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2021年九年级数学下册 28 锐角三角函数 小专题“四法”确定三角函数值检测题新人教版

2021年九年级数学下册 28 锐角三角函数 小专题“四法”确定三角函数值检测题新人教版

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小专题(五)　“四法”确定三角函数值
方法1　回归定义
1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝15，求△ABC的周长和tanA的值．

解：∵sinA＝＝，
∴BC＝AB＝×15＝12.
∴AC＝＝9.
∴△ABC的周长为9＋12＋15＝36，
tanA＝＝＝.

2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.求：

(1)BC的长；
(2)tan∠DAE的值．
解：(1)在△ABC中，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3.
∴BD＝＝2.
∴BC＝BD＋DC＝2＋1.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝＋.
∴DE＝CE－CD＝－.
∴tan∠DAE＝＝－.

3．(上海中考改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，连接CE.求：

(1)线段BE的长；
(2)tan∠ECB的值．
解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴∠A＝A5°，AB＝3.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°.
∴AE＝.∴BE＝AB－AE＝2.
(2)过点E作EH⊥BC，垂足为点H.
在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，
∴EH＝BH＝2.
又∵BC＝3，∴CH＝1.
∴tan∠ECB＝＝2.

方法2　巧设参数
4．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝(D)
A. B. C. D.

5．(定州模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为(D)
A. B. C. D.

6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF＞BF)．

(1)求证：△ACE≌△AFE；
(2)求tan∠CAE的值．
解：(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，∴CE＝EF.
在Rt△ACE和Rt△AFE中，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)．
(2)由(1)可知△ACE≌△AFE，
∴AC＝AF，CE＝FE.
设BF＝m，则AC＝AF＝2m，AB＝3m，
∴BC＝＝＝m.
∴在Rt△ABC中，tanB＝＝＝m.
在Rt△EFB中，EF＝BF·tanB＝m，
∴CE＝EF＝m.
∴在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝＝.

方法3　等角代换
7．(益阳中考)如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)(B)
A. B. C. D．h·cosα

8．如图，∠1的正切值等于．

9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值是2．

10．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G.

(1)求证：△DCF≌△ADG；
(2)若点E是AB的中点，设∠DCF＝α，求sinα的值．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°.
∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°.
∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°.
∴∠AGD＝∠CFD.
又∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°，∠DCF＋∠CDE＝90°，
∴∠ADG＝∠DCF.
在△DCF和△ADG中，∴△DCF≌△ADG(AAS)．
(2)设正方形ABCD的边长为2a.
∵点E是AB的中点，∴AE＝×2a＝a.
在Rt△ADE中，DE＝＝＝a，
∴sin∠ADG＝＝＝.
∵∠ADG＝∠DCF＝α，∴sinα＝.

方法4　构造直角三角形
11．(迁安一模)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2，CD＝，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为(B)

A．1 B．2 C．3 D．4
12．(河北中考改编)如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝.点P为AD边上任意一点，连接PB，将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.

(1)当∠DPQ＝10°时，求∠APB的大小；
(2)当tan∠ABP∶tanA＝3∶2时，求点Q与点B间的距离．(结果保留根号)

解：(1)当点Q与B在PD异侧时，由∠DPQ＝10°，∠BPQ＝90°得∠BPD＝80°，∴∠APB＝180°－∠BPD＝100°.
当点Q与B在PD同侧时，如图，∠APB＝180°－∠BPQ－∠DPQ＝80°.
∴∠APB是80°或100°.
(2)过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ.
∵tan∠ABP∶tanA＝∶＝3∶2，
∴AH∶HB＝3∶2.
∵AB＝10，∴AH＝6，HB＝4.
在Rt△PHA中，∵tanA＝＝，
∴PH＝8.
∴PQ＝PB＝＝＝4.
∴QB＝PB＝4.