4.4生活中的优化问题举例.doc

* 4.4 生活中的优化问题举例 问题提出 1.在什么条件下，函数f x 在闭区间a，b上一定存在最大值和最小值？ 函数yf x 的图象是一条连续不断的曲线 2.如果在闭区间a，b上函数yf x 的图象是一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f x 在区间a，b上的最大值和最小值？ 将函数f x 在开区间（a，b）上的所有极值与区间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值. 3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大，成本最低，用料最省等实际问题，这些问题通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是求函数的最值，因此，以函数为载体导数为工具，解决生活中的优化问题，是数学应用领域的一个重要课题. 探究（一）：海报版面尺寸的设计 【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm. 思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？ 思考2：设版心的高为x，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？ 思考3：设海报四周空白的面积为S x ，则S x 的最简表达式如何？其定义域是什么？ 思考4：海报四周空白的面积S x 是否存在最值？若存在，如何求其最值？ 思考5：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 版心高为16dm，宽为8dm时， 探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 【背景材料】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r 单位：cm 是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm. 思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？ 思考2：每瓶满装的饮料的利润 单位：分 是多少？ 思考3：设每瓶满装饮料的利润为f r ，则函数f r 的定义域是什么？ （0，6 思考4：函数 是否存在最值？若存在，如何求其最值？ 思考5：函数 的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影响？ O x y 2 3 6 当0r3时，利润为负值；当r3时，利润为零；当r3时，利润为正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大. 思考6：市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？ 将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润. 探究（三）：磁盘的最大存储量问题 【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图所示. 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数. R r 思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？ R r 思考2：由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？ 最内一条磁道. 思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？ R r 思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？ 思考5：若R为定值，r为变量，那么这张 磁盘的存储量 如何变化？有何最值？ 时，存储量最大. R r 思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？ R r 时，存储量最大. 理论迁移 例 某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为 60x x2万元，并且技 改投入比率 .求当技改投入 多少万元时，所获得的产品的增加值为最大？ 技改投入40万元 小结作业 1.解决优化问题的基本思路： 优化问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 2.解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理，其探究过程是一个典型的数学建模过程.对目标函数的最值，要根据函数式的特点，用适当的方法求解，有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便. 3.对优化问题中的函数关系，要注意根据实际背景确定函数的定义域，如果目标函数在定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点. 例1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时，燃料费是每小时6元，其它与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使每行驶1km的总费用最小？ 20km/h 例2 用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么当容器的高为多少时，其容积最大？最大容积为多少？ 高为1.2m，最大容积为1.8m3. 例3如图所示，一条宽为1m的走廊与另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的宽度至少为多少m？ 细杆 走廊 走廊 1m 作业： P37习题1.4A组：1，2，3. 文档加载中.广告还剩秒