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鸡爪定理的两个应用实例

鸡爪定理在用来确定三角形内心的位置时十分有用，能收到事半功倍的效果。我看到很多对曼海姆定理的证明，都比较繁琐，而如果利用鸡爪定理来证明，就相对比较简洁。还有一个有趣的问题，就是问能否在两个内含的圆之间找一个三角形，使得它同时外接于大圆而内切于小圆。这个问题用鸡爪定理来处理，也很简单。再者，鸡爪定理本身也很简单，一眼就能看明白。

鸡爪定理：如图1所示，设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于P，则PI=PJ=PB=PC。其中PI、PJ、PB、PC组成的图形形似鸡爪，故称为鸡爪定理。鸡爪定理的逆定理也是成立的，就是说，如果∠A的平分线交外接圆于P，另∠A的平分线上有两点I（三角形内部）和J（三角形外部），如PI=PB，则I为三角形的内心；如PJ=PB，则J为三角形的旁心。它们的证明非常简单，这里略去。

曼海姆定理：三角形的内（旁）心与伪内（旁）切圆切三角形两边的两个切点三点共线。所谓伪内（旁）切圆，就是与三角形的两条边相切，并与三角形的外接圆相内（外）切的圆。

如图2所示，有一圆与△ABC的外接圆相切于N，和AB相切于E，和AC相切于F，则EF的中点为△ABC的内心或旁心。当两圆内切时，中点I为内心；当两圆外切时，中点P为旁心。
证明：设外接圆的圆心为X，半径为R；伪内（旁）切圆的圆心为Y，半径为r。XY交外接圆于M和N，AY交外接圆于D。根据鸡爪定理的逆定理，我们只需要证明DI=DB，则I即为△ABC的内心；只需要证明DP=DB，则P即为△ABC的旁心。
在Rt△YFA中，有YA=YF/sinα=r/sinα；
在Rt△YIF中，有YI=YF*sinα=r*sinα；
在Rt△YPF中，有YP=YF*sinα=r*sinα；
根据圆幂定理有MY*YN=AY*YD，则
内心的情形：(2R-r)*r=(r/sinα)*YD，所以YD=(2R-r)*sinα；
旁心的情形：(2R+r)*r=(r/sinα)*YD，所以YD=(2R+r)*sinα；
所以DI=DY+YI=(2R-r)*sinα+r*sinα=2R*sinα；
所以DP=DY-YP=(2R+r)*sinα-r*sinα=2R*sinα；
在△ABD中，根据正弦定理，有BD=2R*sinα；
所以DI=DB，即I是△ABC的内心；DP=DB，即P是△ABC的旁心。

最后看一个问题：能否在两个内含的圆之间找一个三角形，使得它同时外接于大圆而内切于小圆。靠直觉就可以知道，小圆的半径r和大圆的半径R相比，不能太大；其次，两圆的圆心距d必须满足某个条件。因此，如图3所示，我们先画出△ABC的外接圆和内切圆，看看圆心距和两圆半径的关系如何。

根据圆幂定理有IA*ID=IM*IN，
而IA=r/sinα，IM=R+d，IN=R-d，
所以ID=(R+d)*(R-d)*sinα/r；
在△ABD中根据正弦定理DB=2R*sinα；
又根据鸡爪定理有DB=DI，即2R*sinα=(R+d)*(R-d)*sinα/r，
所以d*d=R*R-2Rr。
由此可知，r的最大值为R的1/2，这时两圆的圆心重合，所求的三角形是个正三角形。
其次，我们证明，当圆心距满足如上条件时，从大圆上任意一点P，做小圆的两条切线，交大圆于E和F，则△PEF就是所求的三角形。
为此，我们只需要证明I是△PEF的内心即可。连接PI，延长交大圆于G，我们只要证明GE=GI，根据鸡爪定理，则I就是△PEF的内心。
根据圆幂定理有IP*IG=IM*IN，
而IP=r/sinβ，IM=R+d，IN=R-d，d*d=R*R-2Rr，
所以IG=(R+d)*(R-d)*sinβ/r=2R*sinβ；
在△PEG中根据正弦定理有GE=2R*sinβ；
所以GE=GI，即I为△PEF的内心。
刘俊华2015-2-1