高等数学视角下的高考题教学设计--以2023年新高考Ⅱ卷压轴题为例.pdf

36中学数学研究2024 年第 1 期(下)高等数学视角下的高考题教学设计 以 2023 年新高考 II 卷压轴题为例淮北师范大学数学科学学院(235000)李文静张 昆摘要在高考函数及其导数压轴题中,以高等数学知识为背景命题的方式屡见不鲜.这类题目能从更高的维度检验学生灵活运用知识的能力、创新思维、逻辑思维能力与运算素养等.这对高中教师的教学起到了一定的引导作用,教师要以更高的维度,利用高等数学的观点来理解高考题,再将其转化为“教学形态”,要有意识的引导学生思维的进阶,从而落实学生的数学核心素养.关键词 高等数学;高考题;函数及其导数;教学教师作为一个“知识渊博的学者”的形象,这就要求教师不仅要有知识的广度,更要有知识的深度,尤其是对本学科的知识要有深层次的研究.这就要求数学教师对于知识的理解不应该只停留在教材所呈现的层面,要站在更高的角度,从更高的视野把握知识的本质,领略知识与方法背后的深意.尤其是在历年高考数学压轴题中,该类题目的命题方式有时会以高等数学中的相关知识为背景.这就要求教师要有该方面的知识储备,能从更高的视角,从高等数学的角度理解题意与解决问题,从而对该类题目有宏观的把握,有助于进行教学.1 从高等数学知识视角出发的解题教学基本思路常言道:“若要给学生一碗水,老师必须要有一桶水”,新时代对于教师的数学知识本身及其演化出来所需要的教学专业技能,提出了更高的要求.数学知识本身具有高度抽象性,数与形千变万化,但要求表达结论的严谨性,与教师教学、学生学习的辩证思维息息相关.而数学教师就需要站在更高的角度,从更高的视野把握知识的本质,方能以不变应万变.在高中数学教学中“解题教学”是至关重要的一个环节,数学作为一种工具性学科,能够很好地帮助学生形成逻辑思维、严谨表达、创新精神等良好的品质以及培养学生分析问题、解决问题的能力等教学目标.等积变换,还可以求哪些图形的面积?本活动中,学生很容易想到移动点 M 或 N,构造等积变换的三角形,教师帮学生打开思路,引导学生尝试移动两个点,构造等积变换的四边形,甚至可以移动点 P 和其它点构造面积放大或缩小的三角形与四边形.移动点时,提醒学生按照一定方式移动,从而对分类讨论认识更加深入,学生的思维更加严谨,研究问题时更加注重逻辑性.以上是反比例函数单元教学设计思路,通过实践发现,学生对反比例函数的概念、图象与性质、数形结合解决相关问题及 k 的几何意义整体认识水平较好,学生思维逻辑性和完整性得到提升,提出问题、分析问题和解决问题能力得到发展.在培养学科素养的目标下,以核心问题为中心,对教材内容进行重组,通过多种形式的教学手段辅助教学,帮助学生建立新旧知识间联系,可让学生深度理解所学知识,发展学科核心素养.参考文献1 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2022 版)M.北京:北京师范大学出版社,2022.2 朱敏彦,项目化学习背景下初中数学大单元教学设计与实践.教学管理与教育研究 J.2022,(19):100-101.2024 年第 1 期(下)中学数学研究37在具体的解题教学环节中,首先,教师要对数学题目有一个深度的理解,能多角度,更高层次的理解题目及背后相关的知识;其次,教师不能直接把个人对于题目的理解“强加”给学生,要从学生的视角出发,将解题过程转化为学生容易接受的“教学形态”,根据学生已有的知识经验与能力,创造出能够发展学生智能的空间,给予学生发生创造的机会.而这就要求教师教学过程中问题的提问要有充分的启发性与引导性,环节的衔接要足够的自然,充分利用学生的“最近发展区”;最后,得到答案后,还要“趁热打铁”,及时引导学生进行反思与总结,反思自己思维的“中断点”与成功解题的可行性,进行思维的监控,从而使学生的学习与认知达到更高的层次,升华课堂的体验感.2 高等数学视角下导数高考题的分析在高考数学题中,以函数知识为背景的导数题往往作为压轴题出现,这也是大部分学生最容易失分的部分.在历年的高考题中,关于导数题的惯用问法,一般都围绕着:证明不等式、讨论单调性、求最值、求极值以及求参数的取值范围等.一般第(1)问题目较为简单,利用常规的思路与解法,就可以得到答案;第(2)问的难度较大,计算较为复杂,有些题目甚至是以高等数学的知识为背景的命题.若教师能站在更高的视角,利用高等数学的相关知识进行分析,可以深刻理解题意,有效把握题目的关键信息.下文以 2023 年的一道高考题为例,试以高等数学的知识进行分析.2023 年新高考全国 II 卷第 22 题如下:(1)证明:当 0 x 1 时,x x2 sinx 0 与 x sinx 0,再对不等式左边求导,利用函数单调性,列出不等关系,容易得到证明.第(2)问若要利用初等数学的知识,利用 x=0 是 f(x)的极大值点,求解 a 的取值范围步骤较为复杂,不易理解.但在高等数学教材 数学分析 一书中,提到了极值的第二充分条件,如下:设 f 在 x0的某邻域 U(x0;)上一阶可导,在 x=x0处二阶可导,且 f(x0)=0,f(x0)=0.(1)若 f(x0)0,则 f 在 x0取得极小值1(132).利用上述不等式可直接得到题目中 a 的取值范围,直接利用公式的计算确实简便,但是更像是一种程序化的计算过程,学生没有经历得到这个公式的过程,没有达到真正的理解.不利于学生能力的发展与数学核心素养的全面落实,不符合以学生为本,促进学生全面发展的育人本质,故不可采取这样的教学方式,下文提供一个新的思路.在初等数学中常常研究函数的单调性,在高等数学中在此基础上更深一步,研究函数的凹凸性.对于高中生来说,函数的凹凸性并不陌生,如:开头向上的二次函数 f(x)=x2就是凸函数(下凸函数),对数函数 f(x)=log2x 就是凹函数(上凸函数).下文是关于凸函数与凹函数的完整定义:设 f 为定义在区间 I 上的函数,若对于 I 上的任意两点 x1,x2和任意实数 (0,1),总有 f(x1+(1 )x2)6f(x1)+(1 )f(x2),则称 f 为 I 上的凸函数(也称下凸函数).反之,如果有 f(x1+(1 )x2)f(x1)+(1)f(x2),则称 f 为 I 上的凹函数(也称上凸函数)1(137).图 1 凸函数与凹函数结合图象可以看出,通过比较某段曲线与连接该曲线两端的弦的上下位置关系来判断凹凸函数.观察图象不难发现,在极大值点的邻域内函数图象为凹函数,在极小值点的邻域内函数图象为凸函数,通过观察图象的斜率变化情况可得到如下两个推论:推论 1:凸函数 f(x)的导函数 f(x)是单调递增的,即f(x)0.推论 2:凹函数 f(x)的导函数 f(x)是单调递减的,即f(x)0.从函数凹凸性的角度,可有效的引领解题思路,故可以从以下思路来解决第(2)问:因为 x=0 是函数f(x)=cosaxln(1x2)的极大值点,则存在一个包含 0 的区间(m,n),其中满足 1 m 0 n 1,则在区间(m,n)内函数图象大致呈“倒 U”形,如图 2.观察图象,在区间(m,n)上,斜率逐渐减小,即一阶导数 f(x)单调递减,由此二阶导数 f(x)0 又因为38中学数学研究2024 年第 1 期(下)0 (m,n),故 f(0)0,解该不等式得到参数 a 的范围3 教学设计示例在数学解题教学中,教师应当通过适当的铺垫,启发学生把握问题的本质特征,萌发具有一般性(概括性)的解题思路(基本方法)2.在上述题目第(2)问中,多数学生会出现对于“极值”概念的理解不够深刻,意识不到极值是函数的局部性质,难以萌发出借助图象从“局部”对函数进行研究的观点.因此在具体解题教学的实施过程中,教师首先要先进行适当的铺垫,引导学生重新审视教材中关于极值的定义,紧扣教材定义,从定义中萌发出在“局部”研究函数的观点;再利用数形结合思想,从基本的图形中充分认识函数取得极值的情况,从导数的几何意义斜率出发,找到斜率变化的规律,把握问题的本质特征,引领具体的解题步骤.下文是笔者在教学实践过程,给学生讲述该高考题的过程,以师生对方对话的方式呈现出部分的教学片段.师:对于第(1)问证明不等式:当 0 x 1 时,x x2 sinx x,同学们有什么思路吗,有请同学在黑板上板演并讲述.生:先将原不等式 x x2 sinx 0 与 x sinx 0 成立.设g(x)=sinx+x2 x,h(x)=x sinx,将 g(x),h(x)求导,利用函数单调性列出不等关系.具体过程:g(x)=sinx+x2x,g(x)=cosx+2x1,g(x)=sinx+2 0,所以函数 g(x)在(0,1)上单调递增,即 g(x)g(0)=0.又因为 g(x)0,函数 g(x)在(0,1)上单调递增,g(x)g(0)=0,即证 sinx+x2 x 0成立;h(x)=xsinx,h(x)=1cosx 0,故函数 h(x)在(0,1)上单调增 h(x)h(0)=0,即证不等式 x sinx 0成立,故原不等式 x x2 sinx x 得证.师:第(2)问中,给出了函数 f(x)=cosax ln(1 x2),观察这个函数有什么特点?生:函数的定义域为:(1,1),又因为 f(x)=f(x)该函数为偶函数,关于 y 轴对称.师:题目中给定条件:已知 x=0 是 f(x)的极大值点,如何根据已知条件求 a 的取值范围?生:根据 x=0 是 f(x)的极大值点,可得到 f(0)=0,但这是个等式关系,求 a 的取值范围,需要找到关于 a 的不等式,首先可尝试研究函数的单调性,对函数求导:f(x)=asin(ax)+2x1 x2.f(x)=a2cosax+2+2x2(1 x2)2.师:可以看出来该函数的单调性不易研究,若继续求导下去式子会越来越复杂.既然纯粹的利用代数的方法我们很难判断函数的单调性,那可以从什么角度来,找到解题的突破点呢?生:图象!题目中告诉我们了 x=0 是 f(x)的极大值点,则在 x=0 附近的函数图象呈“倒 U 形”.师:看来大家能够从“形”的角度理解极大值.我们做这道题的关键就在于从题目的条件“已知 x=0 是 f(x)的极大值点”入手,请同学们再次回顾课本上关于极大值点的定义.生:课本上关于极大值点的定义:在包含 x0的一个区间(a,b)上,函数 y=f(x)在任何不为 x0的一点处的函数值都小于点 x0处的函数值,称 x0为函数 y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为函数的极大值3.师:请同学们思考,极大值点除了反应了函数在某一点附近的大小情况外.在定义中规定“包含 x0的一个区间(a,b)”这句话有什么意义?生:反应了极值是函数的一种局部性质.师:是的,也就是说若研究函数的极值情况,只需在包含极值点的某个区间内研究,不需要在整个定义域内研究.那极值点附近的函数图象有什么特点呢,请同学们再次观察极大值点附近的函数图象情况,你们有什么新发现吗?生:在极大值点处附近的函数图象,先上升后下降.根据图象,能观察到极大值点附近函数图象的斜率是逐渐减小的.师:既然极值是函数的局部性质,这道题目中是不是也需要利用“局部的眼光”去研究该函数呢?请同学们尝试利用自己的“新发现”去解决该题目吧!生:设 0 (m,n)(1,1),其中 m,n 满足 1 m 0 n 1,满足在函数的定义域内.则函数 f(x)图象在(m,0)内函数图象上升,且斜率不断减小;因为 x=0 是f(x)的极大值点,则在 x=0 处,斜率为 0;在(0,n)函数图象下降,且斜率继续不断减小.由此,该函数图象的斜率在(m,n)上逐渐减小,即 f(x)在区间(m,n)上单调递减,得到 f(x)0.又因为 0 (m,n),故 f(0)0,对函数二次求导得到:f(x)=a2cosax+2+2x2(1 x2)2,将 x=0 代入,f(0)=a2+2 2 或 a 2.4 结束语在解题过程中,首先要深刻理解“形式背后的本质”,抓住知识的本质以及知识点对应的关键信息;其次要充分的了2024 年第 1 期(下)中学数学研究39手中有模 心中有型*几何实物模型融入立体几何教学的思考广西南宁市第三中学(530021)邹信武广州大学附属中学大学城校区(510006)董 琦摘要依据立体几何学习的特点,立体几何实物模型融入立体几何教学,是发展数学抽象、直观想象核心素养的需要,是实现教学公平的需要,是扫除立体几何学习的情感障碍的需要;根据立体几何实物模型融入原则,提出实物模型融入立体几何教学策略:(1)辨识几何体的直观感知;(2)依托定理推论的教学融入;(3)依托实际探究问题融入;(4)实物模型与信息化技术结合融入;(5)结合数学史上的实物模型融入.关键词 立体几何;实物模型;数学抽象;直观想象1 问题的提出立体几何是几何学的一个分支,是研究空间图形的形状、大小和位置关系的一门学科.立体几何初步 是新课程高中四条主线“几何与代数”中的板块内容,通过对基本立体图形和基本图形位置关系的学习,运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质,建立空间观念1.普通高中数学课程标准(2020 年修订)(以下简称 标准)指出,“在教学中应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体,帮助学生认识空间几何体的结构特征,进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能”1.目前,大量的信息化资源引入到教学中,以及多媒体、几何画板等信息技术的辅助,似乎给立体几何教学带来了更多直观;但真实的情况是,多媒体呈现的几何体依然是直观图(或者相似的 3D 图象),学生依然需要依据图象进行想象还原真实图形,这对很多学生来说是一个非常困难的事情.因此,与其这样的凭空想象,不如让学生直接观察真实实物模型,得到几何体的第一手信息,以这作为学习的起点,对立体几何学习不是帮助更大吗?对于立体几何实物模型,并没有特别明确的定义,本文中的立体几何实物模型包含以下几种:(1)客观实物.如书本、箱子、可乐罐和教室等;(2)抽象化实物.指可以抽象成几何元素的几何物体,如笔,桌面和地板;(3)空间几何体模型(教具).2 引入立体几何实物模型的必要性2.1 发展数学核心素养的需要2.1.1 发展数学抽象素养的需要数学抽象,是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.立体几何的抽象过程如图 1 所示,分为四个层次:客观事物(模型)直观图象文字表述符号刻画.解题目所给的已知条件、隐含条件、拓展条件等,将已知的信息与想要求解的目标建立起充分的联系.但是学生在对于“难题”的解决上,往往难以抓住“本质与关键信息”,这就要求教师要从更高的维度去理解题意与相关知识.可以从高等数学的视野出发剖析知识的本质、内涵与联系,抓住解题的关键.从而将这样的解题过程,转化为学生更够发展思维与创造才能的教学环节,从而落实数学核心素养,促进学生的全面发展.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析(第五版)上册 M.北京:高等教育出版社,2019.2 张昆,王颖超.数学解题教学:用一般思路引领具体操作以一道数列不等式高考题为例 J.教育研究与评论(中学教育教学),2022,(09):65-68.3 王尚志,保继光.普通高中数学教科书(选择性必修第二册)M.北京:北京师范大学出版社,2019:79-80.*基金项目:本文系南宁市“十四五”规划“品质课堂建设”专项课题“践行 五育融合 的高中数学高品质课堂之大单元项目式教学设计实践研究”(2022PZKT005)阶段性成果.