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上半月（初中版）2024年第3期（总第305期）案例透视数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力，以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.高中阶段的数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.而初中阶段的数学核心素养主要表现为抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识和创新意识.高中阶段的数学核心素养侧重于学生在面临生活实践或学习探索问题情境时，能够在正确的思想观念指导下，合理运用科学的思维方法，有效整合学科知识，运用学科相关能力，高质量地认识问题、分析问题、解决问题的综合品质，包括扎实的学科观念和宽阔的学科视野.而初中数学核心素养则侧重于能力，其表现更为直观、具体.随着学生的数学学习逐步深入，初中学生的数学核心素养也必将逐步发展为高中阶段的数学核心素养，为高中阶段数学核心素养的发展奠定扎实的能力基础.那么，现阶段我们该如何发展初中学生的数学核心素养呢？一、培养思维能力是发展数学核心素养的抓手无论是“数学的眼光”“数学的思维”，还是“数学的语言”，都离不开数学思维.数学思维主要有概括性、整体性、相似性和问题性等特点.数学思维是从人类的一般思维中分化出来的科学思维，因此它的活动形式与一般的科学思维活动形式相同.从思维活动总体规律的角度观察，通常可以将数学思维分为数学逻辑思维、数学形象思维和数学直觉思维三种类型；根据思维的形态不同，可以将思维分为动作思维、形象思维和抽象思维；根据思维过程的指向不同，可以将思维分为集中思维和发散思维；根据思维的智力品质不同，可以将思维分为习惯性思维和创造性思维.以“数学的眼光”为例，依据义务教育数学课程标准（2022年版），义务教育阶段，数学眼光主要表现为抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识.例如，将马路上的十字路口理想化，可以将其抽象为“两条直线互相垂直”，这是数学形象思维的结果，是数学抽象、几何直观、空间发展学生数学核心素养的若干思考牛星惠牛星惠（海南省琼中黎族苗族自治县海南琼中思源实验学校海南省琼中黎族苗族自治县海南琼中思源实验学校）摘要：发展学生的数学核心素养是落实立德树人根本任务的重要前提.通过对发展学生数学核心素养的深度剖析，期望对一线教师的课堂教学提供借鉴，对促进学生数学核心素养的发展产生积极影响.关键词：数学核心素养；数学思维；数学核心价值；整体教学中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）03-0034-05引用格式：牛星惠.发展学生数学核心素养的若干思考 J.中国数学教育（初中版），2024（3）：34-38.作者简介：牛星惠（1964），男，中学正高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.34上半月（初中版）2024年第3期（总第305期）案例透视观念的综合体现；将()+3+()+4=+7，()-3+()-6=-9，-12+-212=-3共性化，可以抽象出“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”，这是数学形象思维与数学直觉思维的结果，是数学抽象能力的体现.前一种抽象用到了“理想化眼光”，它是从真实世界到数学世界的转化过程；后一种抽象用到了“共性化眼光”，它是从低层数学到高层数学的发展过程.由此可见，培养思维能力应成为发展学生数学核心素养的抓手.如何培养学生的思维能力呢？简单来说，就是在课堂上教思维，进而发展学生的数学思维.那么，如何在课堂上教思维呢？通过如下案例来阐述.案例1：用字母表示数.问题1：观察下列等式.3+()-5=()-5+3；()-2+()-5=()-5+()-2；12+13=13+12；0+()-7=()-7+0.师：这样的例子你能列举完吗？列举不完怎么办？问题2：图1是某年1月份的日历.如果用一个长方形框住4个数，设左上角的数为a，那么其余的3个数怎样表示？日18152229一29162330二310172431三4111825四5121926五6132027六7142128图1通过解答上述问题，让学生体会用字母表示数的便捷，体现其一般性、简洁性与必要性的特点，旨在让数学思想引领学生的思考方向.一般来说，数学研究的一般观念、数学思想、辩证唯物主义观点、数学美具有方法论意义，它们能引领学生的思考方向，成为学生探究的“指路明灯”.因此，当教师教会了学生数学方法论的知识时，他们就能在数学探究中会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.但教师仅仅懂得“培养思维能力是发展学生数学核心素养的抓手”是不够的，还需要深入理解数学核心素养.那么，我们该如何理解数学核心素养呢？二、联系、发展、矛盾的观点是理解数学核心素养的前提数学的内容和方法充满了辩证法.例如，有限与无限，直与曲的对立，静与动的转化，形与数的结合与统一，特殊与一般，多与一，常量与变量，变化中的不变量，运动、变化、发展的观点，相互联系的观点，否定之否定规律，等等.数学的内容与方法是“四基”的有效载体，数学核心素养是“四基”的继承与发展.因此，“三会”既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体.案例2：一次函数的性质探究.求证：一次函数y=kx+b()k0中y随x的增大而增大.八年级时，学生已经通过特例直观发现：对于一次函数y=2x，y=12x-3，y=x+5，都有y随x的增大而增大.于是猜想：对于一次函数y=kx+b()k0，y随x的增大而增大.如何证明？由于在七年级学习代数式时，学生已经积累了通过作差可以比较两个数的大小的经验，这就为证明猜想提供了方法准备.同时，通过代数与几何的学习，学生已经知道任何一个数学猜想都需要证明.这也为证明此题做了铺垫.此时，教师可以引领学生按如下方式证明.设P()x1，y1，Q()x2，y2是一次函数y=kx+b()k0的图象上的任意两点，且x1x2，如果能证明y10，y随x的增大而增大.因为y1=kx1+b，y2=kx2+b，所以y1-y2=()kx1+b-()kx2+b=kx1-kx2=k()x1-x2.由于x1x2，所以x1-x20，所以k()x1-x20.从而y1-y20，即y1y2.接着，教师让学生独立证明：对于一次函数y=kx+b()k0或k0，建立了系数k与函数增减性的关联；以发展的观点将几何直观、空间观念与代数推理深度融合；以矛盾的观点研究了“形”的直观化为“数”的深刻，将“无限”的特例化为“一般”的结论，重温了图形的性质的研究方法实验探究、直观发现、推理论证，发展了学生的数学眼光抽象，锻炼了学生的数学思维由形象思维走向逻辑思维，有助于培养学生的理性思维，涵养批判质疑的科学精神.由此可见，联系、发展、矛盾的观点是理解数学核心素养的前提.教学中，教师需要在深刻理解数学核心素养的同时，找准核心素养在教学中的孕育点、生长点和拓展点，因为这是发展学生数学核心素养的关键.三、找准核心素养在教学中的孕育点、生长点和拓展点是发展核心素养的关键众所周知，数学知识都有其发生发展的过程，并与其他知识产生关联，形成知识结构.教师要努力做到在知识发生的背景中找到新知的孕育点，在知识的发展过程中找到新知的生长点，在知识的关联中找到新知的拓展点.数学核心素养正是在新知的发生、发展与拓展中发展的.案例3：球赛积分表问题.“球赛积分表问题”源自人教版义务教育教科书数学七年级上册“3.4 实际问题与一元一次方程”的内容，如表1所示.表1某次篮球联赛积分榜队名前进东方光明蓝天雄鹰远大卫星钢铁比赛场次1414141414141414胜场1010997740负场4455771014积分2424232321211814表1中蕴含着相等关系，即胜场数+负场数=比赛场次，胜场积分+负场积分=总积分，这是方程思想的孕育点.同时，积分表中也蕴含着未知数，即胜一场积几分，负一场积几分.由钢铁队胜0场、负14场，积14分可得负一场积1分，再根据前面任何一队的积分，即可得胜一场积2分.那么，还有其他算法吗？这恰恰是用一元一次方程解决实际问题的生长点.教学中，针对新知的孕育点，教师可以提出以下问题：观察表1的球赛积分表，你能得到哪些信息？在此过程中，学生可能会得到表格中蕴含的相等关系，以及负一场积1分，胜一场积2分.这个过程既发展了学生的信息识别与获取能力和口算能力，也发展了学生“用数学的眼光观察现实世界”的核心素养.针对新知的生长点，教师可以提出以下问题：除了用算术法求出胜一场积2分、负一场积1分外，还有其他方法吗？针对球赛积分问题，你能提出一个怎样的问题？在此过程中，不仅考查了学生的数学建模能力，即用一元一次方程解决实际问题的能力，而且有助于学生养成通过计算思维将信息简约化和形式化来求解问题的习惯，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的科学态度与理性精神，发展了学生“会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”的核心素养.如何拓展球赛积分问题？一是通过学生提出的问题拓展.例如，胜场积分会不会等于负场积分？一支球队会不会积22分？二是通过教师设计的问题拓展.教师不妨设计以下问题.在2022年卡塔尔世界杯比赛中，D组四支球队的比赛积分如表2所示.表2排名1234球队法国澳大利亚突尼斯丹麦场次3333胜场2210平场0011负场1112积分6641注：数据来源于网络.36上半月（初中版）2024年第3期（总第305期）案例透视问题：（1）你能从表2中得到哪些信息？（2）你能提出一个用一元一次方程解决的问题吗？试一试！（3）在这次世界杯比赛中，某球队比赛3场，那么它的胜场积分会不会等于平场积分？为什么？通过对新知的拓展，提高了学生运用数学思想方法发现与提出问题、分析与解决问题的能力，易于让学生养成理性思维的态度，形成规范化思考的品质，以及一丝不苟、严谨求实的科学精神.案例3中，学生将经历提取信息、构建模型、合理推断、获得结论的数据分析过程.在此过程中，通过教师在新知的孕育点、生长点和拓展点设计问题，有助于发展学生的数学核心素养.因此，找准核心素养在教学中的孕育点、生长点和拓展点是发展数学核心素养的关键.四、“两观一线”整体教学是发展数学核心素养的保障所谓“两观一线”，是指树立数学课程整体观、数学核心素养发展系统观（核心素养具有整体性、一致性和阶段性的特点），以“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层考核内容为主线组织教学内容.数学课程整体观保证了数学课程的整体性与学生学业质量的整体性，为学生未来的学习与生活奠定数学基础，这是数学教学的整体观.数学核心素养发展系统观保证了数学核心素养的整体性、一致性与阶段性发展，表现为在数学课程整体观下，数学教育应立足对学生的数学核心素养的培养，落实立德树人根本任务，这是课堂教学的立足点.而以“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”四层考核内容为主线设计教学，明确了教学内容的组织策略，即价值引领、素养导向、能力为重、知识为基，有利于实现数学课程的育人价值.它们分别从宏观统摄和微观操作给出了“两观一线”整体教学的根本遵循.显然，这种教学理念突破了大单元教学的局限性，从数学教学、学生发展、考查内容三个维度实现对学生的数学教育，体现了“教学评”的一致性.如何实施“两观一线”整体教学来培养学生的推理能力呢？推理能力的培养贯穿了初中数学教学.义务教育阶段的数学课程内容由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域组成.以“数与代数”领域为例，通过对问题的归纳，我们可以得到一元二次方程增长率模型a()1+x2=b（其中a为原始数量，x为平均每年增长的百分率，b为经过两年连续增长后的数量），用到了归纳推理；类比分数学习分式，类比一元一次方程学习一元一次不等式，类比一次函数学习其他函数，用到了类比推理；在数学概念与数学原理的学习中，用到了归纳推理与逻辑推理，如有理数加法法则的归纳用到了归纳推理，平方差公式的得出用到了归纳推理与逻辑推理.学生对数学知识与思想方法的学习的连续性决定了数学核心素养的阶段性、螺旋上升性发展.那么，在“两观一线”理念引领下，如何开展课堂教学呢？案例4：菱形的性质.首先，要明确本节内容体现的核心价值是什么.根据“菱形是一组邻边相等的平行四边形”确定本节课的核心价值是联系、发展的观点，即菱形的概念、性质是平行四边形的概念与性质的发展，从而发展学生的抽象能力和推理能力.数学关键能力有知识获取能力群中的符号表征能力，实践操作能力群中的动手操作能力，思维认知能力群中的形象思维能力、抽象思维能力、归纳推理能力、逻辑推理能力、批判性思维能力、辩证思维能力等.本节内容涉及的基础知识是菱形的概念与性质，基本技能有观察、抽象、研究、推理等，数学思想有抽象、转化，基本活动经验有自然语言、符号语言、图形语言相互转化的经验，抽象的经验，研究几何对象基本路径的经验，分析的经验等.为此，可以类比平行四边形的研究路径生成菱形的研究路径为“概念表示性质判定特例应用”，这是数学的一般观念，体现了数学课程的整体性.通过平移平行四边形的一边使其一组邻边相等，引领学生思考：在平移平行四边形一边的过程中，什么量不变？什么量变了？并追问：平移后的四边形还是平行四边形吗？它比一般的平行四边形特殊 37上半月（初中版）2024年第3期（总第305期）案例透视在什么地方？你认为这个特殊的平行四边形应该叫做什么？你会给菱形下定义吗？在菱形研究路径的引领下，接下来我们该研究什么？你打算从哪方面开始研究？从哪里突破？布置作业时，教师可以设计如下数学核心素养考查题.教师画一个筝形，让学生思考：（1）你认为我们应沿着怎样的路径研究筝形？从哪里突破？（2）你能给出筝形的概念、性质与面积计算公式吗？（3）菱形与筝形有何联系与区别？数学核心素养的考查，一定是在陌生的情境中进行的.因为只有在陌生情境中，学生才会调动“四基”，运用“四能”，诊断自己的数学核心素养.而在熟悉的情境中，学生可能只是靠记忆、套模型来解决问题.类比平行四边形的研究路径与方法研究菱形，体现了数学课程的整体性（研究内容的一致性，研究方法的普适性），以及数学核心素养发展的阶段性、一致性、整体性、螺旋上升性；将考查内容（核心价值、学科素养、关键能力、必备知识）结构化，有助于学生以联系、发展、矛盾的观点看待数学（包含数学核心素养与考查内容之间的关系），突破了大单元教学的局限性.显然，“两观一线”整体教学站在了更好的层面上处理课程、核心素养与考查内容的关系，有助于实现“教学评”的一致性，提高教学质量.总之，培养思维能力是发展数学核心素养的抓手，联系、发展、矛盾的观点是理解数学核心素养的前提，找准核心素养在教学中的孕育点、生长点和拓展点是发展核心素养的关键，“两观一线”整体教学是数学教育的理念，它为发展数学核心素养提供了保障.倘若我们能坚持“两观一线”理念引领，在深入理解数学核心素养的基础上，找准核心素养在教学中的孕育点、生长点和拓展点，牢牢抓住培养思维能力这个“抓手”，就一定能让数学核心素养落地生根.参考文献：1陆书环，傅海伦.数学教学论 M.北京：科学出版社，2004.2王宪昌.数学思维方法：第二版 M.北京：人民教育出版社，2010.3牛星惠.引领学生探究方向的四个“指路明灯”J .中学数学教学参考（中旬），2021（1）：76-78.点高了，事物才能显得明了而简单.其实，不仅教师的教如此，学生的学也是如此.数学教学的终极目标是让学生理解或掌握研究数学的方法，帮助学生建立学科观念和学科思维.因此，在进行单元教学时，教师只有对教材内容结构有一个系统的、整体的把握，才能在教学设计中实现知识结构的关联，才能使学生学到结构化、联系紧密、迁移能力强的知识；只有把知识置于历史、当下和未来的生活中，用联系的、发展的思维去认识、理解、把握、体验、应用，才能让学生理解、接受、掌握知识的数学本质，真正把握知识的脉络.教学价值是教学设计的灵魂.核心素养是当前基础教育的育人目标和方向.我们对单元教学的认识可能还不够清晰，对数学核心素养的理解可能还有所欠缺，但我们坚信，这样的教学实践在学生学科关键能力的生成，思维习惯的培养，以及情感、态度和价值观的形成方面一定能发挥独特的作用.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2吕世虎，吴振英，杨婷，等.单元教学设计及其对促进数学教师专业发展的作用 J.数学教育学报，2016，25（5）：16-21.3章建跃.注重数学的整体性，提高系统思维水平（续）：人教版义务教育教科书数学九年级下册介绍 J.中学数学教学参考（中旬），2015（3）：4-6.4克莱因 F.高观点下的初等数学：第一卷 M.舒湘芹，陈义章，杨钦樑，译.上海：复旦大学出版社，2008.5章建跃.从整体性上把握好数学内容 J.中小学数学（高中版），2010（3）：506裴光亚.数学教学的价值序列 J.中学数学教学参考（中旬），2016（11）：1.（上接第27页）38