第四节线性方程组的解结构2011-2-16.doc

第四节 线性方程组解的结构
教学目的：1.掌握齐次与非齐次线性方程组解的性质;掌握齐次与非齐次线性方程组解的结构.2。能正确运用解的性质与解的结构原理求出方程组的通解,证明相关问题。
教学方法：讲授与指导练习相结合
教学过程：
一、齐次线性方程组解性质与解的结构
1。齐次线性方程组
(1） 方程组

(2） 矩阵形式:
其中： ,.
2。方程组的解集──的全体解组成的集合，即
.
显然,故非空。
3.性质
【性质1】若是的解,则也是的解。
【性质2】若是的解，为常数也是的解.
4.方程组的基础解系──齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系. 基础解系不一定惟一。但各个基础解析间是等价的。其中所含向量个数是确定的。
5。【定理7】设，则元齐次线性方程组解集的秩为。
6.方程组的解结构──设，则有基础解系；称为方程组的通解，其中为任意常数.
解集为任意
常数.
例1 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解

解
，
得最简同解方程组
有两个自由未知量,取为
取，则【对应有】
得基础解系:,
那么通解为：，其中: 为任意常数。
若取 ，则得基础解系。
因为与等价,所以通解形式虽然不一样,但都表示方程组的解.
另解:

取 ，则得基础解系。
的通解为，其中为任意常数.
例2 求元齐次线性方程组的一个基础解系与通解.

解

取,为自由未知量，令分别为,则得
是原方程组的一个基础解系。
通解为.
例3 求4元齐次线性方程组的一个基础解系

解：

，取为自由未知量，
所以 是原方程组的一个基础解系 ，
通解为。
例4 若，则。
证明 记，则可化为,从而的列向量均为的解,
设为的解集,由知
若，则只有解，那么,于是
；
若， 则，
即, 故。
例5 设矩阵A为 型矩阵，并且，B为n阶方阵，
求证：如果AB=A，则B=E
证明：AB=A可化为
设其中
则矩阵方程可化为
从而 ，
所以为齐次线性方程组的解向量
又∵型矩阵，
∴仅有零解=0， 从而
故B=E
证法二：AB=A可化为，且由知为列满
秩矩阵，从而.
提问：
1。设的系数矩阵A的秩等于其列数,则齐次线性方程组无解。 (×）
2．设,则线性方程组的基础解系中只含有4个线性无关的解．（ × ）
3。 为齐次线性方程组解，则为的解。（ √ ）
4。 已知是方程组的一个基础解系，
是方程组的一个基础解系，则下列（ C ）为方程组 的一个基础解系。
A． ; B.；
C。 ； D。 .
二、非齐次方程组解的结构
1。非齐次线性方程组
（1） 方程组

(2) 矩阵形式: （）
其中: ，,.
2。方程组的解集──的全体解组成的集合，即
.
3.性质
【性质3】若是的解,则是的解.
证明: ,
。
【性质4】是的解， 是的解，则是的解.
证明: ，,
。
4.线性方程组的解结构──设为的特解,又设
,则有基础解系,且的解集
为任意常数，称为方程组的通解.
提问：
5.是非齐次线性方程组的解，则是对应的解。( √ )
6。 8个未知数，6个方程的非齐次线性方程组有解，且
4，则对应的基础解系中含有2个解．
（ × ）
7。 如果向量组是线性方程组的一个基础解系，则向量组,也是的一个基础解系。( √）
8。 如果向量组是线性方程组的一个基础解系，则向量组,也是的一个基础解系.(×）

例5 求解方程组：

解 ，
，有无穷解，取为自由未知量，得同解方程组:
令 得的特解为：，
分别取得的基础解系为：
，
故 为的通解，
其中: 为任意常数.
例6 设为4×5矩阵的秩,已知非齐次线性方程组有解,且,
，，求的通解。
解 依题意知对应齐次方程组的基础解系中含有2个解，
由线性方程组解的性质知，为对应齐次方程组的解,且，所以为导出组的一个基础解系,
故 的通解为。
例7设。
问 为何值时，向量可以由向量组线性表示，在
表达式惟一时,求其表达式.
解 令，则

（1）当时,
可由线性表示且表示法不唯一。
(2) 当时
,不可由线性表示。
(3）当时,，可由惟一线性表示.

表达式为 .
例8 为何值时，下面方程组有唯一解、无穷解、无解?

解

① 若当时,
方程组无解.
② 当,由于

当时, 方程组有
唯一解,其解为
；
⑶当即时， ,
由于,此时方程组有个自由未知量且同解方程组为，
所以,当时，方程组有无穷解，其解为
或 ;
其中，是任意常数.
例9 设矩阵，其中线性无关,，向量，求方程组的通解.
解 依题意 ,所以对应齐次方程组的基础解系中含有1个解向量.由知为的非零解，也是的一个基础解系；再由知为的一个解；
故 方程组的通解为.
例10 已知 ，证明 。
证 因为，所以，且；从而，且；由的列向量为方程组的解向量,所以， 故 .
例11 （07—08(一）期末考试） 设A ， B 都是n阶方阵， 且。 如果，试证明 A的伴随矩阵A＊为零矩阵.
证明: 设，则
的解向量的列向量为的解，
由于, 所以的解空间的秩，
所以 .
由伴随矩阵的定义知A＊的元素由A的各个元素的代数余子式的值，所以 A*的元素全为零，
故 A的伴随矩阵A＊为零矩阵.
另证:由矩阵的秩不等式知 又,从而,所以A*的元素全为零，
故 A 的伴随矩阵A*为零矩阵.
小结:1。熟练掌握线性方程组的解性质与解结构.求解线性方程组时一般可以用初等变换法求解，但注意变换的基本技巧和要求；当未知数个数与方程个数相同时也可用克莱姆法则求解.
2.对于线性方程组的证明问题应注意发现隐含条件，并合理地运用隐含条件以完成问题的证明.
存在问题：不能灵活运用初等变换解方程组.不能灵活运用方程组相关性质转化条件。