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2021年九年级数学下册 28 锐角三角函数 小专题“四法”确定三角函数值检测题新人教版
2021年九年级数学下册 28 锐角三角函数 小专题“四法”确定三角函数值检测题新人教版
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小专题(五) “四法”确定三角函数值
方法1 回归定义
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,sinA=,AB=15,求△ABC的周长和tanA的值.
解:∵sinA==,
∴BC=AB=×15=12.
∴AC==9.
∴△ABC的周长为9+12+15=36,
tanA===.
2.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sinB=,AD=1.求:
(1)BC的长;
(2)tan∠DAE的值.
解:(1)在△ABC中,
∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADC中,∵∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1,
∴DC=AD=1.
在△ADB中,∵∠ADB=90°,sinB=,AD=1,
∴AB==3.
∴BD==2.
∴BC=BD+DC=2+1.
(2)∵AE是BC边上的中线,
∴CE=BC=+.
∴DE=CE-CD=-.
∴tan∠DAE==-.
3.(上海中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在边AC上,且AD=2CD,DE⊥AB,垂足为点E,连接CE.求:
(1)线段BE的长;
(2)tan∠ECB的值.
解:(1)∵AD=2CD,AC=3,∴AD=2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,
∴∠A=A5°,AB=3.
∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∠ADE=∠A=45°.
∴AE=.∴BE=AB-AE=2.
(2)过点E作EH⊥BC,垂足为点H.
在Rt△BEH中,∠EHB=90°,∠B=45°,
∴EH=BH=2.
又∵BC=3,∴CH=1.
∴tan∠ECB==2.
方法2 巧设参数
4.如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若BD∶CD=3∶2,则tanB=(D)
A. B. C. D.
5.(定州模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,△ABD是等边三角形.如图,将四边形ACBD折叠,使D与C重合,EF为折痕,则∠ACE的正弦值为(D)
A. B. C. D.
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线交BC于点E,EF⊥AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).
(1)求证:△ACE≌△AFE;
(2)求tan∠CAE的值.
解:(1)证明:∵AE是∠BAC的平分线,EC⊥AC,EF⊥AF,∴CE=EF.
在Rt△ACE和Rt△AFE中,
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL).
(2)由(1)可知△ACE≌△AFE,
∴AC=AF,CE=FE.
设BF=m,则AC=AF=2m,AB=3m,
∴BC===m.
∴在Rt△ABC中,tanB===m.
在Rt△EFB中,EF=BF·tanB=m,
∴CE=EF=m.
∴在Rt△ACE中,tan∠CAE===.
方法3 等角代换
7.(益阳中考)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A,D,B在同一条直线上)(B)
A. B. C. D.h·cosα
8.如图,∠1的正切值等于.
9.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,AB,CD相交于点P,则tan∠APD的值是2.
10.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,连接DE,过点C作CF⊥DE于F,过点A作AG∥CF交DE于点G.
(1)求证:△DCF≌△ADG;
(2)若点E是AB的中点,设∠DCF=α,求sinα的值.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=90°.
∵CF⊥DE,∴∠CFD=∠CFG=90°.
∵AG∥CF,∴∠AGD=∠CFG=90°.
∴∠AGD=∠CFD.
又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°,∠DCF+∠CDE=90°,
∴∠ADG=∠DCF.
在△DCF和△ADG中,∴△DCF≌△ADG(AAS).
(2)设正方形ABCD的边长为2a.
∵点E是AB的中点,∴AE=×2a=a.
在Rt△ADE中,DE===a,
∴sin∠ADG===.
∵∠ADG=∠DCF=α,∴sinα=.
方法4 构造直角三角形
11.(迁安一模)如图,四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD上,若P到BD的距离为,则点P的个数为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
12.(河北中考改编)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,tanA=.点P为AD边上任意一点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
(1)当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;
(2)当tan∠ABP∶tanA=3∶2时,求点Q与点B间的距离.(结果保留根号)
解:(1)当点Q与B在PD异侧时,由∠DPQ=10°,∠BPQ=90°得∠BPD=80°,∴∠APB=180°-∠BPD=100°.
当点Q与B在PD同侧时,如图,∠APB=180°-∠BPQ-∠DPQ=80°.
∴∠APB是80°或100°.
(2)过点P作PH⊥AB于点H,连接BQ.
∵tan∠ABP∶tanA=∶=3∶2,
∴AH∶HB=3∶2.
∵AB=10,∴AH=6,HB=4.
在Rt△PHA中,∵tanA==,
∴PH=8.
∴PQ=PB===4.
∴QB=PB=4.
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