抽象函数“三性”的辨析.pdf

抽象函数“三性”的辨析甘肃省兰州市秦川镇兰州新区高级中学(730311)沈茂沛摘要奇偶性,周期性,对称性是抽象函数的重要性质,是高考的高频考点,更是能力考点.三性质的相互融合考题让学生望而却步,为了让学生容易理解掌握三性质,并能灵活应用三性质,下面就以奇偶性,周期性,对称性的原始性质模型(或定义)为问题分析的出发点,进一步分析性质的变式以及性质的相互融合应用.关键词 奇偶性;周期性;对称性;模型奇偶性,周期性,对称性是抽象函数的重要性质,是高考的高频考点,更是能力考点.三性质的相互融合考题让学生望而却步,为了让学生容易理解掌握三性质,并能灵活应用三性质,下面就以奇偶性,周期性,对称性的原始性质模型(或定义)为问题分析的出发点,进一步分析性质的变式以及性质的相互融合应用.1 奇偶性,周期性,对称性的性质模型奇偶性:x D,都有 f(x)=f(x)f(x)为偶函数.x D,都有 f(x)=f(x)f(x)为奇函数.周期性:x D,都有 f(x+a)=f(x)f(x)的周期T=a.对称性:i.x D,都有f(a+x)=f(ax)当任意点(a+x,y)满足 f(x)时,必有点(a x,y)满足 f(x)f(x)关于直线 x=a 对称.ii.x D,都有 f(a+x)=f(a x)当任意点(a+x,y)满足f(x)时,必有点(ax,y)满足f(x)f(x)关于点(a,0)中心对称.(其他变式的周期模型,对称模型都是上述模型的变式.)2 常见周期性质模型与“x R,f(a x)=f(x)”模型的辨析常见周期性质模型:f(x+a)=f(x)f(x)的周期 T=a,f(x+a)=f(x)f(x)的周期 T=2a.由x R,f(ax)=f(x)能得到什么?下面用 6 个变式阐述这个模型.变式 1、由 x R,f(x)=f(2 x)能得到什么?分析：f(x)=f(2 x)f(x+1)=f(2 (x+1)f(1+x)=f(1 x)x=1是f(x)的对称轴;或者f(x)=f(2x)当任意的点(x,y)满足 y=f(x)时,必有点(2 x,y)满足 y=f(x)f(x)关于直线 x=1 对称.变式 2、由 f(x)=f(2 x),且 f(x)在 R 上的奇函数,又能得到什么?分析：f(x)=f(2 x),f(x)是奇函数f(x)=f(x 2)=f(x+2)f(x)=f(x+2)f(x+2)=f(x+2)+2)=f(x+4)f(x+4)=f(x+2)=f(x)f(x+4)=f(x)周期 T=4.变式 3、由 f(x)=f(2 x),且 f(x)在 R 上的偶函数,又能得到什么?分析：f(x)=f(2 x),f(x)是偶函数 f(x+2)=f(2 (x+2)f(x+2)=f(x)=f(x)周期 T=2.变式 4、由 x R,f(x)=f(2 x),能得到什么?分析：由 f(x)=f(2 x)当任意的点(x,y)满足y=f(x)时,必有点(2 x,y)满足 y=f(x)f(x)关于点(1,0)中心对称.变式 5、由 f(x)=f(2x),且 f(x)在 R 上的奇函数,又能得到什么?分析：由 f(x)=f(2 x),f(x)是奇函数 f(x)=f(x 2)f(x+2)=f(x)周期 T=2.变式 6、由 f(x)=f(2x),且 f(x)在 R 上的偶函数,又能得到什么?分析：由 f(x)=f(2 x),f(x)是偶函数 f(x)=f(2+x)f(x+2)=f(x)周期 T=4.感悟总结:模型“x R,f(a x)=f(x)”可以与函数的对称轴,对称中心,周期紧密相关,重点在周期.3 常 见 对 称 性 质 模 型 与“x R,f(x+a)=f(x a)”模型的辨析常见对称性质模型:f(a+x)=f(a x)x=a 是