据圆幂定理有MY*YN=AY*YD，则内心的情形：(2R-r)*r=(r/sin)*YD，所以YD=(2R-r)*sin；旁心的情形：(2R+r)*r=(r/sin)*YD，所以YD=(2R+r)*sin；所以DI=DY+YI=(2R-r)*sin+r*sin=2R*sin；所以DP=DY-YP=(2R+r)*sin-r*sin=2R*sin；在ABD中，根据正弦定理，有BD=2R*sin；所以DI=DB，即I是ABC的内心；DP=DB，即P是ABC的旁心。最后看一个问题：能否在两个内含的圆之间找一个三角形，使得它同时外接于大圆而内切于小圆。靠直觉就可以知道，小圆的半径r和大圆的半径R相比，不能太大；其次，两圆的圆心距d必须满足某个条件。因此，如图3所示，我们先画出ABC的外接圆和内切圆，看看圆心距和两圆半径的关系如何。根据圆幂定理有IA*ID=IM*IN，而IA=r/sin，IM=R+d，IN=R-d，所以ID=(R+d)*(R-d)*sin/r；在ABD中根据正弦定理DB=2R*sin；又根据鸡爪定理有DB=DI，即2R*sin=(R+d)*(R-d)*sin/r，所以d*d=R*R-2Rr。由此可知，r的最大值为R的1/2，这时两圆的圆心重合，所求的三角形是个正三角形。其次，我们证明，当圆心距满足如上条件时，从大圆上任意一点P，做小圆的两条切线，交大圆于E和F，则PEF就是所求的三角形。为此，我们只需要证明I是PEF的内心即可。连接PI，延长交大圆于G，我们只要证明GE=GI，根据鸡爪定理，则I就是PEF的内心。根据圆幂定理有IP*IG=IM*IN，而IP=r/sin，IM=R+d，IN=R-d，d*d=R*R-2Rr，所以IG=(R+d)*(R-d)*sin/r=2R*sin；在PEG中根据正弦定理有GE=2R*sin；所以GE=GI，即I为PEF的内心。刘俊华2015-2-1