动静有序识变化 明理得法溯本源——2023年中考“图形的变化”专题命题分析.pdf

上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南初中阶段“图形与几何”领域包括“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”三个主题.“图形的变化”是其中重要的组成部分，它强调从运动变化的观点来研究图形，理解图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不变量.义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称标准）中关于“图形的变化”主题的内容、要求和相关核心素养的表现如表1所示.内容轴对称、旋转、平移三类基本图形运动几何图形的对称性直角三角形的边角关系锐角三角函数图形相似的意义相似三角形的判定和性质简单立体图形的侧面展开图要求理解理解知道运用了解会判断知道核心素养的表现用图形的运动认识、理解和表达现实世界，用数学语言表达对称，体现空间观念、几何直观和应用意识；用锐角三角函数解决实际问题，体现推理能力、运算能力、抽象能力和应用意识；在从不同角度观察立体图形的过程中体现空间观念表1一、考查内容分析2023年全国各地区初中学业水平考试（以下统称“中考”）数学试卷中，“图形的变化”试题占有重要地位.抽取80余份2023年全国各地区中考试卷进行统计分析，发现对这部分内容的考查都关注“四基”（即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验）、关注应用、关注核心素养的具体表现，体现了标准的理念“图形的变化”主题考查的知识主要涉及三种图形运动、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的应用、简单立体图形的认识等.部分试题在考查“四基”的同时强化了对空间观念的考查；部分试题设计考查新问题情境下的分析问题和解决问题的能力，凸显了对应用意识的关注；部分试题突出了图形的变化是研究数学问题和实际问题的工具和方法，考查了抽象能力、几何直观、推理能力和运算能力等.笔者在80余份2023年中考数学试卷中选取了不同省份、使用不同教材版本的13份试卷，对其中的“图形的变化”试题按图形的运动、图形的相似、锐角三角函数和图形的投影进行分类统计，统计结果如表2所示.动静有序识变化明理得法溯本源2023年中考“图形的变化”专题命题分析钟菊红（上海市奉贤区教育学院）摘要：文章选取2023年部分地区中考试卷中有关“图形的变化”的典型试题，从考查内容、命题思路等角度阐述该部分试题的命题特点，并对该部分内容的复习教学提出建议.关键词：图形的变化；中考试题；试题评析；命题启示；教学建议中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1673-8284（2024）01-0053-10引用格式：钟菊红.动静有序识变化明理得法溯本源：2023年中考“图形的变化”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2024（1）：53-62.基金项目：2022年中国教育学会义务教育数学课程标准研究（初中）专项课题基于发展学生核心素养的课程资源优化与整合研究（22ZS061405ZA）.作者简介：钟菊红（1972），女，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究.53上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南表2表明，13份样本试卷中对“图形的变化”主题的考查比例基本为10%24%，有5份试卷超过20%，分值的平均权重达到19.18%（这里包括用图形的变化研究一些综合问题）“图形的变化”题型分布在选择题、填空题和解答题中，操作题与各题型相结合.题量方面，大多数试卷设计5道题左右；难度方面，简单题、中档题、较难题都有涉及，如上海卷第25题、福建卷第24题和广东卷第23题等都是作为压轴题出现二、命题特点分析1.命题意图分析（1）立足教材，注重“四基”，落实对核心内容的考查.注重“四基”，加强对核心内容的考查，是实现“义务教育数学课程具有基础性、普及性和发展性”这一基本目标的有力措施，也是2023年各地区中考对“图形的变化”考查的基本做法.很多试题源于教材，将教材中的例题（或习题）的条件、结论、呈现方式等进行适当调整和引申，既关注了学业水平考试的基本定位，又发挥了中考对教学的正确导向例1（广东卷）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图1），则图中阴影部分的面积为_1064图1答案：15考查目标：此题要求运用正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识计算梯形的面积，主要考查学生的推理能力和运算能力命题意图：此题以三个大小不等的正方形组合图形为背景，采用填空的方式考查求阴影部分图形的面积.可以根据正方形的性质得到相似三角形，再利用相似三角形的性质计算线段长度；也可以根据图中直角三角形的边角关系，利用锐角三角函数求相关线段的长度，进而求出结果命题评价：此题是对北师大版 义务教育教科书数学九年级上册第四章“图形的相似”复习题第18题表213份2023年中考试卷中“图形的变化”主题的考点及赋分比例分析卷别上海卷安徽卷福建卷广东卷河北卷河南卷吉林卷江西卷山西卷陕西卷天津卷重庆卷浙江宁波卷轴对称、旋转、平移分值9109796363648比例6.00%6.67%6.00%5.83%7.50%5.00%2.50%5.00%2.50%5.00%2.67%5.33%相似三角形分值148874212814812比例9.33%5.33%5.33%5.83%3.33%1.67%10.00%6.66%11.67%5.33%8.00%锐角三角函数分值514712891141410121010比例3.33%9.33%4.66%10.00%6.67%7.50%9.16%3.33%11.67%8.33%10.00%6.67%6.67%投影分值44232343比例2.67%2.67%1.67%2.50%1.67%2.50%2.67%2.00%总计分值28362826231221192827212633比例18.66%24.00%18.66%21.66%19.17%10.00%17.50%15.83%23.33%22.50%17.50%17.33%22.00%试卷满分150150150120120120120120120120120150150 54上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南的改编，它整合了正方形、相似三角形、锐角三角函数等核心知识.解决此题的关键是将面积计算问题转化为线段长度计算问题，即合理运用平行线寻找相似三角形或直角三角形等基本图形，获得线段之间的数量关系，求得所需线段的长度，这也是解答几何计算问题的重要方法.类似的试题有安徽卷第8题、湖南常德卷第15题和辽宁本溪卷第18题等（2）赋予试题现实背景，关注对数学应用意识的考查.数学源于对现实世界的抽象.教师在教学时要引导学生在真实情境中经历观察、推理、直观想象等活动，促进学生掌握“四基”，发展抽象能力，提升应用意识 标准在“图形的变化”的学业要求中也明确了要了解三视图与展开图在现实生活中的应用，能认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形、中心对称图形，能用锐角三角函数知识解决一些简单的实际问题等例2（新疆卷）下列交通标志中是轴对称图形的是（）.（A）（B）（C）（D）答案：B考查目标：此题要求认识现实生活中的轴对称图形，考查学生的空间观念和几何直观命题意图：此题以现实生活中的交通标志为载体，让学生在多个交通标志的图形中识别轴对称图形命题评价：对称图形是各地中考常考的基础题.这类试题往往以学生熟知的事物为背景，有浓郁的地域特色.此类试题虽然简单但能在潜移默化中对学生进行德育和美育教育.类似的试题有广东卷第2题、湖北武汉卷第2题和广西卷第2题等例3（湖北黄冈卷）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图2，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45，尚美楼顶部F的俯角为30，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为.（结果保留根号.）博雅楼尚美楼CADEF4530B图2答案：()30-5 3米考查目标：此题要求用锐角三角函数知识解决简单的实际问题，考查学生的抽象能力、推理能力、运算能力和几何直观命题意图：此题以综合实践课上的测高活动为背景命制，是基于实际问题解决、考查解直角三角形的应用问题.适当添加辅助线，合理构造直角三角形，充分利用直角三角形中的边角关系、锐角三角函数定义解题，是命制这类问题的常用方法.命题评价：测量高度问题是各版本教材中锐角三角函数章节的典型例题.此题通过对现实问题进行抽象，将其转化为数学问题，然后用锐角三角函数的知识和方法构建直角三角形模型解决问题，能引发学生观察生活中的问题，把生活中有关数量和图形的问题抽象为数学问题，是考查学生应用意识很好的载体.类似的试题有广西卷第17题、河北卷第19题和河南卷第20题等例4（河南卷）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值.如图3，关于它的三视图，下列说法正确的是（）（A）主视图与左视图相同（B）主视图与俯视图相同（C）左视图与俯视图相同（D）三种视图都相同答案：A考查目标：此题要求判断简单几何体的三视图，考查学生的空间观念命题意图：此题以汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶为素材，考查从实物中抽象出几何体，进而判断其三视图的过程正面图3 55上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南命题评价：此题以三视图知识为载体，将立体图形与生活中的物体联系起来，考查了学生的空间观念.此题的素材选择具有地方特色，体现了中考试题的育人价值.此题采用选择题形式，对学生答题具有一定的提示性，适当降低了试题的难度.类似的试题有福建卷第2题、重庆A卷第2题、云南卷第4题、湖北武汉卷第5题和浙江温州卷第2题等（3）寓操作活动于网格背景中，关注对动手实践能力的考查.将几何图形放置在网格中，给学生提供观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动的机会，恰当地运用网格帮助学生理解较为抽象的图形的变化，探索图形的性质，也能体现对学生动手实践能力的考查.近年来，借助网格考查图形的变化的试题也是中考命题的热点例 5（浙江温州卷）如图 4，在24的方格纸 ABCD中，每个小方格的边长为1.已知格点P，试按要求画格点三角形（顶点均在格点上）（1）在图4中画一个等腰三角形PEF，使底边长为2，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180后的图形.（2）在图5中画一个RtPQR，使P=45，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位长度后的图形APBDC图4APBDC图5答案：（1）画法不唯一，如图6所示.APBDCEF图6APBDCQR图7（2）画法不唯一，如图7所示考查目标：此题要求学生运用图形的旋转、平移的基本性质及等腰三角形的基本性质画图，主要考查学生的几何直观、空间观念和推理能力.命题意图：此题是网格背景下的几何画图题，需要根据已知条件将格点三角形、等腰三角形、等腰直角三角形与图形的旋转、平移结合在一起思考.第（1）小题中，由“底边长为2”可知底边PF是小方格的对角线，顶点E是线段PF的垂直平分线与BC的交点，再根据旋转的两个要素画出图形第（2）小题中，根据点P是等腰直角三角形的底角顶点，从点P出发连接AD或BC边上的格点为腰，通过构建“一线三垂直”模型作出图形，再根据平移的两个要素（向右平移1个单位长度）作出平移后的图形命题评价：此题以网格为背景，通过旋转、平移图形，确定运动后图形的位置，把对图形变化的考查过程融于观察、推理、计算之中.类似的题型在多个版本教材中都有出现，如人教版义务教育教科书数学九年级上册习题23.1第4题等.此类题目虽然简单，却有思维含量和进一步研究的价值，为教师的教和学生的学提供了较好的素材.类似的试题有安徽卷第17题、湖北武汉卷第21题等（4）立足发展，适度开放，关注对研究数学问题方法的考查.标准倡导加强对研究数学问题方法的考查.对于“图形的变化”试题的教学，教师在强化空间观念、揭示图形变化前后的数量关系的同时，也应强调图形变化是研究问题的工具，使学生在研究问题的过程中体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系.例6（山东烟台卷）【问题背景】如图 8，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；将ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q图8CQDABOFEP 56上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南【问题提出】在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长.【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下.方案1：连接OQ，如图9经过推理、计算可求出线段CQ的长；图9CQDABOFEPCQDABOFEPR图10方案2：将ABO绕点O旋转180至RCO处，如图10.经过推理、计算可求出线段CQ的长.任选其中一种方案求线段CQ的长答案：线段CQ的长为2512.考查目标：此题要求学生掌握矩形的性质，理解图形翻折、旋转的基本特征，考查学生的几何推理、几何直观、空间观念和运算能力命题意图：此题先根据画图语句画图，然后提出问题，设计两种解决问题的方案，最后需要学生根据提供的方案解决问题，体现了解决问题的整体过程.方案1是先连接OQ，根据矩形的性质和图形翻折的性质证明QPOQCO.再利用RtADQ的三边关系建立方程求得线段CQ的长.方案2是根据矩形的性质和图形旋转的性质得到点D，C，R共线.再利用图形翻折的性质和 RtADQ 的三边关系建立方程求得线段CQ的长命题评价：此题以矩形为背景，通过对图形运动过程的描述形成数学问题，体现了对数学活动经验的考查.此题采用“问题背景问题提出问题解决”的形式命制，将利用尺规作线段中点、图形翻折和旋转的性质、勾股定理等知识融为一体，让学生在多次操作的过程中发现问题、提出问题进而解决问题，体现了对“四能”的考查“问题解决”中给出的两种添加辅助线的方案，为学生提供了不同的解决问题的思路，促使学生主动运用图形运动的思想解决问题，不仅全面考查了图形运动的基本性质，也体现了图形的运动是研究和解决问题的有力工具类似的试题有广西卷第26题例7（浙江温州卷）根据背景素材（如表3），探索解决问题表3测算发射塔的高度背景素材问题解决任务1任务2任务3分析规划获取数据推理计算换算高度某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图11），他们通过自制的测倾仪（如图12）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图13所示图11NMDEBAC C图12支杆铅锤激光源1拃（zh）大拇指尖和中指尖之间的最大距离小贴士8拃4拃3拃2拃41拃1拃1拃1拃321A处俯角1A处仰角2B处仰角3C处仰角4图13（a）（b）（c）（d）经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度选择两个观测位置：点和点写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离计算发射塔的图上高度MN楼房实际宽度DE为12米，试通过测量换算发射塔的实际高度注：测量时，以图上距离为准，并精确到1 mm 57上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南答案：任务1：【分析规划】A，B（答案不唯一）；【获取数据】tan1=18，tan2=14，tan3=13，测得图上AB=4 mm.任务2：MN=18 mm.任务3：发射塔的实际高度为43.2m考查目标：此题要求结合自制工具，选择测量方案，运用锐角三角函数知识解决实际问题，考查学生的抽象能力、几何直观、推理能力和运算能力命题意图：此题采用“填空+解答”的形式设计，通过三个不同的任务呈现问题.任务1只需在点A，B，C 中任意选两个点，然后结合图形获取1，2，3，4的正切值和A，B两点间的距离即可；任务2是通过直角三角形的边角关系建立关系式，求出相应线段的长度；任务3根据比例尺建立方程求解即可.命题评价：此题改变了传统测高问题的呈现模式，采用主题活动形式，用三个相互关联、环环相扣的任务让实践活动与数学学习联系起来，不仅让学生体验了问题解决的过程，也考查了学生处理信息的能力.测高问题在各地区中考试卷中比较常见，其中以主题活动形式命题的还有山西卷第20题中的母亲河驳岸的调研与计算、四川遂宁卷第22题中的测量湖边A，B两处的距离等（5）加强与函数知识之间的联系，关注解决综合问题能力的考查.有些“图形的变化”试题以函数图象为背景，动静结合，有效整合函数（代数）与图形的变化（几何）的相关知识，让学生体会点的运动与图形的变化之间的关系，在点的坐标的变化中寻求图形不变的性质，关注了学生类比、探究、归纳、推理等能力的全面发展，有效考查了学生解决综合问题的能力例8（新疆卷）【建立模型】（1）如图14，B是线段CD上的一点，AC BC，AB BE，ED BD，垂足分别为点C，B，D，AB=BE.求证：ACB BDE.BCAED图14【类比迁移】（2）如图15，一次函数y=3x+3的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段AB绕点B逆时针旋转90得到BC，直线AC交x轴于点D 求点C的坐标；求直线AC的解析式.ABCDOxy图15【拓展延伸】（3）如图16，抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已知点Q()0，-1，连接BQ，抛物线上是否存在点M，使得tanMBQ=13？若存在，求出点M的横坐标OxyACBQ图16答案：（1）证明略.（2）点C的坐标是()-4，1；直线AC的解析式是y=12x+3.（3）-1413或-411考查目标：此题要求综合运用全等三角形的判定、图形的旋转、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、一次函数及二次函数的图象等知识解决综合问题，考查学生的几何直观、模型观念、推理能力和运算能力.命题意图：此题用基本图形“一线三垂直”贯穿始终，从全等到相似，从一次函数到二次函数，从已知基本图形到构建基本图形再到变化基本图形，整个过程的要求依序增加，需要学生抓住图形的本质，经历观察、归纳、类比、延伸等数学思维活动，综合运 58上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南用图形的变化的知识解决问题.第（1）小题直接利用基本图形证明三角形全等即可；第（2）小题中，结合图形旋转，在平面直角坐标系中利用隐含的直角构建基本图形；第（3）小题中，将直角顶点放在y轴上，通过旋转90构建基本图形命题评价：此题从一个几何命题入手，在平面直角坐标系背景下，将图形的性质、图形的变化、图形与坐标有机结合，从演绎证明、运动变化、量化分析等角度，动中看静、以静制动，重点研究图形的变化中的不变关系.此题将图形的变化用数和符号来表示，将图形中的点与线之间的各种联动转化到数与式的运算中，考查学生解决综合问题的能力.类似地，广东卷第23题是将几何图形放置在平面直角坐标系中，为研究图形的变化规律、图形之间的位置和数量关系等提供了新的解题思路.在对80余份试卷的梳理中，发现超过一半试卷将函数综合题与相似三角形、锐角三角函数、图形的运动的推理和计算相结合，体现了图形的变化在解决综合问题中的作用2.命题导向分析综观2023年全国各地区中考试卷，对“图形的变化”试题的考查渗透到了初中阶段数学内容的各个领域中.此类试题的命制遵循标准的要求，坚持素养立意，凸显育人导向，真正实现对核心素养导向的数学课程学习质量的全面考查.针对中考试题越来越体现标准理念的趋势，今后“图形的变化”试题的命制应呈现如下特点.（1）“四基”和“四能”并重.考查图形的轴对称、旋转、平移的试题，侧重对图形的运动的识别能力、图形的运动的性质的理解和运用、图形的运动在推理论证中的作用，以及图形运动在研究函数图象中的价值等方面的考查，既关注直接对“四基”的灵活考查，也强调以图形的变化为背景，综合运用图形的性质等知识解决问题，考查学生在运用数学和其他学科知识与方法的过程中发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力（2）知识和情境相融.考查图形的投影、锐角三角函数等内容的试题，在素材选择方面注重数学与现实生活的联系，变平铺直叙为情境展现；从重结果到重过程，注重学生对数学基本思想方法的理解和应用，考查学生从生活现实、数学现实、其他学科现实中抽象出数学知识和方法的过程.此类试题进一步体现了锐角三角函数是解决数学问题的重要工具，掌握这些知识可以进一步发展学生的数学应用意识和解决问题的能力（3）内容和形式兼顾.考查图形的相似、图形的运动的试题，从单一知识点的考查逐步转向多个知识点的综合；从简单的论证转向发现、猜测和探究，注重学生在学习过程中是否经历了观察、实验、操作、探究的过程，使合情推理和演绎推理有机融合，这样的考查符合“综合与实践”领域的学习要求.此类试题引导学生通过参与探究活动过程提出有意义的问题，通过改变问题的设问方式，变封闭为开放，注重考查学生的思维过程，避免让学生采用死记硬背和机械刷题的复习方式三、复习教学建议1.准确把握内容的学业要求在复习阶段，帮助学生弄清楚课程内容的基本要求，引导学生把握其中的核心内容和蕴含的思想方法，对提升学生的数学能力尤为重要.“图形的变化”主题在初中阶段“图形与几何”领域的作用是毋庸置疑的，准确把握标准对这部分的内容要求和学业要求，是改善复习的针对性、提高复习效果的需要.例如，对于视图，教师不需要拔高知识难度，只要求学生能判断简单物体的视图，能根据视图描述简单的几何体即可；对于立体图形的展开与折叠，只要知道简单立体图形的侧面展开图即可；对于锐角三角函数，要知道直角三角形的边角关系，理解锐角三角函数，能用锐角三角函数解决简单的实际问题.因此，复习时既需要重视这些知识的整体性和应用性，也需要关注知识的综合性2.强化知识和方法的梳理强化知识和方法的梳理是为了让学生从整体上把握知识之间、方法之间的联系，优化学生的知识结构.59上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南在教学中，教师要经常引导学生基于研究对象、研究过程、思想方法进行知识和方法的回顾和梳理.例如，在复习图形的运动时，可以从图形的运动的要素、三类图形的运动的关系、利用图形的运动的性质解决问题等角度进行梳理，使学生对图形的运动的知识体系有一个全面的把握，对图形运动的研究方法有比较清晰的认识，从而获得解决此类问题的思路，并鼓励学生用多种方法进行解题，加强学生对知识和方法的理解与变通3.多角度认识图形的基本特征从多个角度认识图形，可以让学生建立起知识之间、图形之间的广泛联系，为解决综合问题时实现知识的迁移奠定基础.例如，教师可以引导学生用图形的对称性来认识圆的性质，用线段的平移和旋转来认识平行四边形的形成过程（如图17），用图形的旋转来认识中点问题中辅助线的添加方法等.充分利用图形的运动认识几何图形，可以培养学生的几何直观和理性思维平移旋转180（a）（b）图17多角度认识图形，可以让学生养成画图的习惯，鼓励学生用图形表达问题，让相对抽象的思考对象形象化.教师要通过多种途径和方式让学生体会画图给概念理解、寻求解题思路带来的益处.同时，多角度认识图形有助于学生掌握研究图形的一般方法.例如，当图形发生旋转变化时，可以从以下三个角度分析：新图形自身的性质有哪些变化？对应元素之间有何关系（数量关系和位置关系）？又生成了哪些新的图形结构？从运动变化的角度理解几何图形的性质，可以让学生学会从整体到局部再到整体对图形进行思考，从定性到定量，动静结合地进行观察和思考4.挖掘教材资源开发复习素材在中考复习阶段，有些教师经常抛开教材，围绕教辅进行“模拟练习发现问题针对性训练”的循环.教师和学生都试图通过“地毯式”的刷题、解题来实现成绩上的提升，但是结果总是事倍功半.在分析2023年全国各地区中考“图形的变化”试题的过程中，发现越来越多的试题源自教材，如前述例1、例3、例5等.因此，在复习阶段，教师需要关注教材，充分挖掘教材资源来开发复习素材.教师可以适时引导学生浏览教材内容；在讲解中考真题或例题时联系教材，与学生一起分析试题的“前世今生”，以及试题的改编和创新的套路与规律；结合教材中的例题和习题设计教学问题，构建有价值的探索活动，进一步挖掘习题中蕴含的思维价值，达到促进学生数学思考的目的.例如，沪教版 九年义务教育课本数学八年级第二学期“22.6 三角形、梯形中位线”中的例题 8 如下：如图 18，已知梯形 ABCD 中，ADBC，E为AB中点，AD+BC=DC.求证：DEEC，DE平分ADC，CE平分BCD.ABCDE图18在对这道例题进行复习时，教师可以先让学生阅读教材给出的解法，然后思考其他解法，使学生通过不同解法感受中点、平行线、角平分线、垂直与图形的旋转、翻折、平移之间的关系，思考添加辅助线的方法，然后再对例题进行变式（交换部分条件和结论）和延伸（放置在一个复杂的图形中）.教师通过有意识、有目的的引导，让学生从变的现象中发现不变的本质，从不变的本质中探究变化的规律，帮助学生形成对几何研究方法的整体认识5.精心设计专题复习单元教学以主题、模块为单位的单元教学研究和实践在新课教学中已经广泛开展，但在复习课中还是会被忽视.由于教材内容是按螺旋上升原则编排的，很多相同主题的内容不是分布在某章或连续若干节中，而是散落在初中各个年级的章节中，所以教师需要将这些分布 60上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南在不同年级、不同章节的“看似离散，实则内联”的教学内容进行整合，形成有“主题”的复习单元.例如，将“图形的运动”作为复习主题，设计图形的运动与全等、图形的运动与函数图象、利用图形的运动添加辅助线等课时，也可以设计将三角形、矩形、正方形等基本几何图形与轴对称、平移、旋转进行有机融合的系列复习课，让学生在系列复习课中不断体验在变化的图形中寻求不变的几何元素的过程，加深学生对知识和方法的深度理解6.适当开展主题式和项目式学习活动标准在学业水平考试的命题原则中指出，要适当提高应用性、探究性和综合性试题的比例.在复习中，结合“图形的变化”的具体课程内容，教师可以精心设计一些能利用这些知识的主题式和项目式学习活动首先，教师要设计基于实际情境的问题，并将实际问题转化为合理的数学问题，如测量问题、基于图形的运动的综合问题等；其次，学生通过查阅资料、独立思考、合作交流，提出解决问题的思路，设计解决问题的方案，并结合所学的数学知识建立数学模型；最后，合理运用数据进行论证、计算，得到结论，进而反思结论的现实意义，最终解决问题.教师要引导每名学生都参与到这个过程中，让不同的学生可以在解决问题的过程中获得不同的体验和收获，既重在实践，又重在综合，从而逐步发展学生的数学核心素养四、模拟题示例1.一副三角尺按如图19所示的位置摆放（顶点C与顶点F重合，边CA与边FE叠合，顶点B，C，D在一条直线上）.将三角尺DEF绕着点F按逆时针方向旋转n（0 n 180），如果DEAB，那么n的值是图19BDEAC()F答案：1052.如图 20，已知扇形 OAB，点 E 在半径 OA 上，OE=3AE.连接BE，将OBE沿着直线BE翻折，如果圆心O的对应点D恰好落在弧AB上，那么sinDEO的值为.OBEA图20答案：4 593.某数学活动小组在学习了“解直角三角形的应用”后，开展了测量“某电视发射塔的高度”的实践活动【测量方案】如图21，在电视塔附近的高楼楼顶C处测量塔顶A处的仰角和塔底B处的俯角DCBA图21【数据收集】这幢高楼共12层，每层高约2.8米，在高楼楼顶C处测得塔顶A处的仰角为58，塔底B处的俯角为22【问题解决】求该电视发射塔AB的高度（结果精确到1米）根据上述测量方案及数据，完成求解过程（参考数据：sin22 0.37，cos22 0.93，tan220.40，sin58 0.85，cos58 0.53，tan58 1.60）答案：该电视发射塔AB的高度约为168米.4.根据相似图形的定义可以知道，如果一个四边形的四个角与另一个四边形的四个角对应相等，且它们的四条边对应成比例，那么这两个四边形叫做相似四边形.对应相等的角的顶点叫做这两个相似四边形 61上半月（初中版）2024年第1期（总第301期）中考指南的对应顶点；以对应顶点为端点的边是这两个相似四边形的对应边；对应边的比叫做这两个相似四边形的相似比（我们研究的四边形都是指凸四边形）（1）某学习小组在探究相似四边形的判定时，得到如下两个命题，试判断它们是真命题还是假命题.（直接在横线上填写“真”或“假”.）梯形的中位线将原梯形分成的两个小的梯形相似；命题 有一个内角对应相等的两个菱形相似；命题（2）已知：如图22，ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，以BC为直角边作等腰直角三角形BCD，再以BD为直角边作等腰直角三角形BDE.求证：四边形ABDC与四边形CBED相似图22BACDE（3）已知：如图23，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，BE，CD相交于点F，点G在AF的延长线上，连接BG，CG.如果四边形ADFE与四边形ABGC相似，且点 A，D，F，E 分别对应 A，B，G，C.求证：AF BF=AG EF图23GBCFDEA答案：（1）假，真.（2）略.（3）略5.如图24，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c()a 0经过原点，与x轴的另一个交点为A，顶点为P()-3，4OxyP图2411（1）求该抛物线的表达式.（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B 如果将该抛物线向右平移9个单位长度，连接PB，AB，AP，求ABP的面积；连接PQ交y轴于点M，将MPB沿着直线PB翻折，使得点M落在线段AP上，求点B的坐标.答案：（1）y=-49()x+32+4.（2）30；B()0，-2.参考文献：1中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）M.北京：北京师范大学出版社，2022.2蒋梅，张斌.变化的图形不变的规律：2022年中考“图形的变化”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2023（7）：4-13.3赵军才，薛红霞.图亦可料变守其本：2021年中考“图形的变化”专题命题分析 J.中国数学教育（初中版），2022（1/2）：88-96.4蔡莉娜.2020年中考“图形的变化”专题命题分析 J .中国数学教育（初中版），2021（1/2）：75-83.5章建跃.章建跃数学教育随想录 M.杭州：浙江教育出版社，2017.62