牛吃草问题(思维训练).doc

牛吃草问题一、知识地图：二、基础知识：英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”，类似的还有抽水问题等。我们具体来看一道典型的牛吃草问题：牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？分析：要想知道这些草供25头牛可吃几天，必须知道草的总量和每头牛每天吃草的量。然而题目当中并没有告诉我们这样的条件。因此我们可以假设1头牛1天吃1份的草，那么10头牛20天可以吃1020=200份草。15头牛10天可以吃1510=150份草，有同学可能会奇怪了，同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样啊？你们明白为什么吗？聪明的同学可能已经明白了，对，因为每天都会有新的草长出来，所以草的总量并不是固定不变的。吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚才的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10天要多，原因就在于此。我们来看看下面这幅图：从上面的图可以看出：草的总量可以分成两部分，一部分是原有的草，还有一部分是新长的草。10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃份，则这块牧场每天新长份牧草。在第一种情况中，20天一共新长了份牧草，而牛一共吃了份，说明原来有牧草份。因为每天长5份的草，因此我们可以这样考虑，安排5头牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草，什么时候才能把草吃完呢？当牛把原有的草吃完的时候，草就不再生长了，也就是把所有的草全都吃完了。25头牛中安排5头牛吃新草，剩下的20头牛去吃原有的草，那么原有牧草可维持5天，即可供25头牛吃5天。解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为五步法：1. 求出两个总量。2. 总量的差时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数3. 每天长草量天数=总共长出来的草4. 草的总量总共长出来的草原有的草5. 原有的草吃原有草的牛能吃多少天（或原有的草能吃多少天吃原有草的牛）当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上五步法只能作为参考，切不可生搬硬套。上面是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路。我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是：牛吃草总量=草场原有草量+新长草量这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案的进行比较，是获得解题思路的捷径。这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。具体来看这里的关系：牛的头数吃的天数=草场原有草量+每天长草量吃的天数由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来：（1）每天长草量（2）草场原有草量请“奥数研究生”们在下面的例题中揣摩这两个量的求解方法。经典透析【例1】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？分析：同学们可以试着用五步法来解决一下这道题。注意要求出每天长草量和原有草量。设1头牛1天吃1份的草，1.求两个总量，2761622392072.总量的差时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数（207162）（96）153.每天长草量天数=总共长出来的草156904.草的总量总共长出来的草原有的草16290725.原有的草吃原有草的牛能吃多少天72（2115）12所以如果养牛21头，那么12天能把草吃尽点评：对于比较基本的牛吃草问题，五步法还是很好用的。【例】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？分析：很显然，这道题和我们上一道题是有区别的，上一题每天的草量在增加，而这道题却是草量每天减少。那么该怎么处理这个问题呢？上一道题我们安排了一部分牛去吃新长的草，那么这道题能不能把每天减少的草想象成是有一些牛来帮忙吃了呢？设1头牛1天吃1份牧草，则20头牛5天吃掉205=100份牧草，16头牛6天吃掉166=96份牧草，说明6-5=1天牧场上的牧草减少100-96=4份，我们可以假设有4头牛来帮忙把这部分草给吃了。牧场上的原有草量是：100+45=120份。原来有11头牛，现在又有4头牛来帮忙吃，所以可维持120（11+4）=8天。点评：这道题的关键在于要把每天减少的草假设成有若干头牛来帮忙吃，如果理解了这个问题，那么剩下的步骤和最基本的牛吃草问题就一样了，我们也可以用五步法来解决。【例】有一个水池，池底有一个打开的出水口，用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间能把水漏完？分析：这道题表面上看好象和牛吃草没有什么关系，但是仔细想想，我们可以把抽水机当作牛，把水当作草，把出水口看成是来帮忙吃草的牛。大家可以试试用五步法来解答一下。 设1台抽水机1小时抽出1单位的水，那么5台抽水机20小时抽出520=100单位的水，8台抽水机15小时抽出815=120单位的水，说明池底的出水口20-15=5小时漏出120-100=20单位的水，则出水口的出水速度是每小时205=4单位，水池中原有100+420=180单位的水，如果仅靠出水口出水，需要1804=45小时。点评：牛吃草问题有一些变例，其中比较典型的就是抽水问题，我们只需要弄清楚它与牛吃草问题的联系，把里面的关系理顺，还是可以用牛吃草问题很容易的加以解决。【例】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问有牛多少头（草每日匀速生长）？分析：根据五步法，我们其实很容易完成前几步的操作。设1头牛1天吃1份草，则牧草每天的生长量：份；原有草量：份。做到这里的时候出现一个问题了，本题的一个变化是牛的数量减少了，那么我们该如何处理呢？我们能不能假设这4头牛没卖？如果不卖，草肯定不够吃了，要保证这4头牛在最后两天有草吃，我们必须增加428份的草才可以。这样就相当于所有的牛都吃了8天的草，如果能理解这一点，那么剩下的问题就好解决了。假设牛的数量保持不变，连续吃6+2=8天，共需要牧草2409842=320份，因此有牛3208=40头。点评：牛吃草问题的一个变化就是牛的数量的改变，对于牛减少了或者增加了，我们应该假设牛没有减少或增加，相应的增加或减少一部分草的总量，然后就可以按照基本的牛吃草问题来处理了。【例】一块草地，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？分析：这道题又有一个新的变化，不是只有牛了，而是有牛又有羊，表面上看起来很复杂，但是冷静的分析一下，因为题目告诉我们1头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，因此我们可以把4只羊换成1头牛，这样就只剩一种动物了。80只羊可以换成20头牛，60只羊可以换成15头牛，然后就可以用我们的“五步法”来操作了。 设1头牛1天吃1份牧草，那么16头牛20天一共吃了1620=320份草，20头牛12天吃了240份草，每天长草量为（320-240）（20-12）=10份草，原有的草量为320-1020=120份草，现在有10+15=25头牛，其中吃原有草的牛有25-10=15头，那么可以吃12015=8天。点评：不论是有几种动物，只要他们之间互相有联系，那么都可以把它们转化成一种动物来操作。【例】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：第三块草地可供50头牛吃几周？分析：之前我们讲的所有的牛吃草问题都是在同一块草地上，也就是说草地的面积是固定不变的。然而这道题却有三块面积不同的草地，该怎么办呢？虽然三块草地的面积不同，但是我们可以把它变成相同的，方法是分别转化成1公顷然后再进行计算。设1头牛1周吃1份牧草。24头牛6周吃掉246=144份，说明每公顷草地6周提供1444=36份牧草；36头牛12周吃掉3612=432份，说明每公顷草地12周提供4328=54份牧草。每公顷草地12-6=6周多提供54-36=18份牧草，说明每公顷草地每周的牧草生长量是186=3份，原有草量是36-36=18份。10公顷草地原有1810=180份牧草，每周新增310=30份，可供50头牛吃180（50-30）=9周。点评：对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。【例】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？ 分析：这道题和上一道题其实是同一种类型的，这里提供几种解法给大家参考一下。（方法一）设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析10头牛30天吃掉1030300份，说明：1公顷牧场30天提供300560份草：1公顷原有草量30天1公顷新生草量28头牛45天吃掉28451260份，说明1公顷牧场45天提供12601584份草：1公顷原有草量45天1公顷新生草量每公顷牧场453015天多提供846024份草，说明1公顷牧场1天的草生长量为24151.6份， 1公顷原有草量601.63012。1天24公顷新生草1.62438.4；24公顷原有草1224288那么80天24公顷可提供草： 28838.4803360；所以共需要牛的头数是：33608042（头）牛。（方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“1”原条件： 5公顷 10头牛 30天 15公顷 28头牛 45天可转化为：相当于把 5公顷草地分割成 5块每块一公顷有2头牛来吃，所以吃的时间不变 相当于把15公顷草地分割成15块每块一公顷有头牛来吃，所以吃的时间不变1公顷 2头牛 30天 23060：1公顷原有草量30天1公顷新生草量 1公顷 头牛 45天 4584：1公顷原有草量45天1公顷新生草量从上易得：1天1公顷新生草量（8460）（4530）1.6；1公顷原有草量60301.612；那么80天24公顷可提供草： 12241.624803360；所以共需要牛的头数：33608042（头）。（方法三）现在是3块面积不同的草地，解决这个问题，只需将3块草地的面积统一起来就可以了！5，15，24=120 ，设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，原条件： 5公顷 10 头牛 30天 15公顷 28 头牛 45天可转化为：120公顷 240头牛 30天 240307200 ：120公顷原有草量30天120公顷新生草量 120公顷 224头牛 45天 2244510080：120公顷原有草量45天120公顷新生草量从上易得：1天120公顷新生草量192；120公顷原有草量7200301921440；则1天24公顷新生草量192538.4，24 公顷原有草量14405288；那么80天24公顷可提供草： 28838.4803360；所以共需要牛的头数是：33608042（头）牛。【例】有甲，乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？分析：这道题又有一个变化，两块草地的面积不同，但是没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。在前面我们讲过，如果有好几种动物，各种动物之间有倍数关系，我们可以转化为同一种动物来计算，那么这道题我们能不能把两块草地转化为一块草地来计算呢？同学们试试就可以发现答案是肯定的，具体操作如下：设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析，根据甲的面积是乙的3倍可以将关系（将乙看成1份，则甲就是3份）进行转化。甲： 30头牛 12天 3012360：甲原有草量12天甲地自然增加的草量甲转化为：10 头牛 12天 1012120：乙原有草量12天乙地自然增加的草量 乙： 20头牛 4天 204 80：乙原有草量 4天乙地自然增加的草量从上表中可以看出（124）8天乙地长草量为（12080）40，即1天乙地长草量为4085；乙地的原有草量为：12051260；则甲、乙两地1天的新生草为：5（3+1）20，原有草量为：60（3+1）240；10天甲、乙两地共提供青草为：2402010440，需要：4401044（头）牛。点评：面积有倍数关系和动物的食量有倍数关系本质上是相同的，我们都要把它们转化为单一的面积或动物后再进行计算。【例】一片草地每天长的草一样多，现有牛、羊、鹅各一只，且羊和鹅吃草的总量正好是牛吃草的总量。如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鹅，可吃60天：如果放牧羊和鹅，可吃90天。这片草地放牧牛、羊、鹅，可以供它们吃多少天？分析：这道题有三种动物，但是不知道每种动物之间的数量关系，因此转化成同一种动物比较困难，这里我们要借助三元一次方程的思想，最终的目的还是要转化为单一动物。设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析牛和羊 45天 45天牛和羊吃草量原有草量45天新长草量（1）牛和鹅 60天 60天牛和鹅吃草量原有草量60天新长草量（2）鹅和羊（相当于1牛）90天 90天牛（鹅和羊）吃草量原有草量90天新长草量（3）由（1）2（3）可得：90天羊吃草量原有草量羊每天吃草量原有草量90；由（3）分析知道：90天鹅吃草量90天新长草量，鹅每天吃草量每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量60，带入（3）得90天羊吃草量60 羊每天吃草量这样如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草可以吃：60（1）36（天）。拓展训练：1.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？3.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队了。那么第一个观众到达的时间是8点几分？4.甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）5.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？如果桶没有裂缝由4个人来喝需要几天喝完？6.某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙14天可以把砖运完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？7.一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？8.东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？9.120头牛28天吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛63天吃完30公顷牧场上的全部牧草，如果每公顷牧场上原有的牧草相等，且每公顷每天新生长的草量相同，那么多少头牛126天可以吃完72公顷牧场上的全部牧草？10.如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光。（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？初级点拨：1、这是一道抽水问题，可以用最基本的牛吃草问题的方法来解决。2、这是一道三块草地牛吃草问题，请参照例6的做法。3、这是一道入口问题，试着把它转换成牛吃草问题来思考。4、这道题表面上看起来不是牛吃草问题，其实它是三块草地牛吃草的一个变例。5、这是一道经典的牛吃草的变例。6、注意这道题当中人数发生了变化。7、这是一个多种动物的牛吃草问题，而且还不知道各种动物之间的倍比关系。8、这是一道两块草地上牛吃草的问题，而且直接给出了两块草地的数量。9、这是一道三块草地上牛吃草问题。10、这是一个结合平面图形的牛吃草问题。深度提示：1、可以使用五步法，注意求出原有草量与每天长草量。2、注意把三块草地转换成1公亩，然后进行处理。3、我们可以把人在增加想象成每分钟都在长草，把入口想象成人。4、我们把甲、乙、丙想象成三块草地，然后参照第2题的做法就可以做出来了。5、注意每天漏掉的酒相当于草在减少。6、我们可以假设人数没有变，那么草的总量应该相应增加。7、可以参照解三元一次方程来处理这道题。8、注意2000平米与6000平米之间的关系。9、参照第2题的解法。10、注意观察平面图形的特征。全解过程：1、设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（620-810）（20-10）=4单位，池塘中原有水量：620-420=40单位。若要5天内抽干水，需要抽水机405+4=12台。2、设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（216330-122810）（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：216330-0.363=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3126）72=4536（份），可供养4536126=36头牛3、设一个入口1分钟入场的人数为1份，3个入场口9分钟进入了27份观众，5个入场口5分钟进入了25份观众，说明4分钟来的观众人数是27-25=2份，即每分钟来0.5份。因为9点5分时共来了25份，来25份需要250.5=50分钟，所以第一个观众到达的时间是8点15分。4、 设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了份，乙仓库中28个工人3小时搬了份，说明甲仓库的传送机53=2小时多输送了8460=24份面粉，即每小时输送242=12份，仓库中共有面粉份。 丙仓库中120份面粉需在2小时内搬完，每小时需搬份，因此需要工人名。5、一桶酒相当于原有“草”，喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少，设1人1天喝酒量为“1” 6人 4天 6424：原有酒4天自然减少的酒 4人 5天 4520：原有酒5天自然减少的酒从上面看出：1天减少的酒为（2420）（54）4，可供4人喝一天。原有酒为：244440，由4个人来喝需要：40410（天）。6、依题意知开工前运进的砖相当于“原有草”开工后每天运进相同的砖相当于“草的生长速度”工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，列表分析得 15人 14天 1514210 ：原有砖的数量14天运来砖的数量 20人 9天 209 180 ：原有砖的数量 9天运来砖的数量从上面的表中可以看出（149）5天运来的砖为（210180）30，即1天运来的砖为3056原有砖的数量为：18069126；假设6名工人不走，则能多砌64=24份砖，则砖的总数为126+24+6（6+4）=210因为是10天工作完，所以有21010=21名工人。7、设1匹马1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析马和牛 15天 15天马和牛吃草量原有草量15天新长草量（1）马和羊 20天 20天马和羊吃草量原有草量20天新长草量（2）牛和羊（同马）30天 30马（牛和羊）吃原有草量30天新长草量（3）由（1）2（3）可得：30天牛吃草量原有草量牛每天吃草量原有草量30；由（3）分析知道：30天羊吃草量30天新长草量，羊每天吃草量每天新长草量；讲分析的结果带入（2）得：原有草量20，带入（3）30天牛吃草量20，得牛每天吃草量这样如果马、牛和羊一起吃，可以让羊去吃新生草，马和牛吃原有草可以吃：20（1）12（天）。8、设1头牛1天的吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析18头牛 16天 1816288 ：原有草量16天自然增加的草量27头牛 8天 27 8216 ：原有草量 8天自然增加的草量从上看出：2000平方米的牧场上1688天生长草量28821672，即1天生长草量7289；那么2000平方米的牧场上原有草量：288169144或21689144。则6000平方米的牧场1天生长草量9（60002000）27；原有草量：144（60002000）432。6天里，西侧草场共提供草432276594，可以让594699（头）牛吃6天。9、设1头牛1天吃1份牧草。120头牛28天吃掉120283360份，说明每公顷牧场28天提供336010336份牧草；210头牛63天吃掉2106313230份，说明每公顷牧场63天提供1323030441份牧草；每公顷牧场632835天多提供441336105份牧草，说明每公顷牧场每天的牧草生长量为105353份，原有草量为336283252份。如果是72公顷的牧场，原有草量为2527218144份，每天新长出372216份，126天共计提供牧草1814412621645360份，可供45360126360头牛吃126天。10、 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的；即1群牛1天吃1块6天新长的；即群牛，1天，吃了1块1天新长的草量。 又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在号草地吃草，它们同时吃完。所以，=2阴影部分面积。于是，整个为块地。那么需要群牛吃新长的草，于是=现在。所以需要吃：天。所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天。