分数阶Logistic模型的差分解与环境容纳量反演.pdf

第 56 卷第 2 期郑 州 大 学 学 报(理 学 版)Vol.56 No.22024 年 3 月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Mar.2024收稿日期:2022-11-16基金项目:国家自然科学基金项目(11871313);山东省自然科学基金项目(ZR2019MA021)。第一作者:李怡璇(1997),女,硕士研究生,主要从事生态学反问题研究,E-mail:liyxsdut 。通信作者:李功胜(1966),男,教授,主要从事数学物理反问题研究,E-mail:ligs 。分数阶 Logistic 模型的差分解与环境容纳量反演李怡璇,贾现正,李功胜(山东理工大学 数学与统计学院山东 淄博 255049)摘要:对于具有空间依赖环境容纳量的分数阶 Logistic 非线性增长模型,通过变量替换建立有限差分格式,在环境容纳量适当大的条件下,利用谱估计方法证明差分格式的稳定性和收敛性。进而考虑一个利用内点观测数据重建环境容纳量的反问题,应用同伦正则化算法进行数据随机扰动下的数值反演,计算结果表明反演重建解随着扰动水平的减小逐步逼近真解。关键词:分数阶 Logistic 模型;环境容纳量;有限差分格式;稳定性与收敛性;反问题;数值反演中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1671-6841(2024)02-0087-08DOI:10.13705/j.issn.1671-6841.2022326 Finite Difference Solution for a Fractional-order Logistic Model and Inversion of Carrying CapacityLI Yixuan,JIA Xianzheng,LI Gongsheng(School of Math and Statistics,Shandong University of Technology,Zibo 255049,China)Abstract:The problem of a nonlinear fractional-order Logistic model with space-dependent carrying ca-pacity was solved.A finite difference scheme for the forward problem was established,and its stability and convergence were proved based on the estimate of the spectral radius of the coefficient matrix with large capacities.An inverse problem of reconstructing the capacity function with additional measurements at one interior point was solved by the homotopy regularization algorithm,and numerical inversions with noisy data were presented to demonstrate the efficiency of the numerical method.Key words:fractional-order Logistic model;carrying capacity of the environment;finite difference solu-tion;stability and convergence;inverse problem;numerical inversion0引言Logistic 方程是一类重要的生物数学模型,其描述了资源总量约束条件下的种群增长行为。单位时间种群密度的增长变化满足1-2ut=D(u(x,t)P(x)+ru(x,t)(1-u(x,t)K(x),(1)其中:u(x,t)表示空间 x 处、t 时刻的种群密度;D 0 为扩散系数;表示关于空间变量 x 的 La-place 算子;r 0 为内禀增长率;P(x)为空间依赖的扩 散 策 略;K(x)为 空 间 依 赖 的 环 境 容 纳 量。P(x)、K(x)均为取正值的非常数函数。文献3-6对这类考虑人均可用资源分布的单物种增长扩散或两物种竞争-共存扩散模式,进行了定性分析与数值模拟研究。近 20 年来,分数阶微积分与分数阶微分方程研究受到广泛关注,尤其是在特殊环境中具有记忆特性的物质会表现出反常扩散的行为,此时应用分数阶扩散模型来描述可能更加符合实际情况7-8。在生存资源总量有限的约束下,考虑种群增长扩散的历史因素与记忆性,引入种群密度函数关于时间的郑 州 大 学 学 报(理 学 版)第 56 卷分数阶导数来表示种群的一种次增长率,可得到一类分数阶 Logistic 非线性扩散模型Rtu=D(u(x,t)P(x)+ru(x,t)(1-u(x,t)K(x),(2)其中:R 0 表示时间尺度因子;tu 表示 u(x,t)关于时间 t 0 的 阶 Caputo 分数阶导数,定义为7-8tu=1(1-)t0u(x,s)sds(t-s),其中:(0,1)为微分阶数;()为 Gamma 函数;其他各量与式(1)中的意义相同。非线性的时间分数阶 Logistic 模型可以描述资源量有限但空间分布不均匀下单物种的次扩散过程及规律。对于一般非线性分数阶扩散方程的定解问题,包括整数阶的非线性扩散问题,已有的研究多是关于数值解法的9-14。对于非线性分数阶或整数阶扩散方程的数值求解,主要是有限差分或有限元方法,且对于所建立的非线性格式,大多是基于能量估计,应用离散 Gronwall 不等式来证明差分解的稳定性与最优误差估计。本文基于模型(2)利用变量替换及分数阶导数的离散建立有限差分格式,在容纳量适当大的条件下,应用估计系数矩阵谱半径的方法证明格式的稳定性与收敛性。这种证明方法对于非线性分数阶方程差分法的理论分析尚不多见。另一方面,对于分数阶 Logistic 模型(2),环境容纳量函数 K(x)是一个关键量,虽然可以估计其最大值,但一般难以获得准确的分布值,这导致相应的反问题研究。虽然关于时间分数阶扩散方程的反问题有不少研究15-17,但关于非线性分数阶微分方程相关反问题的研究很少。文献18 较早研究了时间分数阶扩散中非线性源项反演的一种条件唯一性,文献19针对一类具有非线性边值的时间分数阶扩散方程证明了微分阶数反演的一种 Lipschitz 稳定性,文献20应用变分型正则化方法研究了时间分数阶二维非线性扩散中的边界反演问题。对于扩散方 程 的 参 数 反 演 估 计 研 究,从 最 佳 摄 动 量 算法21、贝叶斯方法22到粒子群优化算法23等,一直是数学物理反问题研究的重点。本文主要探讨模型(2)在一维空间的差分解与容纳量函数的反演估计。与已有研究不同的是,本文在正问题方面对非线性差分格式的理论分析方法相对简便,主要是利用容纳量函数与 Logistic 源项的先验性质得到系数矩阵的谱半径估计,进而得到差分解的稳定性与收敛性。在参数反演方面,由于原方程及边界条件的复杂性,需要经过变量替换进行求解,但变换后容纳量函数不仅作为方程的系数,而且出现在初始条件中。因而,反问题转化为关于系数与初值的联合反演问题。对此,本文将应用同伦正则化算法24-25进行数值反演。这种反演方法适合多个不同类型参数的联合反演,其主要思想是基于正问题的数值解,通过最优化观测数据,输入、输出数据结合正则化策略,得到稳定的迭代反演格式及最优反演解。1正问题与差分格式1.1正问题设 L 0,T 0,记 =(0,L),T=(0,T),在 T上考虑一维时间分数阶非线性 Logistic 次增长扩散。设 R=1,且 P(x)=K(x)constant,则方程(2)变为tu(x,t)=D2x2(u(x,t)/K(x)+ru(x,t)(1-u(x,t)/K(x)。(3)给定初边值条件u(x,0)=u0(x),x ,(4)(u(x,t)/K(x)xx=0=(u(x,t)/K(x)xx=L=0,0 1,x -,(6)该条件说明环境容纳量在空间区域是连续分布的,且其最小值大于 1,这是符合实际情况的自然条件。由于方程(3)的右端非线性项是 Logistic 型的,其满足 Lipschitz 条件,则在初值分布非负连续条件下,正问题(3)(5)存在唯一的非负有界解。由于方程及边界条件的复杂性,下面通过变量替换给出该问题的有限差分解。1.2差分格式的建立注意到模型(3)(5)中 u(x,t)/K(x)的一致性,令 v(x,t)=u(x,t)/K(x),则方程(3)化为K(x)tv(x,t)=Dvxx(x,t)+rK(x)v(x,t)(1-v(x,t),(7)相应的初边值条件变为v(x,0)=u0(x)K(x),x ,(8)88第 2 期李怡璇,等:分数阶 Logistic 模型的差分解与环境容纳量反演vxx=0=vxx=L=0,0 0,使得 0 v(x,t)C 成立,v(x,t)0。此外,为叙述方便,记方程(7)的右端非线性项为f(v)=rK(x)v(x,t)(1-v(x,t)。对于 M,N 0,区域剖分为网格 h=(xi,tn)xi=ih,i=0,1,M;tn=n,n=0,1,N,其中:空间步长 h=L/M;时间步长 =T/N。则在(xi,tn+1)处方程(7)为K(xi)tv(xi,tn+1)=Dvxx(xi,tn+1)+f(xi,tn+1)。(10)根据 Caputo 分数阶导数的定义,直接离散时间分数阶导数为tv(xi,tn+1)=1(1-)tn+10(tn+1-)-v(xi,)d=-(2-)nk=0dkv(xi,tn-k+1)-v(xi,tn-k)+O(),(11)其中:dk=(k+1)1-k1-,k=0,1,n。基于通常的中心差分,二阶导数离散为vxx(xi,tn+1)=1h2(v(xi-1,tn+1)-2v(xi,tn+1)+v(xi+1,tn+1)+O(h2)=2xv(xi,tn+1)+O(h2)。(12)对于非线性项 f(v),利用泰勒展开,有f(v(xi,tn+1)=2f(v(xi,tn)-f(v(xi,tn-1)+O(2)。(13)将式(11)(13)代入式(10),利用边值条件vj0=vj1,vjM=vjM-1,j=1,2,N,并记 vji v(xi,tj),v0i=v0(xi),Ki=K(xi),i=0,1,M,可 得 差 分格式:当 n=0 时,Ki-(2-)(v1i-v0i)-D2xv1i=f(v0i);(14)当 n 1 时,Ki-(2-)nk=0dk(vn-k+1i-vn-ki)-D2xvn+1i=2f(vni)-f(vn-1i)。(15)再记p=D(2-)h2,q=(2-),K=(K1,K2,KM-1)T,Vn=(vn1,vn2,vnM-1)T,Wn=(vn1)2,(vn2)2,(vnM-1)2)T,Hn=KVn=(K1vn1,K2vn2,KM-1vnM-1)T,In=KWn=(K1(vn1)2,K2(vn2)2,KM-1(vnM-1)2)T。注意到 f(v)=rK(x)v(x,t)(1-v(x,t),经过整理可得矩阵形式的差分格式AV1=(1+qr)H0-qrI0,AVn+1=nj=1(dj-1-dj)Hn+1-j+dnH0+2qrHn-2qrIn-qrHn-1+qrIn-1,(16)其中:n=1,2,N-1;系数矩阵A=K1+p-p000-pK2+2p-p000-pK3+2p00000KM-2+2p-p000-pKM-1+p。(17)注意到 Ki 1,i=1,2,M-1,p 0,容易验证由(17)式定义的系数矩阵 A 严格对角占优,即知差分格式(16)唯一可解。对于系数矩阵 A,仍有条件 Ki 1,i=1,2,M-1,以及不等式aii=Ki+M-1j=1,jiaij 1+M-1j=1,jiaij,i=1,2,M-1,(18)可知系数矩阵 A 的谱半径是严格大于 1 的。因而,可应用谱估计的方法,证明差分格式(16)的稳定性与收敛性。2差分格式的稳定性与收敛性2.1稳定性在下面的叙述中,C 及 Cj(j=1,2,)表示任意正常数。定理 1设容纳量函数 K(x)满足条件(6),则差分格式(16)是无条件稳定的。证明对于差分格式(16),设 为系数矩阵 A的任一特征值,则由 Gerschgorin 圆盘定理,可知-aiiM-1s=1,siais,i=1,2,M-1。由条件(6)及式(18),有 aii-M-1s=1,siais 1,i=1,2,M-1。因而必有(A)=max 1,98郑 州 大 学 学 报(理 学 版)第 56 卷得(A-1)1。根据矩阵范数的性质,可知存在A-1的某种范数,使得A-1 1 成立。记初始数据的扰动为 E0=V0-V0,第 n 层的扰动为 En=Vn-Vn(n N),并 记K=maxxK(x)。由差分格式(16),可得AE1=(1+qr)(H0-H0)+qr(I0-I0),AEn+1=nj=1(dj-1-dj)(Hn+1-j-Hn+1-j)+dn(H0-H0)+2qr(Hn-Hn)-2qr(In-In)-qr(Hn-1-Hn-1)+qr(In-1-In-1),n N。(19)由 式(19)的 第 1 式,利 用A-1 0(j=1,2,n),及nj=1(dj-1-dj)+dn=d0=1,由式(19)的第 2 式,利用A-1 0 为依赖于 q、r、K,但与 n 无关的正常数。由归纳法即知差分格式(16)是稳定的,证毕。2.2收敛性定理 2对于任意给定的 T (0,+),差分格式(16)收敛,且当 h,0 时,有enC4T1-(+2+h2)=O(+h2),(25)其中:en=Vexa,n-Vn(n N)表示第 n 层的解误差,Vexa,n表示第 n 层的精确解向量;C4为与 n 无关的正常数。证明 由 差 分 格 式(16),注 意 到 e0=0 及Hexa,0-H0=0,Iexa,0-I0=0,得Ae1=R1,Aen+1=nj=1(dj-1-dj)(Hexa,n+1-j-Hn+1-j)+2qr(Hexa,n-Hn)-2qr(Iexa,n-In)-qr(Hexa,n-1-Hn-1)+qr(Iexa,n-1-In-1)+Rn+1,n N。(26)其中 Rn表示第 n 层的截断误差。由式(11)(13)可知,存在与 n 无关的常数 C 0,Rn C(+2+h2),n N。(27)利用A-1 1 及式(27)的估计,由式(26)的第 1 式,可得e1A-1R1R1 C(+2+h2)。(28)注意到解的有界性,类似于式(23)的估计,可知对于 j=1,2,n,Hexa,j-HjKej,Iexa,j-Ij C1Kej。(29)假设对于 j=2,3,n,ej C(+2+h2),(30)则当 j=n+1 时,由式(26)的第 2 式及式(29),再次利用A-1 1,并注意到 dn dn-1 d0=1,及式(30),得en+1Knj=1dj-1-djen+1-j+2qrKen+2qrC1Ken+qrKen-1+qrC1Ken-1+Rn+1 C(+2+h2)(K+3qrK+3C1qrK+1)09第 2 期李怡璇,等:分数阶 Logistic 模型的差分解与环境容纳量反演C4(+2+h2)dn,(31)其中 C4为不依赖于 n 的正常数。进一步,由于 n T,得en+1 C4(+2+h2)T1ndn。注意到 dn=(n+1)1-n1-,以及limn1n(n+1)1-n1-=11-,得en+1C4T1-(+2+h2)。(32)由式(28)、(30)与(32),根据归纳法即知 n N,估计式(25)成立,差分格式(16)收敛。定理证毕。2.3数值试验算例 1考虑带强制项的方程tu(x,t)=D2x2(u(x,t)/K(x)+ru(x,t)(1-u(x,t)/K(x)+(x,t),其中(x,t)为强制项。不妨设微分阶数 =0.3,其他模型参数 D=0.01,r=0.001,环境容纳 量K(x)=120+e-x。设正问题的真解为u(x,t)=100 x2(1-x)2(1+t2),则强制项为(x,t)=100 x2(1-x)2(2+1)(+1)t-2x2(x2(1-x)2120+e-x)(1+t2)-0.1x2(1-x)2(1-100 x2(1-x)2(1+t2)120+e-x)(1+t2)。应用差分格式(16),取网格比 =h2进行计算,计算结果如表 1 所示,其中 Err 表示真解与数值解在 t=0.5 时的相对误差,定义为 Err=u(x,0.5)-u(x,0.5)2/u(x,0.5)2,这里 u(x,0.5)表示 t=0.5 时的差分解,Rat 表示收敛速率。表 1算例 1 的解误差与收敛速率Table 1Solution error and convergence rate in example 1h=h2ErrRat1/41/166.195 38e-11/81/641.499 02e-14.133 01/161/2563.865 17e-23.878 31/321/1 0241.653 56e-22.337 5从表 1 的结果可以看出,随着网格加密,数值解与真解的误差逐步减小。图 1 绘制了网格逐渐加密(=h2)时的真解与数值解的图像。可以看到,随着网格加密,数值解收敛到真解。图 1算例 1 中的数值解与真解Figure 1Numerical solution and exact solution in example 13反问题与数值反演3.1确定环境容纳量的反问题方程(3)中的环境容纳量 K(x)是一个重要的分布参数,利用适当的观测数据对此参数进行数值反演是本节的主要工作。如果考虑基于式(3)(5)确定K(x)的反演问题,不仅方程是复杂的,而且边界条件也含有 K(x),目前看并没有合适的反演方法。值得注意的是,经过变量替换后,得到的方程(7)及初边值条件(8)(9)是相对简便的模型。虽然方程(7)中仍然含有 K(x),但边界条件简化了,且K(x)出现在初始条件中,这相比变换前的模型,至少从数值方法上容易实现对 K(x)的反演。给定空间内某一点处的观测数据作为附加数据,有19郑 州 大 学 学 报(理 学 版)第 56 卷v(x0,t)=(t),0 0 称为扰动水平。由式(7)(9)和扰动数据(t),形成了数据扰动条件下确定环境容纳量K(x)的反问题。对于这类反演问题的数值求解,同伦正则化算法是一种有效方法24-25。3.2数值反演本节计算中,同伦参数为n=11+exp(0.8(n-5),其中 n 是迭代次数。此外,若无特别说明,计算区域T=(0,1)(0,1),附加数据在 x0=0.5 处取得。正问题求解中,初值 u(x,0)=x2(1-x)2,空间离散水平 M=100,时间离散水平 N=100。具体反演模拟中,利用环境容纳量的真解 K(x)得到附加数据(33),进而在多项式逼近空间 S=span1,x,xS-1 中,应用同伦正则化算法对 K(x)进行反演重建。算例 2首先考察逼近空间的维数对反演算法的影响。设容纳量的真解 K(x)=10+exp(-x),微分阶 数 =0.5,扩 散 系 数 D=0.1,增 长 率r=0.01。根据 exp(-x)在多项式逼近空间中的展开式,真解 K(x)在空间 S中表示为a=(11,-1,1/2,-1/6,(-1)S-11(S-1)!)。由于截断误差的存在,理论上逼近空间维数越高,反演结果应该越精确。应用不带扰动的数据,分别在逼近空间维数 S=3,4,5,6 时,对 K(x)进行反演重建。初始迭代取 a0=(1,0),其中 0 表示相应维数的零向量。在不同维数逼近空间中的反演解与真解的图像如图 2 所示。图 2算例 2 逼近空间维数与反演结果Figure 2Inversion results with dimensions of approximation spaces in example 2由图 2 看出,当逼近空间维数增大时,反演解收敛于真解,说明了反演算法有限维逼近收敛性。算例 3考察数据扰动对反演算法的影响。仍取容纳量 K(x)=10+exp(-x),微分阶数、扩散系数等参数同于例 2,在逼近空间 span1,x,x2,x3,x4中进 行 反 演 计 算。此 时,容 纳 量 真 解 表 示 为a=(11,-1,1/2,-1/6,1/24)。取初始迭代 a0=(1,0),不同扰动水平下的平均反演结果列于表 2,其中 表示扰动水平,a-inv表示连续 10 次反演解的平均值,Err 表示平均反演解与真解的误差。表 2真解为指数函数时不同扰动水平下的反演结果Table 2Inversion results at different noise levels when the exact solution as a exponential function/(%)a-invErr1(14.923 4,-7.880 4,9.228 7,-7.101 8,8.173 9)7.087 22e-20.1(11.118 7,-4.395 3,-5.298 7,4.404 8,-6.904 0)9.878 54e-30.01(11.030 6,-1.237 6,1.092 5,-1.044 4,0.112 3)9.031 31e-40.001(11.002 3,-1.031 1,0.598 8,-0.270 6,0.065 2)9.655 07e-5从表 2 的计算结果可以看出,随着扰动水平的降低,反演解与真解的误差逐步减小,说明了反演算法的一种数值稳定性。算例 4 设 容 纳 量 的 真 解 为 K(x)=20+29第 2 期李怡璇,等:分数阶 Logistic 模型的差分解与环境容纳量反演sin(x),扩散系数、增长率、a-inv和Err 同算例 3,微分阶数 =0.75。根据 sin(x)的展开式,K(x)在逼近空间中近似表示为 a=(20,1,0,-1/6,0)。仍取初始迭代 a0=(1,0),不同扰动水平下的平均反演结果列于表 3。表 3真解为三角函数时不同扰动水平下的反演结果Table 3Inversion results at different noise levels when the exact solution as a trigonometric function/(%)a-invErr1(25.691 3,-9.124 4,9.370 3,-8.359 6,9.054 4)9.706 82e-20.1(19.835 4,2.874 6,-1.538 6,0.745 0,-1.118 1)6.618 09e-30.01(19.870 5,1.722 5,-1.300 4,1.688 1,-0.190 0)9.473 11e-40.001(19.995 7,1.020 3,-0.154 1,-0.054 3,0.024 0)9.979 49e-5从表 3 可以看出,完全类似于算例 3 的结果,随着扰动水平的降低,反演解与真解的误差逐步减小,反演解收敛到真解。4结论本文主要研究了一个非线性分数阶 Logistic 增长扩散模型的差分解与空间依赖容纳量函数的反演重建问题。在环境容纳量适当大的先验条件下,利用谱半径估计方法证明了差分格式的稳定性与收敛性。对于重建容纳量函数的反问题,利用一个内点的观测数据,应用同伦正则化算法进行了有效的数值反演。下一步,对于这类时间分数阶 Logistic 次增长扩散模型,我们将考虑基于终值观测数据确定容纳量函数的反问题,同时开展容纳量反演重建的理论研究等。参考文献:1BRAVERMAN E,BRAVERMAN L.Optimal harvesting of diffusive models in a nonhomogeneous environment J.Nonlinear analysis:theory,methods&applica-tions,2009,71(12):e2173-e2181.2KOROBENKO L,BRAVERMAN E.A logistic model with a carrying capacity driven diffusion J.Canadian applied mathematics quarterly,2009,17(1):85-104.3KOROBENKO L,BRAVERMAN E.On logistic models with a carrying capacity dependent diffusion:stability of equilibria and coexistence with a regularly diffusing popu-lation J.Nonlinear analysis:real world applications,2012,13(6):2648-2658.4BRAVERMAN E,KAMRUJJAMAN M.Competitive-co-operative models with various diffusion strategies J.Computers&mathematics with applications,2016,72(3):653-662.5BRAVERMAN E,ILMER I.On the interplay of harves-ting and various diffusion strategies for spatially heteroge-neous populations EB/OL.(2019-01-25)2022-10-20.https:arxiv.org/abs/1904.12910.6KAMRUJJAMAN M,ZAHAN I,KEYA K N,et al.In-terplay of resource mappings and evolutionary diffusion:competitive exclusion and coexistence analysisJ.Par-tial differential equations in applied mathematics,2022,5:100398.7PODLUBNY I.Fractional differential equationsM.San Diego:Academic Press,1998.8陈文,孙洪广,李西成,等.力学与工程问题的分数阶导数建模M.北京:科学出版社,2010.CHEN W,SUN H G,LI X C.Fractional derivative mod-eling of mechanics and engineering M.Beijing:Sci-ence Press,2010.9LIU Y,DU Y W,LI H,et al.Finite difference/finite el-ement method for a nonlinear time-fractional fourth-order reaction-diffusion problemJ.Computers&mathematics with applications,2015,70(4):573-591.10 LI X L,RUI H X.A two-grid block-centered finite difference method for the nonlinear time-fractional para-bolic equation J.Journal of scientific computing,2017,72(2):863-891.11 盛秀兰,魏贞,吴宏伟.带有 Neumann 条件的对流扩散方程的两层紧差分格式J.郑州大学学报(理学版),2018,50(4):50-57.SHENG X L,WEI Z,WU H W.A two-level finite difference scheme for convection diffusion equations with Neumann boundary conditionsJ.Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2018,50(4):50-57.12 XU D,GUO J,QIU W L.Time two-grid algorithm based on finite difference method for two-dimensional nonlinear fractional evolution equations J.Applied numerical mathematics,2020,152:169-184.13 程晓 晗,封 建 湖.求 解 Hamilton-Jacobi 方 程 的 四 阶WENO 格 式 J.郑 州 大 学 学 报(理 学 版),2022,54(5):90-94.CHENG X H,FENG J H.A fourth order WENO scheme 39郑 州 大 学 学 报(理 学 版)第 56 卷for hamilton-jacobi equations J.Journal of Zhengzhou university(natural science edition),2022,54(5):90-94.14 孙志忠.非线性发展方程的有限差分方法 M.北京:科学出版社,2018.SUN Z Z.Finite difference method for nonlinear evolution equationsM.Beijing:Science Press,2018.15 LI G S,ZHANG D L,JIA X Z,et al.Simultaneous in-version for the space-dependent diffusion coefficient and the fractional order in the time-fractional diffusion equa-tionJ.Inverse problems,2013,29(6):065014.16 SUN C L,LIU J J.An inverse source problem for distrib-uted order time-fractional diffusion equationJ.Inverse problems,2020,36(5):055008.17 YAMAMOTO M.Uniqueness in determining fractional or-ders of derivatives and initial values J.Inverse prob-lems,2021,37(9):095006.18 LUCHKO Y,RUNDELL W,YAMAMOTO M,et al.U-niqueness and reconstruction of an unknown semilinear term in a time-fractional reaction-diffusion equationJ.Inverse problems,2013,29(6):065019.19 LI Z Y,CHENG X,LI G S.An inverse problem in time-fractional diffusion equations with nonlinear boundary con-dition J.Journal of mathematical physics,2019,60(9):091502.20 柳冕,程浩,石成鑫.一类非线性时间分数阶扩散方程反问 题 的 变 分 型 正 则 化 J.应 用 数 学 和 力 学,2022,43(3):341-352.LIU M,CHENG H,SHI C X.Variational regularization of the inverse problem of a class of nonlinear time-frac-tional diffusion equationsJ.Applied mathematics and mechanics,2022,43(3):341-352.21 李功胜,姚德.扩散模型的源项反演及其应用M.北京:科学出版社,2014.LI G S,YAO D.Source inversion of diffusion model and its applicationM.Beijing:Science Press,2014.22 ZHANG Y X,JIA J X,YAN L A.Bayesian approach to a nonlinear inverse problem for a time-space fractional diffusion equation J.Inverse problems,2018,34(12):125002.23 魏琳扬,郭馨,王存海,等.基于量子微粒群优化算法的半透明介质光学参数反演 J.东北大学学报(自然科学版),2023,44(1):63-68,75.WEI L Y,GUO X,WANG C H,et al.Inversion of opti-cal parameters of semitransparent media based on quan-tum particle swarm optimization algorithmJ.Journal of northeastern university(natural science),2023,44(1):63-68,75.24 贾现正,张大利,李功胜,等.空间-时间分数阶变系数对流扩散方程微分阶数的数值反演J.计算数学,2014,36(2):113-132.JIA X Z,ZHANG D L,LI G S,et al.Numerical inver-sion of the fractional orders in the space-time fractional advection-diffusion equation with variable coefficientsJ.Mathematica numerica sinica,2014,36(2):113-132.25 JIA X Z,LI G S,SUN C L,et al.Simultaneous inver-sion for a diffusion coefficient and a spatially dependent source term in the SFADEJ.Inverse problems in sci-ence and engineering,2016,24(5):832-859.49